考研高数宝典.pdf

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1、目 录一、函数与极限.21、集合的概念.22、常量与变量.32、函数.43、函数的简单性态.44、反函数.55、复合函数.66、初等函数.67、双曲函数及反双曲函数.78、数列的极限.89、函数的极限.910、函数极限的运算规则.11一、函数与极限1、集合的概念般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互 异 性（给定集合中的元素是互不相同的）。比 如“身材较高的人 不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的元素。如果a 是集合A 中的元素，就说a

2、 属于A,记作：a G A,否则就说a 不属于A,记作：a e A。、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或 N+。、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法、列举法：把集合的元素一列举出来，并 用“”括起来表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系、子集：一般地，对于两个集合A、B,如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说 A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A C B（或

3、 B 卫A）。相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的 元 素 完 全 样，因此集合A 与集合B 相等，记作A=B。、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在个元素属于B 但不属于A,我们称集合A 是集合B 的真子集。、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记 作 0,并规定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：、任何个集合是它本身的子集。即 A C A、对于集合A、B、C,如果A 是 B 的子集，B 是 C 的子集，则 A 是 C 的子集。、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真

4、子集”和“等集”。集合的基本运算、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与 B 的并集。记作AU B.（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即 AU B=x Ix S A,或 x C B。、交集：般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与 B 的交集。记作AriB。即 AC1B=（x lx G A,且 x dB 。、补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。补集：对 于 个集合A,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集。简称为

5、集合A 的补集，记作CuA。即 CuA=xlxG U,且 x e A).集合中元素的个数、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。、用 card来表示有限集中元素的个数。例如A=a,b,c,则card(A)=3。、一般地，对任意两个集合A、B,有card(A)+card(B)=card(A U B)+card(A C l B)我的问题：I、学校里开运动会，设 人=xlx是参加百米跑的同学 ,B=xlx是参加二百米跑的同学 ,C=xlx是参加四百米跑的同学。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含

6、义。、AUB：、APB.2、在平面直角坐标系中，集合C=(x,y)ly=x表示直线丫=*,从这个角度看，集合D=(x,y)l方程组：2x-y=l,x+4y=5表示什么？集合C、D 之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。3、已知集合人=11*3,B=xl(x-l)(x-a)=O。试判断B 是不是A 的子集？是否存在实数a 使 A=B 成立？4、对于有限集合A、B、C,能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？5、无限集合人=1,2,3,4,n,B=2,4,6,8,2n,),你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？2、常量与变量(D、变量的定义：我

7、们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变 量 注：在过程中还有种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。(2)、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间aWxWb a,ba,bl-1-a b x开区间ax+8)：表示不小于a 的实数的全体，也可记为：aW xV+8：(-8,b)：表示小于b

8、的实数的全体，也可记为：-8 x V b；(-8,+8)：表示全体实数，也可记为：-8 X 0.满足不等式|x-a|V 3 的实数x 的全体称为点a 的8邻域，点。称为此邻域的中心，6称为此邻域的半径。2、函数(1)、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定个数值时，量y按照定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值(或因变量)，变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母 仔、F 表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用

9、不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。(3)、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们

10、经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：Ay3、函数的简单性态、函数的有界性：如果对属于某一区间/的所有X值总有|f(x)|WM成立，其中M是一个与X无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注：个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数C O S X在(-8,+8)内是有界的.(2)、函数的单调性：如果函数,(X)在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x,及-当

11、时，有 了()0,4 w 1)LZi：|o，a):不论x为何值,y总为正数；b):当 x=0 时，y=l.对数函数1y=loga x(aO,aw l)J 以 =10g a A/i f!、7=log 1 xa):其图形总位于y轴右侧，并过(1,0)点b):当al时,在区间(0,1)的值为负：在区间(-,+8)的值为正：在定义域内单调增.、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及仃限次的函数复合所产生并且能用一塞函丁 =xa为任意实数=产尸X班令 a=m/na):当m为偶数n为奇数时,y 是偶函数；b):当叫n都是奇数时,y 是奇函数;c):当m奇n偶时,y 在(-N时 的 切/不 等

12、 式 卜 一 区 都成立，那末就称常数a是数列演的极限，或者称数列*收敛于a .记作：蚂冬”或乐告（-o o）注：此定义中的正数e只有任意给定，不等式k*-OR 才能表达出工”与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数e是有关的，它是随着的给定而选定的。、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，卜面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。数列*极限为a的一个几何解释：将常数a及数列卜町，”，/,在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的e邻域即开区间（a-e ,a+e）,如下图所示：_ _ _ _产 者7=.a询 XN+1 狐+3阳+2 x2 x3 x因不

