2023年平面向量的概念线性运算基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点总结归纳与同步练习.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积 一、向量的概念 1.向量：既有大小有方向的量叫做向量.只有大小没有方向的量称为数量.2.几何表示:向量可以用有向线段表示.长度：向量AB的大小,也就是向量AB的长度(或称模),记做|AB|.向量也可用字母a b,c,（印刷用黑体a，手写用a）或用表示向量的有向线段的起点和终点表示.例如，AB，CD.零向量：长度为 0 的向量.记做0.单位向量:长度为 1 的向量.平行向量:方向相同或相反的向量.记作a/b.规定:零向量与任一向量平行.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.记做a=b.注意:向量相等与有

2、向线段的起点无关.共线向量:任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量.二、平面向量的线性运算(向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算)1.向量加法的三角形法则 已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB a，BC b，则向量AC叫做a 和b的和，记做a+b，即 ABBCa+b 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种方法称为向量加法的三角形法则.2.向量加法的平行四边形法则 以同一个点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作OACB,则以O为起点的对角线OC是a与b的和,即OA OBOCa+b.此法叫做向量加法的平行四边形法则.规定：对零向量与任一向量a，00a+=

3、+a=a 3.小结论 对任意向量a、b，有|a+b|a|+|b|；当a、b同向时，|a+b|=|a|+|b|；当a、b反向是，|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）4.向量加法交换律：a+b=b+a；向量加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)5.与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.规定：零向量的相反向量是零向量.6.向量减法的几何意义：a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.7.向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)|aa；学习必备 欢迎下载(2)当0时,a的方向与a的方向相同；

4、当0时,a的方向与a的方向相同.8.数乘的运算律：(1)()()aa;(2)()aaa;(3)()abab.9.向量共线充要条件:向量()a a0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba.三、平面向量的基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理 如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一个实数1、2，使得 1 122aee 把不共线的向量1e、2e叫做这一平面内所有向量的基底.2.向量的夹角 已知两个非零向量和ab，作OA a，OB b，则(0180)AOB 叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹角是90，称a与b垂直，记作ab.当0时，与ab同向；当1

5、80时，与ab反向.3.正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.4.向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得 xy aij 这样，平面内的任一向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序数对(,)x y叫做向量a的坐标，记作(,)x ya.其中x，y分别叫做a在x轴上，在y轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示.5.平面向量的坐标运算 (1)若11(,)x ya，22(,)xyb，则1212(,)xxyy ab；(

6、2)若(,),x yRa,则(,)xy a；(3)若11(,)A x y,22(,)B xy，则2121(,)ABxx yy.6.平面向量共线的坐标表示 设11(,)x ya,22(,)x yb()0b,则向量()0、ab b共线的充要条件为12210 x yx y.度或称模记做向量也可用字母印刷用黑体手写用或用表示向量的有向线方向相同的向量叫做相等向量记做注意向量相等与有向线段的起点无关角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做和的和记做即求学习必备 欢迎下载 7.设111(,)P x y,222(,)P xy.(1)若P是12PP的中点，则121222(,)xxyyP；(2)若12P

7、PPP，则121211(,)xxyyP.前三部分总结 1.向量相等(长度和方向).2.加法的三角形法则(首尾相连)、四边形法则(起点相同)及其几何意义.注意与平面几何相结合 小结论：(1)G为ABC的重心(中线的交点)123123GA+GB+GC0G33xxxyyy ，；(2)G为ABC的外心GBGCGA 3.共线(平行)向量.(1)11221221(,)(,)()/0 x yxyx yx ya,bb0 aba=b；(2),A B C三点共线/ABAC.4.平面向量基本定理 1 12212(,)不共线aee e e 四、平面向量的数量积：1、向量的夹角概念：对于两个非零向量,a b，如果以O为

8、起点，作,OAa OBb，那么射线,OA OB的夹角叫做向量a与向量b的夹角，其中0 2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义:如果两个非零向量,a b的夹角为，那么我们把|cosab叫做向量a与向量b的数量积，记做a b 即：cosa ba b（2）投影：b在a上的投影是一个数量cosb，它可以为正，可以为负，也可以为 0（3）坐标计算公式：若向量11(,)ax y，22(,)bxy，则1212x xyayb 3、向量的夹角公式：221212221122cosx xy ya ba bxyxy 4、向量的模长：22211aaa axy 度或称模记做向量也可用字母印刷用黑体手写用或用表示向量的有

