2023年平面向量测试卷(最新版)及详解.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 平面向量 第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1(文)(2011 北京西城区期末)已知点 A(1,1)，点 B(2，y)，向量 a(1,2)，若ABa，则实数 y 的值为()A5 B6 C7 D8 答案 C 解析 AB(3，y1)，ABa，31y12，y7.(理)(2011 福州期末)已知向量 a(1,1)，b(2，x)，若 ab 与 4b2a 平行，则实数 x的值为()A2 B0 C1 D2 答案 D 解析 ab(3，x1)，4b2a(6,4x2)，ab 与

2、 4b2a 平行，36x14x2，x2，故选 D.2(2011 蚌埠二中质检)已知点 A(1,0)，B(1,3)，向量 a(2k1,2)，若ABa，则实数 k的值为()A2 B1 C1 D2 答案 B 解析 AB(2,3)，ABa，2(2k1)320，k1，选 B.3(2011 北京丰台期末)如果向量 a(k,1)与 b(6，k1)共线且方向相反，那么 k的值为()A3 B2 C17 D.17 答案 A 解析 由条件知，存在实数 0，使 a b，(k,1)(6，(k1)，k6 k1 1，k3，故选 A.4(文)(2011 北京朝阳区期末)在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM1，点 P 在

3、AM 上优秀学习资料 欢迎下载 且满足AP2PM，则PA(PBPC)等于()A49 B43 C.43 D.49 答案 A 解析 由条件知，PA(PBPC)PA(2PM)PA AP|PA|223|MA|249.(理)(2011 黄冈期末)在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，DE 交 AF于 H，记AB、BC分别为 a、b，则AH()A.25a45b B.25a45b C25a45b D25a45b 答案 B 解析 AFb12a，DEa12b，设DH DE，则DH a12 b，AHADDH a112b，AH与AF共线且 a、b 不共线，121121，25，AH25a45

4、b.5(2011 山东潍坊一中期末)已知向量 a(1,1)，b(2，n)，若|ab|a b，则 n()A3 B1 C1 D3 答案 D 解析 ab(3,1n)，|ab|9 n12 n22n10，行则实数的值为答案解析与平行故选蚌埠二中质检已知点向量若则实数欢迎下载且满足则等于答案解析由条件知理黄冈期末在平行四边形中分的正边上的动点则是定值与的位置有关最大值为最小值为答案解析设边优秀学习资料 欢迎下载 又 a b2n，|ab|a b，n22n10n2，解之得 n3，故选 D.6(2011 烟台调研)已知 P 是边长为 2 的正ABC 边BC 上的动点，则AP(ABAC)()A最大值为 8 B是定

5、值 6 C最小值为 2 D与 P 的位置有关 答案 B 解析 设 BC 边中点为 D，则 AP(ABAC)AP(2AD)2|AP|AD|cosPAD2|AD|26.7(2011 河北冀州期末)设 a，b 都是非零向量，那么命题“a 与 b 共线”是命题“|ab|a|b|”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件 答案 B 解析|ab|a|b|a 与 b 方向相同，或 a、b 至少有一个为 0；而 a 与 b 共线包括a 与 b 方向相反的情形，a、b 都是非零向量，故选 B.8(2011 甘肃天水一中期末)已知向量 a(1,2)，b(2，4)，|c|5，若(ab

6、)c52，则 a 与 c 的夹角为()A30 B60 C120 D150 答案 C 解析 由条件知|a|5，|b|2 5，ab(1，2)，|ab|5，(ab)c52，5 5 cos 52，其中 为 ab 与 c 的夹角，60.aba，ab 与 a 方向相反，a 与 c 的夹角为 120.9(文)(2011 福建厦门期末)在ABC 中，C90，且 ACBC3，点 M 满足BM2MA，则CM CB等于()A2 B3 C4 D6 答案 B 解析 解法 1：如图以 C 为原点，CA、CB 为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则 A(3,0)，B(0,3)，设 M(x0，y0)，行则实数的值为答案解析

7、与平行故选蚌埠二中质检已知点向量若则实数欢迎下载且满足则等于答案解析由条件知理黄冈期末在平行四边形中分的正边上的动点则是定值与的位置有关最大值为最小值为答案解析设边优秀学习资料 欢迎下载 BM2MA，x02 3x0y032 y0，x02y01，CM CB(2,1)(0,3)3，故选 B.解法 2：BM2MA，BM23BA，CB CMCB(CBBM)|CB|2CB23BA 92333 2223.(理)(2011 安 徽百 校联考)设 O 为 坐标 原点，点 A(1,1)，若点 B(x，y)满足 x2y22x2y10，1x2，1y2，则OA OB取得最大值时，点 B 的个数是()A1 B2 C3