13、等式k*一 归 与 不 等 式“一/N时，所有的点4都落在开区间（a-e,a+e）内，而只有有限个（至多只有N个）在此区间以外。注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。、数列的有界性：对于数列*久，若存在着正数M,使 得 切*都满足不等式|W M,则称数列X*是有界的，若正数M不存在，则 可 说 数 列 是 无 界的。定理：若 数 列/收 敛，那末数列*一定有界。注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数 列1.-1,1,T,，（-1）-,-是有界的，但它是发散的。9、函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作类特殊的

14、函数，即自变量取1-8内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a）：自变量无限增大：b）：自变量无限接近某定点x o,如果在这时，函数值无限接近于某 常数A,就叫做函数存在极值。我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢？下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念！、函数的极限（分两种情况）a）:自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设 函 数 尸=/（*）,若对于任意给定的正数e （不论其多么小），总存在着正数X,使得对于适合 不 等 式 的 一 切 x,所对应的函数值,0）都满足不等式那末常数A 就叫做函

15、数丁=/（）当X-8时的极限，记作：x-下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比下：数列的极限的定义函数的极限的定义存在数列与常数A,任 给 正 数 e 0,总可找到一正整数N,对于n N 的所有O*都满足L L e 则称数列*,当 x-8时收敛于A记：l i m力=工存在函数丁=/与 常 数 A,任给一正数e 0,总可找到一正数X,对于适合I D 工 的-切 x,都满足 一 K ,函数，一当x 8时的极限为A,记：l i m/（x）=-4X T9-1 40 A-卜y0-5K从上表我们发现了什么？试思考之b）:自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.例：函数 X-1，当 x-1 时

16、函数值的变化趋势如何？函数在x=l 处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把X-1 时函数值的变化趋势用表列出,如下图：x|-0.9 0.99 0.999 Ml 1,001 1.01 1.1 1.99 1,999-I2I 2,001 2.01 2.1 从中我们可以看出x-l 时，/(X)-2.而且只要x 与 1有多接近，就与2 有多接近.或说：只要 了 与 2 只差一个微量e ,就一定可以找到一个6,当卜一 1 8 时 满 足 火-6 定义：设函数了。)在某点x0的某个去心邻域内有定义，且存在数A,如果对任意给定的e(不论其多么小)，总存在正数8,

17、当00：b):写出不等式卜一 L e ；c):解不等式能否得出去心邻域0V 卜一而 0,总 能 找 出 8,当 0 卜一飞1 8 时，成立，因此lim/(x)=J410、函数极限的运算规则前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。(1),函数极限的运算规则若已知 X-Xo(或 X-8)时，,(X)T A g(X)3 B.lim(/(x)g(x)=A +B lim/(x)g(x)=A B贝|J：XTX。X T%lun=g(x)Bh m七/。)=煨痣为常数)=下,(於为正整数)推论：X T XQ X T XQ在求函数的极限时，利

18、用上述规则就可把个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。r3，+x 1h m -z-例题：求i 4 x3 4-x-X4-3M?1 l i m 3 +l m i x-l i m 1 o.i i 2由 攵 +x-l=I X T I =5+1 7 =+/-x+3 -l i m 4 x3 4-l i m x2-l i m x+l i m 3 -4+1 -1 +3 7解答：X TI N TI X TI X TI例题：求*T 9 7/+5 x2-3此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。.3 x?-4

19、x2 +2h m -,5*T 9 7 x3+5 x2-337解答:注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。函数极限的存在准则学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习下左、右的概念。我们先来看一个例子：s g n =x）趋近X。时，函数/（X）与常量A无限接近，则称A为 函 数/（X）当“画 时l i m+/（x）=A的右极限.记：*%注：只有当X-X.时，函数/（X）的左、右极限存在且相等，方称/（*）在X-X。时有极限函数极限的存在准则准则一：对于点X。的某 邻 域内的切x,x0点本

20、身可以除外（或绝对值大于某一正数的切x）有/机且照g=工，期/二 月lim/（x）那末*T 4 存在，且等于A注：此准则也就是夹逼准则.准则二：单调有界的函数必有极限.注：有极限的函数不定单调有界两个重要的极限lim（l+-）x=e1 9 X注：其中e为无理数,它的值为：e=2.7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5vsin x tlim-=1二：x注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.lim（1二）*例题：求I。X-Xt-解答：令 2 ,则x=-2 t,因为X 8,故t 8,o 1 1 1=lim（1+?口 =