9、向线方向相同的向量叫做相等向量记做注意向量相等与有向线段的起点无关角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做和的和记做即求学习必备 欢迎下载 5、平面向量的平行与垂直问题：（1）若11(,)ax y，22(,)bxy，/ab，则1 22 10 xyxy（2）若11(,)ax y，22(,)bxy，ab，则121200 x xya by 例：一、平面向量的数量积的应用：1、向量数量积定义的应用 例 1（1）已知1,2,ab向量,a b的夹角为3，求(2)(2)abab（2）已知(2,1),(3,4),ab求：()(3)abab；若1,9a cb c，求c的坐标 2、向量的夹角问题 例 2（

10、1）已知向量a、b都是非零向量，且向量a b3与向量57 ab垂直，向量a b4与向量27 ab垂直，求向量a与b的夹角。（2）若向量a=xx 2,，b=2,3x，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围 基础练习：一、选择题 1下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （）Ae1=(0,0),e2=(1,2);Be1=(-1,2),e2=(5,7);Ce1=(3,5),e2=(6,10);De1=(2,-3),e2=)43,21(2已知向量 a、b，且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2 b,则一定共线的三点是 （）度或称模记做向量也可用字母印刷用黑体手写用或用表示

11、向量的有向线方向相同的向量叫做相等向量记做注意向量相等与有向线段的起点无关角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做和的和记做即求学习必备 欢迎下载 AA、B、D BA、B、C CB、C、D DA、C、D 3如果 e1、e2是平面 内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （）e1 e2(,R)可以表示平面 内的所有向量；对于平面 中的任一向量 a,使 a=e1 e2的 ,有无数多对；若向量 1e1+1e2与 2e1+2e2共线,则有且只有一个实数 k,使 2e1+2e2=k(1e1+1e2)；若实数 ,使 e1 e2=0，则 =0.A B C D仅 5若向量 a=(1,1),b=

12、（1,-1),c=(-2,4),则 c=()A-a+3b B3a-b Ca-3 b D-3 a+b*6平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C(x,y)满足OC=OA+OB，其中 ,R 且 +=1，则 x,y 所满足的关系式为 （）A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=0 二、填空题 7作用于原点的两力 F1=(1,1),F2=(2,3),为使得它们平衡，需加力 F3=;8若 A(2,3)，B(x,4),C(3,y),且AB=2AC,则 x=，y=;9已知 A(2,3),B(1,4)且12AB=(si

13、n,cos),(-2,2),则 +=*10已知 a=(1,2),b=(-3,2),若 ka+b 与 a-3 b 平行，则实数 k的值为 11、若0 ba，则a与b的夹角的取值范围是 。12、180,36|,10|baba，a与b的夹角是 。13、已知),5,3(),2,(bma若a与b的夹角为钝角，实数 m 的取值范围为 。14、已知ababa)(,2|,1|，则a与b的夹角是 三、解答题 15.已知向量 b 与向量 a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求 b 16如果向量AB=i-2 j,BC=i+mj,其中i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数 m 的值使

14、A、B、C 三点共线。度或称模记做向量也可用字母印刷用黑体手写用或用表示向量的有向线方向相同的向量叫做相等向量记做注意向量相等与有向线段的起点无关角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做和的和记做即求学习必备 欢迎下载 17已知 A、B、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2）,11,33AEAC BFBC 求证：/EFAB *18已知 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若()APABACR，试求 为何值时，点 P 在第三象限内？19、已知),1,(),1,2(mmba若a与b的夹角为锐角，求实数 m 的取值范围。20、已知a、b都是非零向量，且3ab与75a

15、b垂直，4ab与72ab垂直，求a与b的夹角。21、ABC 中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,8)，判断 ABC 的形状。22、在 ABC 中，),2(),1,1(kACAB，若 ABC 为直角三角形，求实数 k的值。23、已知),13,13(),3,1(ba求a与b的夹角是多少？度或称模记做向量也可用字母印刷用黑体手写用或用表示向量的有向线方向相同的向量叫做相等向量记做注意向量相等与有向线段的起点无关角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做和的和记做即求学习必备 欢迎下载 24、已知),31,3(),35,3(ba求ba2与ba 的夹角是多少？25、若a与b的夹角为 ，且a=(3,3)，)1,1(2 ab，求 。度或称模记做向量也可用字母印刷用黑体手写用或用表示向量的有向线方向相同的向量叫做相等向量记做注意向量相等与有向线段的起点无关角形法则已知非零向量在平面内任取一点作则向量叫做和的和记做即求