2023年数列部分专题复习.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 数列部分专题复习 一、新高考数列地位 数列是衔接初等数学与高等数学的桥梁，在高考中的地位举足轻重，近年来的新课标高考都把数列作为核心内容来加以考查，并且创意不断，常考常新了解高考中数列问题的命题规律，掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法，针对性地开展数列知识的复习和训练，对于在高考中取得理想的成绩具有十分重要的意义.考纲对数列的考查呈现出综合性强、立意新、难度大的特点，注重在知识交汇点设计题目，常常与函数、方程、不等式、三角变换、导数、解析几何、推理与证明以及数学归纳法等有机地结合在一起.二、数列知识网络体 四、数列基本知识 一 数列的概念：数列是一个定义域为正整数集 N

2、*（或它的有限子集 1,2，3，n）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如 概念 数列 表示 等差数列与等比数列的类比 解析法：anf(n)通项公式 图象法 列表法 递推公式 等差数列 通项公式 求和公式 性质 判断 ana1(n1)d ana1qn1 anamapar anamapar 前 n 项和 Snn(a1an)2 前 n 项积(an0)Tn(a1an)n 常见递推类型及方法 逐差累加法 逐商累积法 构造等比数列anqp1 an1anf(n)an+1an f(n)an1panq 化为an1qn=pqanqn11 转为 an+1panqn 等比数列 an0，q0 Snna1

3、，q1a1(1qn)1q，q1 公式法：应用等差、等比数列的前n 项和公式 分组求和法 倒序相加法 裂项求和法 错位相加法 常见求和方法 数列是特殊的函数 学习必备 欢迎下载（1）已知*2()156nnanNn，则在数列na的最大项为_（答：125）；二等差数列的有关概念：1等差数列的判断方法：定义法1(nnaad d为常数）或11(2)nnnnaaaan。2等差数列的通项：1(1)naand 或()nmaanm d。3等差数列的前n和：1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad。如（1）已知数列 na的前 n 项和212nSnn，求数列|na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1

4、272(6,)nnnnnNTnnnnN）.4等差中项：若,a A b成等差数列，则 A叫做a与b的等差中项，且2abA。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到 5 个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，2,2ad ad a ad ad（公差为d）；偶数个数成等差，可设为，3,3ad ad ad ad,（公差为 2d）三等差数列的性质：1当公差0d 时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad 是关于n的一次函

5、数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为 0.2若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。3当mnpq 时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp 时，则有2mnpaaa.4若na、nb是等差数列，则nka、nnkapb(k、p是非零常数)、*(,)p nqap qN、232,nnnnnSSSSS，也成等差数列，而naa成等比数列；若na是等比数列，且0na，则lgna是等差数列.5在等差数列na中，当项数为偶数2n时，SSnd偶奇；项数为奇数21n时，SSa奇偶中，21(21)nSna

6、中（这 里a中即na）；:(1):奇偶SSkk。6若等差数列na、nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAf nB，则 2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.如设na 与nb 是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通项公式图象法列表法递学习必备 欢迎下载 3413nnTSnn，那么nnba_（答：6287nn）7“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数

7、列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前 13 项和最大，最大值为169）；（2）若na是等差数列，首项10,a 200320040aa，200320040aa，则使前 n 项和0nS 成立的最大正整数 n 是 （答：4006）8如果两等差数列有

8、公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab.四等比数列的有关概念：1等比数列的判断方法：定义法1(nnaq qa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。2等比数列的通项：11nnaa q或n mnmaa q。3 等比数列的前n和：当1q 时，1nSna；当1q 时，1(1)1nnaqSq11naa qq。特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为 1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为

9、1 时，要对q分1q 和1q 两种情形讨论求解。4等比中项：若,a A b成等比数列，那么 A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数,()a b ab的等差中项为 A，等比中项为 B，则 A与 B的大小关系为_（答：AB）提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到 5 个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，22,aaa aq aqqq（公比为q）；

10、但偶数个数成等比时，不能设为33,aqaqqaqa，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通项公式图象法列表法递学习必备 欢迎下载 且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求此四个数。（答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）当mnpq 时，则有mnpqaaaa，特别地，当2mnp 时，则有2mnpa