21、lim（1+）-&=lim+=/2贝|J*T9 X XT9 t t t注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x-8时，若用t代 换1/x,贝I j t-O.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看个例子：已知函数X ,当X-0时，可知I（切 7 8 ,我们把这种情况称为了（X）趋向无穷大。为此我们可定义如下：设有函数y=,（X）,在x=x的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数M一个任意大的数），总可找到正数8 ,当0|x 亦3时“（x）|N成立，则称函数当X 7 X。时为无穷大量。l i m /（x）=c o记为：-%（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当X-8

22、时，/（X）无限趋大的定义：设有函数y=/（x）,当X充分大时有定义，对于任意给定的正数M一个任意大的数），总可以找到正数M当年俨“时，成立，则称函l i m /（x）=oo数当X f 8时是无穷大量，记为：XT9无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。定义：设有函数/（X）,对于任意给定的正数e （不论它多么小），总存在正数6 （或正数助，使得对于 适 合 不 等 式_/1 般）的 一 切x,所对应的函数值满足不等式匕住）区 ,则 称 函数/（X）当X 飞（或x-8）时 为无穷小量.妊/。）=o I n n /（x）=0记作：（或XT9 ）注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量

23、，只 有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.关于无穷小量的两个定理定理一：如 果 函 数/在 T X。（或Xf 8）时有极限A,嘘/一 =映）是当X 7 与（或X 8）时的无穷小量，反之亦成立。定理二：无穷小量的有利运算定理a）:有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；b）：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c）：常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比较通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们

24、要学的两个无穷小量的比较。定义：设a ,B都是 一两时的无 穷 小 量，且P在X。的去心领域内不为零，l i m =0a）：如果*3 ，则 称a是B的高阶无穷 小 或B是a的低阶无穷小；h m a =c w nUb）：如果一M，则 称a和。是同阶无穷小；l i m =1c）:如果尸，则 称a和8是等价无穷小，记作：a s B （a与B等价）i n n =一例：因为 3 x 3,所以当x与3 x是同阶无穷小;l i m =0因为,所以当*-0时，x?是3 x的高阶无穷小；s i n xl i m -=1因为1 0 X,所以当X-0时，s in x与X是等价无穷小。等价无穷小的性质设aS4,0 s

25、 0a a .a!l i m l i m =l i m 且存在，则&.注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。s i n a xl i m-例题：1.求i t a n占xs i n a x a x al i m-=l i m =一解答：当 0 时;sinaxsqx,ta n b x s ,故：一 t a n 占 无 8五 brt a n x -s i n xl i m .-例题：2.求t a n 3xt a n x -s i n x t a n x(l -c o s x)、2 ，1l i m-=l i m-z-=l

26、 i m -=1。t a n3 3x I。t a n3 3x 二。(3 x)3 5 41-c o s x =2 s i n 22s 2 -（）2=注：2 2 2注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子。函数的一重要性质一连续性在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性在定义函数的连续性之前我们先来学习个概念一一增量设变量X从它的一个初值小变到终值整，终值与初值的差X2-XI就叫做变量X的增量，记为：Z x即：4X=X2-X I增量4X可正可负.我们再来看一个例子：函数丁 在点X。的

27、邻域内有定义，当自变量X在领域内从X。变到Xo+Zx时，函数y相应地从了（而）变到了（凝+,其对应的增量为:+&）一 通）y出-1-A这个关系式的儿何解释如下图：0*。+*现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当A x趋向于零时，函数y对应的增量dy也趋向于零，即：li m A y =0 _$（、,那末就称函数丁=J W 在点x。处连续。函数连续性的定义：v-f（x 丽,（x）=（而）设函数y一 J W在 点X 0的某个邻域内有定义，如果有X TM 称函数尸一 J 在点X。处连续，且称X。为函数的V =3）的连续点.下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：设 函 数

28、/（X）在区间（a,b 内有定义，如果左lix极n/限（x）存在且等于/）,即 1lim-。JCx）J3）,那末我们就称函数（X）在 点b左连续.设函数j（X）在区间a,b）内有定义，如果右极限%存在且等于了（）,B|J：J S）,那末我们就称函数/（X）在点a右连续.一个函数在开区间（a,b）内每点连续,则为在（a,b）连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间a,b 连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。注：个函数若在定义域内某 点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续.注：连续函数图形是喙连续而不间断的曲线。通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想

