2023年抽象函数解题方法与技巧1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 抽象函数的解题技巧 1.换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例1.已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求 f(x)解:令 u=1+sinx,则 sinx=u-1 (0u2),则 f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故 f(x)=-x2+3x+1 (0u2)2.方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。例 2.232|)x(f:|,x)x1(f 2)x(f),)x(f,x()x(fy求证且为实数即是实数函数设 解:02)x(xf3 x,x1)x(f 2)x1(f,xx12与已知得得代换用.23

2、2|)x(f|,024)x(9f 02得由 例 3.f(x).1),x0(x ,x1)x1x(f)x(f求且已知 解:(1)1),x0(x x1)x1x(f)x(f且,x1x1)x1x1x1x(f)x1x(f:xx1-x得代换用:x)1(x-11 (2).x1x2)x11(f)x1-xf(得中的代换再以即(3).x1x2)x(f)x-11f(,x111)x111x11(f)1x1(f即 1)x0(x x2x21xx)x(f:2)2()3()1(223且得由 3.待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例 4.已知 f(x)是多项式函数，且 f(x+1)

3、+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).解:由已知得 f(x)是二次多项式，设 f(x)=ax2+bx+c (a0)代入比较系数得过且过:a=1,b=-2,c=-1,f(x)=x2-2x-1.4.赋值法 学习必备 欢迎下载 有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例 5.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且 f(1)0,则 f(2001)=_.解:令 x=y=0,得：f(0)=0,令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2,21)n(f)1(f 2)n(f)1n(f,1y,nx.21)1(f,0)1(f2得

4、令.22001)2001(f,2n)n(f,21f(n)-1)f(n 故即 例 6.已知 f(x)是定义在 R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数 a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求 f(0)，f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)若 f(2)=2,un=f(2n)(nN*),求证:un+1un (nN*).解:(1)令 a=b=0,得 f(0)=0,令 a=b=1,得 f(1)=0.(2)f(x)是奇函数.因为:令 a=b=-1,得 f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故 f(-x)=f(-1)(x)=-f(x)

5、+xf(-1)=-f(x),故 f(x)为奇函数.(3)先用数学归纳法证明:un=f(2n)0 (nN*)(略)5.转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便.例 7.设函数 f(x)对任意实数 x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0 时 f(x)0,且 f(1)=-2,求 f(x)在-3，3上的最大值和最小值.解:令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=-x,得 f(-x)+f(x)=f(0)=0,即 f(x)为奇函数.设 x10,由已知得 f(x2-x1)0,故 f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x

6、2-x1)+f(x1)f(x1).所以 f(x)是 R 上的减函数,又 f(3)=f(1)+f(2)=-6,f(-3)=6.故 f(x)在-3,3上的最大值为 6,最小值为-6.例 8.定义在 R+上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,f(xm)=mf(x);f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立;(2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数;(3)若 f(x)+f(x-3)2,求 x 的取值范围.解:(1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n 为实数,则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n.又 f(x)+f(y)=f(2m)+f

7、(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y),2x,2xnm,xx0:)2(n2m121且使可令设证明 0nm)2(f)nm()2(f)xx(f)x(f)x(f)1(nm2121得由 故 f(x1)f(x2),即 f(x)是 R+上的增函数.(3)由 f(x)+f(x-3)2 及 f(x)的性质,得 fx(x-3)2f(2)=f(2)解得 30,n N;f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*;f(2)=4 同时成立?若存在,求出函数 f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数 f(x),满足条件,得 f(2)=f(1+1)=4

8、,解得 f(1)=2.又 f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想:f(x)=2x (xN*)(数学归纳证明 略）例10.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_.解:由 g(x)=f(x)+1-x,得 f(x)=g(x)+x-1.所以 g(x+5)+(x+5)-1 g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1 g(x)+(x-1)+1 即 g(x+5)g(x),g(x+1)g(x).所以 g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+2)g(x+