8、D无数 答案 A 解析 x2y22x2y10，即(x1)2(y1)21，画出不等式组表示的平面区域如图，OA OBxy，设 xyt，则当直线 yx 平移到经过点 C 时，t 取最大值，故这样的点 B 有 1 个，即 C 点 10(2011 宁夏银川一中检测)a，b 是不共线的向量，若AB1ab，ACa2b(1，2R)，则 A、B、C 三点共线的充要条件为()A121 B121 C1 210 D1210 答案 D 行则实数的值为答案解析与平行故选蚌埠二中质检已知点向量若则实数欢迎下载且满足则等于答案解析由条件知理黄冈期末在平行四边形中分的正边上的动点则是定值与的位置有关最大值为最小值为答案解析设

9、边优秀学习资料 欢迎下载 分析 由于向量AC，AB有公共起点，因此三点 A、B、C 共线只要AC，AB共线即可，根据向量共线的条件可知存在实数 使得AC AB，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消去 即得结论 解析 A、B、C 共线，AC，AB共线，根据向量共线的条件知存在实数 使得AC AB，即 a2b(1ab)，由于 a，b 不共线，根据平面向量基本定理得 112，消去 得 121.11(文)(2011 北京学普教育中心)设向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量运算ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知 m2，12，n3，0，点 P(x，y)在 ys

10、inx的图象上运动，点 Q 在 yf(x)的图象上运动，且满足OQmOPn(其中 O 为坐标原点)，则 yf(x)的最大值及最小正周期分别为()A2；B2；4 C.12；4 D.12；答案 C 解析 设点 Q(x，y)，则OQ(x，y)，由新定义的运算法则可得：(x，y)2，12(x，y)3，0 2x3，12y，得 x2x3y12y，x12x6y2y，代入 ysinx，得 y12sin12x6，则 f(x)12sin12x6，故选 C.(理)(2011 华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图，在矩形OACB 中，E 和 F 分别是边 AC 和 BC 的点，满足 AC3AE

11、，BC3BF，若OC OE OF其中 ，R，则 是()行则实数的值为答案解析与平行故选蚌埠二中质检已知点向量若则实数欢迎下载且满足则等于答案解析由条件知理黄冈期末在平行四边形中分的正边上的动点则是定值与的位置有关最大值为最小值为答案解析设边优秀学习资料 欢迎下载 A.83 B.32 C.53 D1 答案 B 解析 OFOBBFOB13OA，OEOAAEOA13OB，相加得OEOF43(OAOB)43OC，OC34OE34OF，343432.12(2011 辽宁沈阳二中阶段检测)已知非零向量AB与AC满足AB|AB|AC|AC|BC0，且AB|AB|AC|AC|12，则ABC 的形状为()A等腰

12、非等边三角形 B等边三角形 C三边均不相等的三角形 D直角三角形 答案 A 分析 根据平面向量的概念与运算知，AB|AB|表示AB方向上的单位向量，因此向量AB|AB|AC|AC|平行于角 A的内角平分线由AB|AB|AC|AC|BC0 可知，角 A的内角平分线垂直于对边，再根据数量积的定义及AB|AB|AC|AC|12可求角 A.解析 根据AB|AB|AC|AC|BC0 知，角 A的内角平分线与 BC 边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB|AB|AC|AC|12可知 A120.故三角形是等腰非等边的三角形 点评 解答本题的关键是注意到向量AB|AB|，AC|AC|分别是向量

13、AB，AC方向上的单位向量，两个单位向量的和一定与角 A的内角平分线共线 第卷(非选择题 共 90 分)行则实数的值为答案解析与平行故选蚌埠二中质检已知点向量若则实数欢迎下载且满足则等于答案解析由条件知理黄冈期末在平行四边形中分的正边上的动点则是定值与的位置有关最大值为最小值为答案解析设边优秀学习资料 欢迎下载 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上)13(文)(2011 湖南长沙一中月考)设平面向量 a(1,2)，b(2，y)，若 ab，则|3ab|等于_ 答案 5 解析 3ab(3,6)(2，y)(1,6y)，ab，21y2，y4，3ab(

14、1,2)，|3ab|5.(理)(2011 北京朝阳区期末)平面向量 a 与 b 的夹角为 60，a(2,0)，|b|1，则|a2b|_.答案 2 3 解析 a b|a|b|cos60 21121，|a2b|2|a|24|b|24a b444112，|a2b|2 3.14(2011 华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知 a(2，1)，b(3，)，若a，b为钝角，则 的取值范围是_ 答案 32且 3 解析 a，b为钝角，a b3(2)4 60，32，当 a 与 b 方向相反时，3，f(1)的 m 的取值范围为_ 答案 0mf(1)得 f(m2)f(3)，f(x)在1，)上为减函数，m2

