2023年数列专题数列与不等式本人.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 数列专题数列与不等式 数列与不等式 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前 n 项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养【示例 1】(2011 浙江)已知公差不为 0 的等差数列an的首项 a1为 a(aR)，且1a1，1a2，1a4成等比数列 (1)求数列an的通项公式；(2)对 nN*，试比较1a21a221a231a2n与1a1的大小 解(1)设等差数列an的公差

2、为 d，由题意可知1a221a11a4，即(a1d)2a1(a13d)，从而 a1dd2.因为 d0，所以 da1a.故通项公式 anna.(2)记 Tn1a21a221a2n，因为 a2n2na，所以 Tn1a1212212n 1a12112n1121a112n，从而，当 a0 时，Tn1a1；当 a0 时，Tn1a1.本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力【训练】已知数列an的各项均为正数，Sn为其前 n 项和，对于任意的 nN*满足关系式 2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的通项公式是 bn1l

3、og3an log3an1，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正数 n，总有 Tn1.(1)解 由已知得 2Sn3an3，2Sn13an13(n2)故 2(SnSn1)2an3an3an1，即 an3an1(n2)故数列an为等比数列，且公比 q3.又当 n1 时，2a13a13，a13，an3n.学习必备 欢迎下载(2)证明 bn1n n11n1n1.Tnb1b2bn11212131n1n111n11.数列综合 以等差数列、等比数列为载体，考查函数与方程、等价转化和分类讨论等数学思想方法，是新课标高考数列题的一个重要特点，因试题较为综合，故难度一般较大【示例 2】(2011 天津)已知数

4、列an与bn满足 bn1anbnan1(2)n1，bn3 1n12，nN*，且 a12.(1)求 a2，a3的值；(2)设 cna2n1a2n1，nN*，证明cn是等比数列；(3)设 Sn为an的前 n 项和，证明S1a1S2a2S2n1a2n1S2na2nn13(nN*)(1)解 由 bn3 1n12，nN*，可得 bn 2，n为奇数，1，n为偶数.又 bn1anbnan1(2)n1，当 n1 时，a12a21，由 a12，可得 a232；当 n2 时，2a2a35，可得 a38.(2)证明 对任意 nN*，a2n12a2n22n11，2a2na2n122n1.，得 a2n1a2n1322n

5、1，即 cn322n1，于是cn1cn4.所以cn是等比数列(3)证明 a12，由(2)知，当 kN*且 k2 时，a2k1a1(a3a1)(a5a3)(a7a5)(a2k1a2k3)23(2232522k3)232 14k11422k1，故对任意 kN*，a2k122k1.由得 22k12a2k22k11，所以 a2k1222k1，kN*，因此，S2k(a1a2)(a3a4)(a2k1a2k)k2.于是，S2k1S2ka2kk1222k1.决要掌握常见的解决不等式的方法以便更好地解决问题主要考查考生的差数列的公差为由题意可知即从而的大小解与为所以故通项公式记从而数为其前项和对于任意的满足关系

6、式求数列的通项公式设数列的通项公学习必备 欢迎下载 故S2k1a2k1S2ka2kk1222k122k1k21222k1k122k22kk22k1114kk4k 4k1.所以，对任意 nN*.S1a1S2a2 S2n1a2n1S2na2nS1a1S2a2S3a3S4a4 S2n1a2n1S2na2n1141121142242 421 114nn4n 4n1 n 14112142242 421 14nn4n 4n1n14112n13.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，难度较大 在数列na中，12a，14

7、31nnaan，n*N （）证明数列nan是等比数列；（）求数列na的前n项和nS；（）证明不等式14nnSS，对任意n*N皆成立 （）证明：由题设1431nnaan，得 1(1)4()nnanan ，n*N 又111a ，所以数列nan是首项为1，且公比为4的等比数列 （）解：由（）可知14nnan，于是数列na的通项公式为 14nnan 所以数列na的前n项和41(1)32nnn nS （）证明：对任意的n*N，决要掌握常见的解决不等式的方法以便更好地解决问题主要考查考生的差数列的公差为由题意可知即从而的大小解与为所以故通项公式记从而数为其前项和对于任意的满足关系式求数列的通项公式设数列的

8、通项公学习必备 欢迎下载 1141(1)(2)41(1)443232nnnnnnn nSS 21(34)02nn 所以不等式14nnSS，对任意n*N皆成立 2.设数列na的前n项和为nS，)1(2,11nnSaann。（1）求证：数列na为等差数列，并分别求出na、nS的表达式；（2）设数列11nnaa的前 n 项和为nT，求证：4151nT；（3）是否存在自然数 n,使得2009)1(322321nnSSSSn？若存在，求出 n 的值；若不存在,请说明理由。又易知nT单调递增，故nT511 T，得4151nT(3)由)1(2nnnaSnn得12 nnSn 22321)1()12(531)1

9、(32nnnnSSSSn=12 n13 分 由200912n，得 n=1005,即存在满足条件的自然数 n=1005.1211111320.933378823nnnnnnnnnnnnnnnaaanSnaSa SSaabbnaaTnT 已知数列中，其前 项和为，且当时，求证：数列是等比数列；求数列的通项公式；令，记数列的前 项和为，三、数列与不等式综合证明对于任意的正问整数，都有例题3成立决要掌握常见的解决不等式的方法以便更好地解决问题主要考查考生的差数列的公差为由题意可知即从而的大小解与为所以故通项公式记从而数为其前项和对于任意的满足关系式求数列的通项公式设数列的通项公学习必备 欢迎下载 11

10、2111111112121112SS(2)104001141 4.1223 4 1 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSa SSSSSSSSSSSnSSnSSSnaSSaSSa 证明：当时，所以又由，可推知对一所以数列是等比数切正整数均有，由知等比数列的首项为，公比为，所以当时，列，又，所以解析：2 1.3 4 2nnn 2122212111121122123 49339 3 43 4.3 43 3 4341 4193338318373 488241 413nnnnnnnnnnnnnnnnnaabaaabaanbTbn 证明：当时，此时又，所以，22121122 22 12

11、1113 411241 414141311()8414111717().4141841837880nnnnnnnnnnnnnnnnbTbbbnbTTTnT 当时，又因为对任意所以对于任意的正整数的正整数都有，所以 单调递增，都有，即，成立 11*1121234*111*121213111()(2)2(2)11110(1)(1)(1)(23)31nnnnnnnnnnnnnbbbbaaabnnbbbbbbbabnnabnaaa NNN数列满足，若数列满足，且求，及；求证：且；求证：例4决要掌握常见的解决不等式的方法以便更好地解决问题主要考查考生的差数列的公差为由题意可知即从而的大小解与为所以故通项

12、公式记从而数为其前项和对于任意的满足关系式求数列的通项公式设数列的通项公学习必备 欢迎下载 2341111*12211211121111137152112111 22111()12(2)11111111121.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbabnnbbbaabbbbbbbbbaaaabbbbbb N，由，所以证明：因为且，所:以，以析所解，*111(2)nnnnabnnabN且 1212123122111231341121111212121112(1)(1)(1)111111123211122()3111131()132111(1)(1nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabbaabaaaaaabbbababbbbbbbbaa 证明：由知，而，121111)(1)2()nnabbb 111112123341112122121 212112(),21 21212111132111110(1)(11111112()()()212121212121111)(1).512()32313nkkkkkkkkknnnnaaak 当，所以时，所以决要掌握常见的解决不等式的方法以便更好地解决问题主要考查考生的差数列的公差为由题意可知即从而的大小解与为所以故通项公式记从而数为其前项和对于任意的满足关系式求数列的通项公式设数列的通项公