2019年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学理.pdf

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1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（理工农医类）本试卷分第1 卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1至 2 页，第 II卷第3 至 6页。第 II卷第21题为选考题，其他题为必考题。满 分 150分。注意事项：I.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的推考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第 II卷用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题

2、卷上作答，答案无效。3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：样本数据X|,X2,，Xa的标准差s=_ 幻-+*2 -X）2 H-h（x-X）21V n其中嚏为样本平均数柱体体积公式V=Sh其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式V=-Sh3其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式,4,S=4兀R-,V=兀N3其中R 为球的半径第I 卷（选 择 题 共 50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5 分，共 50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i 是虚数单位，若集合S=1.0.1 ,则A.z G S B.z2 e S2.若 a R,则 a=2

3、 是(al)(a-2)=0 的A.充分而不必要条件C.充要条件sin 2a3.若 tana=3,则 半 巴 的 值 等 于cos a2D.9SiC.e SB.必要而不充分条件C.既不充分又不必要条件A.2B.3C.4D.64.如图，矩形ABCD中，点 E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自4ABE内部的概率等于A.4B.-32C.D.-23(e2+2 x)d x 等于JoA.1 B.e-16.(l+2 x)3 的展开式中，X?的系数等于A.8 0C.eB.4 0D.c+1C.2 0 D.1 07.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为B，F2,曲线r 的离心率等于A.一或一

4、B.一或 22 2 3若曲线r上存在点P 满 足 俨:忻 用:周=4:3:2,则CC.一1 T或c2 D.一2 T一 32 3 2x+y 28 .已知O是坐标原点，点 A(-1,1)若点M(x,y)为平面区域，x R满足：对任意向量a=(x i，y )e V,b=(X2，y2)GV,以及任意/I G R,均有/(/l +(1-)b)=2/(a)+(l-2)/(/?),则称映射f 具有性质P o现给出如下映射：工：V 一 凡力心乂一入加门羽切6匕 人：V f R,启 加)=f+y,加=(x,y)e V；右：V R,f3(m)-x+y +,m x,y)e V.其中，具有性质P的 映 射 的 序 号

5、 为。(写出所有具有性质P的映射的序号)三、解答题：本大题共6小题，共 8 0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题满分13分)13已知等比数列 a n 的公比q=3,前 3 项和S3=。(I)求数列 a,J 的通项公式；7T(I I)若函数/(x)=A s i n(2 x+0)(A 0,0 L+1 0（，-6）2,其 中 3 Vx0,b0）.(I)若 a=2,b=3,求矩阵M 的逆矩阵M；(n)若曲线C：x?+y2=l在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C：+y2=1,求 a,b 的值.(2)(本小题满分7 分)选 修 4-4：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直

6、线1的方程为x-y+4=0,曲线C 的参数方程为x=0 c o s a(a 为参数).y=sina(I)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极 轴)中，点 P 的极坐标为(4,判断点P与直线1的位置关系；2(I I)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线1的距离的最小值.(3)(本小题满分7 分)选 修 4-5：不等式选讲设 不 等 式 的 解 集 为 M.(I)求集合M；(I I)若 a,b S M,试比较ab+1与 a+b的大小.参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分5 0分。B A D C C B A C

7、D B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分2 0分。31 1.3 1 2.6 1 3.y 1 4.V 2 1 5.三、解答题：本大题共6小题，共8 0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1 6.本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,满 分1 3分。解：(D 由 q=3,5 3 =上 得4(1 33)=1 23 3 1-3 3解得q=；.所以 4=；X3 T=3 2.(I I)由 可 知=3 2,所以4=3.因为函数/(x)的最大值为3,所以A=3。TT因为当X =7时f(x)取得最大值,6TT所以 si n(2 x +?