9、1),故 g(x)=g(x+1)又 g(1)=1,故 g(2002)=1.例11.设定义在R上的函数f(x),满足当x0 时,f(x)1,且对任意x,yR,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2.1)2(f)3x(f21)x(f)2(;,4)xx3(f)1(22解方程解不等式 解:(1)先证 f(x)0,且单调递增，因为 f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x0时 f(x)1,所以 f(0)=1.则使假设存在某个又,0)x(f,Rx,0)2x(f)2x2x(f)x(foo2 f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0,与已知矛盾，故 f(x)0 任取 x1,x2

10、R 且 x10,f(x2-x1)1,所以 f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10.所以 xR 时,f(x)为增函数.解得:x|1x1 时,f(x)f(x2),故 f(x)在 R+上为减函数.能力训练 1.的值是则且如果)2001(f)2000(f)5(f)6(f)3(f)4(f)1(f)2(f,2)1(f),y(f)x(f)yx(f 即为实数且求证解得代换用与已知得由得例已知且求解且用得代换即再式设代入比较系数得过且过赋值法学习必备欢迎下载有些抽象函数的性数都满足求的值判断的奇偶性并证明你的结论若求证

11、解令得令得是奇函学习必备 欢迎下载 A.1999 B.2000 C.2001 D.2002 2.已知不恒为零的函数 f(x)对任意实数 x,y 都满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+f(y),则 f(x)是 A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 3.)2000(f)3(f)2(f)1(f,)1x(f1)1x(f1)1x(f)x(f则满足定义在实数集上的函数 的值为_.4.,ba,c,b,a,cx)x1(bf)x(af)x(f且是不为零的常数其中满足已知函数 则 f(x)=_.x)ba()bax(c)x(f222 5.)xy1yx(f)y(f)x(f),1

12、,1(y,x)1(:)x(f)1,1(都有对任意满足上的函数定义在(2)当 x(-1,0)时,有 f(x)0.求证:()f(x)是奇函数；（）).31(f)5n5n1(f)191(f)111(f2 解:(1)易证f(x)是奇函数。（2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数.)3n)(2n(11)3n)(2n(1f)1)3n)(2n(1(f)5n5n1(f2又)3n1(f)2n1(f)3n1(2n11)3n1(2n1f)3n1(f)31(f)51(f)41(f)41(f)31(f)5n5n1(f)191(f)111(f2 命题成立又).31(f)3n1(f)31(f,0)3n1

13、(f 6.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有f(x)6成立，试确定f(1)应满足的条件；)0a,n(),a(f)xa(fn1)x(f)ax(fn1x)3(22是一个给定的自然数的不等式解关于 解:（1）由已知对于任意xR，yR，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立 令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），f（0）=0 令x=-y，得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0对于任意x，都有f(-

14、x)=-f(x)f(x)是奇函数.（2）设任意x1，x2R且x1x2，则x2-x10，由已知f（x2-x1）0（1）又f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）（2）由（1）（2）得f(x1)f(x2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-，+)上是减函数.f(x)在-3，3上的最大值为f(-3).要使f(x)6恒成立，当且仅当f(-3)6，又f（-3）=-f（3）=-f（2+1）=-f（2）+f（1）=-f（1）+f（1）+f（1）=-3 f（1），f（1）-2.即为实数且求证解得代换用与已知得由得例已知且求解且用得代换即再式设代入比较系数得过且过赋值法学习必备欢迎下

15、载有些抽象函数的性数都满足求的值判断的奇偶性并证明你的结论若求证解令得令得是奇函学习必备 欢迎下载（3）n1 f（ax2）-f（x）n1 f（a2x）-f（a）f（ax2）-f（a2x）nf（x）-f（a）f（ax2-a2x）nf（x-a）（10分）由已知得：fn（x-a）=nf（x-a）f（ax2-a2x）fn（x-a）f（x）在（-，+）上是减函数 ax2-a2xn（x-a）.即（x-a）（ax-n）0，a0，（x-a）（x-an）0，（11分）讨论：（1）当aan0，即a-n时，原不等式解集为x|xan或xa；（2）当a=an0即a=-n时，原不等式的解集为；（3）当ana0时，即-na0时，原不等式的解集为x|xa或xan 即为实数且求证解得代换用与已知得由得例已知且求解且用得代换即再式设代入比较系数得过且过赋值法学习必备欢迎下载有些抽象函数的性数都满足求的值判断的奇偶性并证明你的结论若求证解令得令得是奇函