29、到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的间断点函数的间断点定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点.它包括三种情形：a）：/在X。无定义；b）：/（*）在x X。时无极限：c）：,（X）在X-X。时有极限但不等于了（而）；卜.面我们通过例题来学习一卜间断点的类型:X=X=_.例1：正切函数V=t3nx在2处没有定义，所以点 2是函数丁=13nx的间断点，因7?X=,我们就称 2为函数yli m t an x =o oir13nx的无穷间断点;,1y=s i n -例2：函数 X在点x=0处没有定义；故当x-0时，函数值在T与+1之间变动无限多次，我.1y

30、=s i n 们就称点x=0叫做函数 五的振荡间断点；/(x)=0 li m /(x)=-1 li m /(x)=1例3：函数 I 当x-0时，左极限2旬,右极限X-3 ，从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点x=0是不存在极限。我们还可以发现在点x=0时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种间断点称为跳跃间断点；我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下：间断点的分类我们通常把间断点分成两类：如果X。是函数/(X)的间断点，且其左、右极限都存在，我们把X。称为函数/(X)的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.可去间断点、l i m /(%)、若

31、X。是函数J 的间断点，但极限X T。存在，那末X。是函数J 5)的第类间断点。此时函11 1 m,(x)f(x)/(XO)=l i m /(x)数不连续原因是：J ”不存在或者是存在但g“。片/,而 乙 我 们 令 XT X.，则可使函数/(X)在点X,处连续，故这种间断点X。称为可去间断点。连续函数的性质及初等函数的连续性连续函数的性质函数的和、积、商的连续性我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论：a）:有限个在某点连续的函数的和是个在该点连续的函数；b）：有限个在某点连续的函数的乘积是个在该点连续的函数；c）：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数（分母

32、在该点不为零）：反函数的连续性若函数丁=,。）在某区间上单调增（或单调减）且连续，那末它的反函数x =也在对应的区间上单调增（单调减）且连续 _,勺例：函数丁=s1 nx在闭区间 2 2上单调增且连续，故它的反函数h M c s i n x在闭区间 _ ,口上也是单调增且连续的。复合函数的连续性设函数 一 当x-x。时的极限存在且等于a,即：.而函数丁 一 J业1在 点u=a连续，那末复合函数丁=当x-x。时的极限也存在且等于了（）即：蚂加a）l i m c o s（l +z）x例题：求i o1i啊c o s（l+x），=c o s l i m +=c o s e解答：MT1I注：函数y =c

33、 o s（l +xK可看作y =与 =（1+x）7复合而成，且函数y =c o s在点u=e连续，因此可得出上述结论。设函数=。（乃 在 点x=x 0连续，且 吠 题）=。，而函数丁=/）在点u=u 0连续，那末复合函数y /。在点x=x 0也是连续的初等函数的连续性通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续的.闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质，下面我们来学习一下：最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值

34、。（在此不作证明）例：函数y=s i nx在闭区间 0,23上连续，则在点x=兀区处,它的函数值为1,且大于闭区间 0,2 n上其它各点出的函数值；则在点x=3n/2处，它的函数值为-1,且小于闭区间 0,2兀 上其它各点出的函数值。介值定理 在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。即：/（或）=,）=,U在 a、B 之间，则在 a,b 间一定有一个，使,（玲=推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。二、导数与微分导数的概念在学习到数的概念之前，我们先来讨论下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设 质点沿x轴运动时，其位置x是时间t 的函数，*=

35、/（工），求质点在t。的瞬时速度？我们知道时间从t0有增量at 时，质 点 的 位 置 有 增 量=（）+&）一,o）,这就是质点在时间段at 的位移。因此，在此/（k+&）-段时间内质点的平均速度为：.若质点是匀速运动的则这就是在的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t 0 时的瞬时速度。我们认为当时间段at无限地接近于o时，此平 均 速 度 会 无 限 地 接 近 于 质 点 时 的 瞬 时 速 度，即：质 点 在%时 的 瞬 时 速 度/色+&）-y&）A xInn-lim=T M&为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义：设 函 数 丁=/0）在点X。的某一邻域内有定义，

