2023年数学全面汇总归纳法知识全面汇总归纳(最详细).pdf

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1、名师总结 优秀知识点 理科数学归纳法知识总结 一 基本概念 1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可 二 易错点 1.归纳起点易错（1）n 未必是从 n=1 开始 例 用数学归纳法证明：凸 n 边形的对角线条数为232nn 点拔：本题的归纳起点 n=3（2）n=1 时的表达式 例 用数学归纳法证明),1(11122Nnaaaaaann，在验证 n=1 时，左边计算所得的式子是（）A.1 B.a1 C.21aa D.421aaa 点拨 n=1 时，左边的最高次数为 1，即最后一项为a，左边是a1，故选 B 2.没有运用归纳假

2、设的证明不是数学归纳法 例 1 用数学归纳法证明：2243131414141n 错证：（1）当 n=1 时，左=右=411，等式成立（2）假设当 n=k 时等式成立，则当 n=k+1时，211243131411)41(1 41414141kk 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设 3 从 n=k 到 n=k+1 增加项错误 例 1 已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n=k（2k且为偶数）时命题为真，则还需证明（）A.n=k+1 时命题成立 B.n=k+2时命题成立 C.n=2k

3、+2 时命题成立 D.n=2（k+2）时命题成立 名师总结 优秀知识点 点拨：因 n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因 k 的下一个偶数是 k+2，故选 例 2 用数学归纳法证明不等式241312111nnnn的过程中，由 k 推导到 k+1时，不等式左边增加的式子是 点拨：求)()1(kfkf即可 当 n=k 时，左边kkkk12111，n=k+1 时，左边)1()1(13121kkkk,故左边增加的式子是11221121kkk，即)22)(12(1kk 三 知识应用 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等 1

4、用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明等式：nnnnn212111211214131211 例 2 用数学归纳法证明：1212121751531311nnnn 2 用数学归纳法证明不等式 例 3 用数学归纳法证明不等式2)1(21)1(3221nnn 例 4证明不等式nn2131211(nN)3 用数学归纳法证明整除问题 例 5 求证：)(53Nnnn能被 6 整除.例 6 证明：)(,)3(1Nnxn能被2x整除 4 用“归纳猜想证明”解决数列问题 例 7 在数列na中，nnnaaaxa11,tan11，（1）写出,21aa3a；（2）求数列na的通项公式 形的对角线条数为点拔本题的

5、归纳起点时的表达式例用数学归纳法证明等式成立假设当时等式成立则当时综合等式对所有正整数都成立点拨错偶数时命题为则还需证明时命题成立时命题成立时命题成立时命题成立名师总结 优秀知识点 例 8 在数列na中，)(2)2(,2111Nnaaannnn，其中0，求数列na的通项公式 5 用“归纳猜想证明”解决几何问题 例 9n 个半圆的圆心在同一条直线 l 上，这 n 个半圆每两个都相交，且都在直线 l 的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？四 练习巩固 1.用数学归纳法证明：1(n2-1)+2(n2-22)+n(n2-n2)=2n(n-1)(n+1)4(n N*).2.用数学归纳法证明：

6、123+234+n(n+1)(n+2)=n4(n+1)(n+2)(n+3)(n N*).3.当 n1，nN*时，求证：111912310nnn 4.用数学归纳法证明：nn11111+1+n22322(nN*)5.用数学归纳法证明 49n+16n-1能被 64 整除(n N*)6.用数学归纳法证明 mn+2+(m+1)2n+1能被 m2+m+1整除(n N*)7.在数列na中，an0,且 Sn=1/2(an+n1a)(1)求 a1、a2、a3；(2)猜测出 an的关系式并用数学归纳法证明。8.设数列an的前 n 项和为 Sn，且方程 x2anxan0 有一根为 Sn1，n1,2,3，.(1)求 a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出严格的证明 9.平面内有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成 n2-n+2个部分。形的对角线条数为点拔本题的归纳起点时的表达式例用数学归纳法证明等式成立假设当时等式成立则当时综合等式对所有正整数都成立点拨错偶数时命题为则还需证明时命题成立时命题成立时命题成立时命题成立