15、3，m1，m0，0m1.16(2011 河北冀州期末)已知向量 asin，14，b(cos，1)，c(2，m)满足 ab且(ab)c，则实数 m_.答案 5 22 行则实数的值为答案解析与平行故选蚌埠二中质检已知点向量若则实数欢迎下载且满足则等于答案解析由条件知理黄冈期末在平行四边形中分的正边上的动点则是定值与的位置有关最大值为最小值为答案解析设边优秀学习资料 欢迎下载 解析 ab，sin cos 140，sin2 12，又absin cos，54，(ab)c，m(sin cos)520，m52 sin cos，(sin cos)21sin2 12，sin cos 22，m5 22.三、解答题

16、(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)(2011 甘肃天水期末)已知向量 a(cosx，sinx)，b(cosx，3cosx)，函数 f(x)a b，x0，(1)求函数 f(x)的最大值；(2)当函数 f(x)取得最大值时，求向量 a 与 b 夹角的大小 解析(1)f(x)a bcos2x 3sinxcosx 32sin2x12cos2x12sin2x612.x0，当 x3时，f(x)max11212.(2)由(1)知 x3，a12，32，b12，32，设向量 a 与 b 夹角为 ，则 cos a b|a|b|121112，3

17、.因此，两向量 a 与 b 的夹角为3.18(本小题满分 12 分)(2011 呼和浩特模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F2在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4，10)(1)求双曲线方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证MF1 MF20.解析(1)解：e 2，可设双曲线方程为 x2y2，过(4，10)点，1610，即 6，双曲线方程为 x2y26.(2)证明：F1(2 3，0)，F2(2 3，0)，MF1(32 3，m)，MF2(32 3，m)，MF1 MF23m2，又M 点在双曲线上，9m26，即 m230，MF1 MF20，即MF1MF2.19(本小题满分 12 分)(2

18、011 宁夏银川一中月考，辽宁沈阳二中检测)ABC 中，a、b、行则实数的值为答案解析与平行故选蚌埠二中质检已知点向量若则实数欢迎下载且满足则等于答案解析由条件知理黄冈期末在平行四边形中分的正边上的动点则是定值与的位置有关最大值为最小值为答案解析设边优秀学习资料 欢迎下载 c 分别是角 A、B、C 的对边，向量 m(2sinB,2cos2B)，n(2sin2(4B2)，1)，mn.(1)求角 B 的大小；(2)若 a 3，b1，求 c 的值 分析 根据向量关系式得到角 B 的三角函数的方程，解这个方程即可求出角 B，根据余弦定理列出关于 c 的方程，解这个方程即可 解析(1)mn，m n0，4

19、sinB sin24B2cos2B20，2sinB1cos2B cos2B20，2sinB2sin2B12sin2B20，sinB12，0Bb，此时 B6，方法一：由余弦定理得：b2a2c22accosB，c23c20，c2 或 c1.方法二：由正弦定理得bsinBasinA，1123sinA，sinA32，0A，A3或23，若 A3，因为 B6，所以角 C2，边 c2；若 A23，则角 C 23 66，边 cb，c1.综上 c2 或 c1.20(本小题满分 12 分)(2011 山东济南一中期末)已知向量 acos3x2，sin3x2，bcosx2，sinx2，且 x2，(1)求 a b 及

20、|ab|；(2)求函数 f(x)a b|ab|的最大值，并求使函数取得最大值时 x 的值 解析(1)a bcos3x2cosx2sin3x2sinx2cos2x，|ab|cos3x2cosx22sin3x2sinx22 行则实数的值为答案解析与平行故选蚌埠二中质检已知点向量若则实数欢迎下载且满足则等于答案解析由条件知理黄冈期末在平行四边形中分的正边上的动点则是定值与的位置有关最大值为最小值为答案解析设边优秀学习资料 欢迎下载 22cos3x2cosx2sin3x2sinx2 22cos2x2|cosx|，x2，cosxa.(1)若 a0，写出函数 yf(x)的单调递增区间；(2)若函数 yf(

21、x)的定义域为2，值域为2,5，求实数 a 与 b 的值 解析(1)f(x)2asin2x2 3asinxcosxab2asin2x6b，a0，由 2k 22x62k 2得，k 3xk 6，kZ.函数 yf(x)的单调递增区间是k 3，k 6(kZ)(2)x2，时，2x676，136，sin2x61，12 当 a0 时，f(x)2ab，ab 2ab2ab5，得 a1b4，当 a0.所以 x1x28k234k2，x1x24k21234k2.因为NA NB(x11)(x21)y1y2(1k2)(x11)(x21)(1k2)x1x2(x1x2)1(1k2)4k2128k234k234k29 1k234k2，所以1879 1k234k2125.解得 1k23.所以 3k1 或 1k 3.行则实数的值为答案解析与平行故选蚌埠二中质检已知点向量若则实数欢迎下载且满足则等于答案解析由条件知理黄冈期末在平行四边形中分的正边上的动点则是定值与的位置有关最大值为最小值为答案解析设边