36、当白变量x 在 X。处有增量Ax a+ax 也在该邻域内）时，相应地函数有增量+&）一,（）,若3与 之 比 当 x-O 时极限存在，则 称 这 个 极 限 值 为 尸/在 X。处的导数。记为：“I f 还可记为：,尸（与）函 数/（X）在点X。处存在导数简称函数,（X）在点X。处可导，否则不可导。若函数/（X）在区间（a,b）内每一点都可导，就称函数/S）在区间（a,b）内可导。这时函数丁=/（X）对于区间3,b）内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数丁=,（X）的导函数。注：导数也就是差商的极限左、右导数前面我们有了左、右极限的概念

37、，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限I nn _ _ (.I nn延 一 A x存在，我 们 就 称 它 为 函 数 在x=x0处的左导数。若极陋一bA x存在，我们就称它为函数y =/(x)在x=x0处的右导数。注：函数V =/(，)在X。处的左右导数存在且相等是函数丁=/(X)在X。处的可导的充分必要条件函数的和、差求导法则函数的和差求导法则法 则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为：&士 )=婷土 其中U、V为可导函数。y=+x5+1,例题：已知 x,求丁y=(l)*+(x5)r+(7/=-lx-2+5/+0 =-4 +5 x

38、，解答：x x例题：已知y =s1 n x-lo g.x+e1求y (si n x)f-(lo ga 刈+(e*)，=co sx-+ex解答:xln a函数的积商求导法则常数与函数的积的求导法则法则：在求个常数与个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成：3)=加例题：已知丁=3smx+4 x 求 6g笼 yf=(3si n+(4x)=3(si n x)+4(/)=3 co s x+4-2x=3co s x+8 x函数的积的求导法则法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成：(W=例题：已知/()=I

39、s1 n X ,求/(x)/(x)f=(J?)，si n x+石(si n x)=si n x+瓜 co sx解答：2 j x注：若是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。函数的商的求导法则法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在(以 y _ U V-U V除以分母导数的平方。用公式可写成：V V2例题：已知 x)=t a nx,求(X)解答：/(xY =(t a n 砂=(也剑)叩 丁 武5,=s“2 xCOSX COS X COS X COS X复合函数的求导法则在学习此法则之前我们先来看一个例子！例题：求 酬2刈=?解答：由 于 触x)=

40、co sx,故(si n 2 x y=c o s 2 x这个解答正确吗？这个解答是错误的，正确的解答应该如下：(si n 2刈=(2 si n xco s x)f=2 (si n%)fco sx4-si n x(co s x)=2 co s 2x我们发生错误的原因是G m 2 x)是对自变量*求导，而不是对2 x求导。下面我们给出复合函数的求导法则复合函数的求导规则规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。用公式表示为：d y _ d y d ud x d u d x,其中u为中间变量例题：已知y =S1 n 2 X,求d x解答：设必=s

41、in x ,则T =s m 2 x可分解为丁=z?,必=x因此=(u2)s in x)，=2 u c o s x-2 s in x c o s x=s in 2xd x d u d x注：在以后解题中，我们可以中间步骤省去。d y例题：已知丁=1 1 1 s in x,求 瓦d y 八.、,1 ,.c o s x=(I n s in x)=-(s in x)=-=c o t x解答：d x s in x s in x反函数求导法则根据反函数的定义，函数、为单调连续函数，则它的反函数x =0(H ,它也是单调连续的.为此我们可给出反函数的求导法则，如卜.(我们以定理的形式给出)：定理：若 二是单

42、调连续的，且 卬 *，则它的反函数丁=)在 点x可导，且有：/(X)=注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。注：这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。即：e G)是对y求导，/是对x求导例题：求y =a r c s in x的导数.解答：此函数的反函数为x =s in y ,故/=c o s y则：f1 1 1 1y=-=/=/一X cosy 正 S in 2 y Jl一-例题：求y =a r c t a n x的导数.解答：此函数的反函数为芯=t a n y ,故x u s e e?则：,1 1 1 1y =-=-=-x1 se c2 y 1 +t a

43、 n 2 y l +x。高阶导数d sv=我们知道，在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：成，d v d （d sa ,而加速度a 又是速度V 对时间t 的变化率,即速度V 对时间t 的导数：成 ，或a =（S 。色 偿 这 种 导 数 的 导 数 成 1叫做S 对 t 的二阶导数。卜.面我们给出它的数学定义：定义：函数丁=/（幻的导数仍 然 是 X的函 数.我 们 把 =（*）的导数叫做函数d 2 y L d （力 y=/（x）的二阶导数，记f乍丁 或d x?,B P：y =C/）或 d/办 办|相 应 地，把丁=/（为）的导数）=,（）叫做函数V =,（