8、)=1.又0 +;/=8.(I I)因为直线/的方程为y=x +/,所以直线/的方程为y=-x m.y=-x-m,由 +4x+4m -0 x =4yA =42 4X4/77=1 6(1 m)(1)当机=1,即 =()时，直线/与抛物线C相切(2)当2 H 1,那AHO时，直线/与抛物线C不相切。综上，当 m=l 时，直线/与抛物线C相切；当 机 时，直线/与抛物线C不相切。解法二：(I)设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(X 2 丁 +尸=产.依题意，所求圆与直线/：x y+?=O相切于点P (0,m),4+m2=r2,则(|2 0+帆|解得m=2,r=2 5所以所求圆的方程为(x -2)2

9、 +V=8.(I I)同解法一。1 8.本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满 分 1 3 分。解：因为x=5 时，y=l l,所以10 =1 1,2.2(I I)由(I)可知，该商品每日的销售量 =+1 0(x-6)2,x-3所以商场每日销售该商品所获得的利润2y(x)=(x-3)+1 0(%-6)2 =2 +1 0(%-3)(%一 6 尸,3 x =(0,4-/,-/).(i)设平面PCD的法向量为 =(x,y,z),由 “_LC。，n P D,得 一(4 T)y Zx=0.取=，得平面PCD的一个法向量”=/,

10、4一t,又PB=(t,0,f,故由直线PB与平面PCD所成的角为30。，得cos 60=|n-PBI即_24 4解得f=一或f=4(舍去，因为AD=4-f0),所以AB=.5 5(ii)假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等,设 G(0,m,0)(其中 0机44 一 f)则 GC=(1,3-1-m,0),GD=(0,4-t-m,0),G P =(0,-人 t),由IG C R G 0得(4 r加)2=*+/，(2)由(1)、(2)消去t,化简得加2 3加+4=0(3)由于方程(3)没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,C,D的距离都相等。从而

11、，在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等。解法二：(I)同解法一。(ID(i)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图)在平面ABCD内，作CE/AB交AD于E,则 CE J.AO。在平面ABCD内，作CE/AB交AD于点E,则CE 1 AD.在 HfACOE 中，DE=CD cos45=l,C：=CD sin 45=1,设 AB=AP=t,则 B(t,0,0),P(0,0,t)由 AB+AD=4,得 AD=4-t,所以 E(0,3-r,0),C(l,3-t,0),0(0,4 T,0),CD=(-l,l,0),P r)=(0,4 T,T).设平面PCD的法向

12、量为 =(x,y,z),x+y=0,由“_LC。，n P D,得 ,(4 t)y tx-0.取=，得平面PCD的一个法向量 =/,4一t,又PB=Q,0,f,故由直线PB与平面PCD所成的角为3()。，得cos 60=|n-PBhl-IPBIy/t2+Z2+(4-/)2-yl2x_24解得f=一或f=4(舍去，因为AD=4-f 0),4所以AB=-.5(ii)假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,由 GC=CD,得 NGCO=NGOC=45,从而 NCG0=9O。，即 CG_LAO,GD=CD sin 45=1,设 4 8 =4 贝 iAD=4-%B,C,D的距离都相等,AG=AD-G

13、 D =3-A,在MA4BG中，GB=NAB?+AG?羽 分+仃-4 2(2 1)2+1,这与GB=GD矛盾。所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点B,C,D的距离都相等，从而，在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等。2 1.(1)选修4 2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。(x V(1 0、解：(I)设矩阵M的逆矩阵加7=1 1，则.(2 0又M =，所以(03)(0 1 0、0 1,所以 2%=l,2 y=0,3尤2 =0,3%=1，即 =3，1=。户2=0,%=；，故所求的逆矩阵A/T=2(I

14、I)设曲线C上任意一点P(x,y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点Px,y),a n ax=x则=，即I。矶刈 lyJ by=y又 点 尸 在 曲 线C 上,所 以 二+y 2=i,42 2则 竺 一+。2 y2 =1为曲线c的方程，4=4又己知曲线C的方程为Y+y 2=L故!h2=1.l l =2,又a 0/0,所 以 b=l.(2)选修4 4：坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力,考查化归与转化思想。满分7分。77,解：(I)把极坐标系下的点P(4,)化为直角坐标，得P (0,4)。2因为点P的直角坐标(0,4)满足直线/的方程x y+4 =0,所以点P在直线/上，(II)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(由c o s a,s i n a),从而点Q 到直线/的距离为JId同os 里”川 a+4!=2cs(a；%)+4=&网 +工)+2 近,V 2 V 2 6由此得，当c o s(a +2)=-l 时，d取得最小值，且最小值为0.6(3)选修4 5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满 分 7分。解：(I)由|2 x 1|1 得一1 2%一1 1,角 隼 彳 0 1.所以 M=x O x l .(II)由 和可知(Ka l,0 0.故+1 a +