44、x）的一阶导数.类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，般地（n T）阶导数的导数叫做n阶导数.d3y d y d*y分别记作：yy j t t t.yv（4），yv（）或 d,x 3 ,d,x 4 ，d,x K二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。例题：已知=+求 丁 解答：因 为 人 a,故y =0例题：求对数函数丁=必（1 +0 的 n 阶导数。=J_ Z =_L.z =*=一 1解答：l+x,）,/）=（_ 严卢斗一般地，可得 +X）隐函数及其求导法则我们知道用解析法表示函数，

45、可以有不同的形式.若函数y 可以用含自变量X的算式表示，像丫=$1,y=l+3 x 等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.般地，如果方程F（x,y）=O中，令 x 在某区间内任取值时，相应地总有满足此方程的y 值存在，则我们就说方程F（x,y）=O 在该区间上确定了 x 的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式,叫做隐函数的显化。注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题！隐函数的求导 f y若已知F（x,y）=0,求dx 时，一般按下列步骤进行求解：a):若方程F(x,y)=O,能化为 =的形式，则用前面我们所学的方法进行

46、求导；b)：若方程F(x,y)=O,不能化为丁=/0)的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y看成x的函数丁=/(X),用复合函数求导法则进行。o,求丁此题若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然后再把它看成隐函数进行求导，就比较简便些。如下解答：先两边取对数：必丁=s in xln x,把其看成隐函数，再两边求导1 y t=c o s xl,n x+-s i-n-xy xr/1 s in x、1 s in x、_ 血 汇 y=y(c o s xlnx+-)=x(c o s xln xd-)因为T=X ，所以 X X例题：已知N（X-3（X-4）,求）此题可用复合函数求导法则进

47、行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导法进行求导In y=ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)解 答：先两边取对数 2 再两边求导2 x-1 x-2 x-3 x 4，因为?/(x-3)(x-4)所 以l(x-i)(x-2)1了 2V(x-3)(x-4)x-l1+-x-2函数的微分学习函数的微分之前.，我们先来分析个具体问题：块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由X。变到了 XQ+ZX,则此薄片的面积改变了多少？解答：设此薄片的边长为X,面积为A,则A是x的函数：薄片受温度变化的影响面积的改变 量，可 以 看 成 是 当 自 变 量x从x取 的 增 量Ax时，

48、函 数A相 应 的 增 量4A,即：=（两+&）2 一k=2X0AX+（AX）2O从上式我们可以看出，M分成两部分，第一部分2两 及是Ax的线性函数,即下图中红色部分;第二部分（Ax）当 x-O时，它是Ax的高阶无穷小，表示为：x）由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地部分来代替。下面我们给出微分的数学定义：函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，X。及x+A x在这区间内，若函数的增量可表示为Ay=A A x +o（A x）,肺A是不依赖于Ax的常数，3）是人的高阶无穷小，则称函数丁=/在点X。可微的。出才叫做函数V =/）在点X。相应于自变量增量的微分，i酢d

49、y,B|I：dy=R A x。通过上面的学习我们知道：微分砂是自变量改变量Ax的线性函数，d y与Ay的差。（*）是关于的高阶无穷小量，我们把d y 称作Ay的线性主部。于是我们又得出：当ax-O 时，a y d y.导数的记号为:字=/)dx,现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把看成d x,即：定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。微分形式不变性什么是微分形式不边形呢？设丁=%)，必=。，则复合函数丁=程的微分为：dy=y；dx=f3)w(x)d x由于=du,故我们可以把复

50、合函数的微分写成办=/()血由此可见，不论U 是自变量还是中间变量，丁=/()的微分d y 总可以用,3)与 d u 的乘积来表示，我们把这性质称为微分形式不变性。例题：已知丁=sin(2x+l),求 d y解答；把 2 x+l 看成中间变量u,根据微分形式不变性，则dy=d(sin u)=cosudu=cos(2x+l)d(2x+l)=cos(2x+l)2dx=2cos(2x+l)d x通过I：面的学习，我们知道微分与导数有着不可分割的联系，前面我们知道基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，那么基本初等函数的微分公式和微分运算法则是怎样的呢？卜 .面我们来学习-基本初等函数的微分公式与微分