11、aa.(2)若na是等比数列，则|na、*(,)p nqap qN、nka成等比数列；若 nnab、成等比数列，则nna b、nnab成等比数列；若na是等比数列，且公比1q ，则数列232,nnnnnSSSSS，也是等比数列。当1q ，且n为偶数时，数列232,nnnnnSSSSS，是常数数列 0，它不是等比数列.(3)若10,1aq，则na为递增数列；若10,1aq,则na为递减数列；若10,01aq ，则na为递减数列；若10,01aq,则na为递增数列；若0q，则na为摆动数列；若1q，则na为常数列.(4)当1q 时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab，这是等

12、比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据nS，判断数列na是否为等比数列。(5)如果数列na既成等差数列又成等比数列，那么数列na是非零常数数列，故常数数列na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列na的前n项和为nS（Nn），关于数列na有下列三个命题：若)(1Nnaann，则na既 是 等 差 数 列 又 是 等 比 数 列；若RbanbnaSn、2，则na是等差数列；若 nnS11，则na是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：）五.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知nS（即12()naaaf n）求na，用作差法：11,(

13、1),(2)nnnSnaSSn。已知12()na aaf n求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnf nanf n。如数列na中，,11a对所有的2n都有2321naaaan，则53aa_（答：6116）若1()nnaaf n求na用累加法：11221()()()nnnnnaaaaaaa 1a(2)n。如已知数列na满足11a，nnaann111(2)n，则na=_（答：121nan）已知1()nnaf na求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa (2)n。律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及

14、数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通项公式图象法列表法递学习必备 欢迎下载 如已知数列na中，21a，前n项和nS，若nnanS2，求na（答：4(1)nan n）已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na。如已知111,32nnaaa，求na（答：12 31nna）；已知111,32nnnaaa，求na（答：115 32nnna）；（2）形 如11nnnaak ab的 递 推 数 列 都 可 以 用 倒 数 法 求 通 项。

15、如 已 知1111,31nnnaaaa，求na（答：132nan）；已 知 数 列 满 足1a=1，11nnnnaaa a，求na（答：21nan）注意：（1）用1nnnSSa求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n，当1n 时，11Sa）；（2）一般地当已知条件中含有na与nS的混合关系时，常需运用关系式1nnnSSa，先将已知条件转化为只含na或nS的关系式，然后再求解。如数列na满足11154,3nnnaSSa，求na（答：14,13 4,2nnnan）六.数列求和的常用方法：1公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与

16、1 的关系，必要时需分类讨论.；常用公 式：1123(1)2nnn，222112(1)(21)6nn nn，33332(1)1232n nn .2分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.如求：1357(1)(21)nnSn （答：(1)nn）3倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.如 已 知22()1xf xx，则111(1)(2)(3)(4)()()()234fffffff_（答：72）4错位相减法：如果数列的

17、通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.如（1）设na为等比数列，121(1)2nnnTnanaaa ，已知11T，24T，律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通项公式图象法列表法递学习必备 欢迎下载 求数列na的首项和公比；求数列nT的通项公式.（答：11a，2q；122nnTn）；（2）设 函 数)1(4)()1()(2xxgxxf，数 列na满 足：12,()nafa(na)()1Nna

18、gann，求 证：数 列 1na是 等 比 数 列；令212()(1)(1)h xaxax(1)nnax，求函数)(xh在点38x处的导数)38(h，并比较)38(h与nn 22的大小。（答：略；8()(1)213nhn，当1n 时，)38(hnn 22；当2n 时，)38(hnn 22）5裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：111(1)1n nnn；11 11()()n nkk nnk；2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；1111(1)(2)2(1)(1)(2)

19、n nnn nnn；11(1)!(1)!nnnn；2122(1)2(1)11nnnnnnnnn.如（1）求和：1111 447(32)(31)nn （答：31nn）；（2）在数列na中，11nnan，且 S，则 n_（答：99）；6通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如 求数列 14，25，36，(3)nn，前n项和nS=（答：(1)(5)3n nn）；求和：111112123123n （答：21nn）律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析

20、法通项公式图象法列表法递学习必备 欢迎下载 三、高考数列题型分析（一）近三年高考数列内容分布统计表 年号 题号 分值 重点考察的知识点及知识点交汇情况 所占比例 2010 理 8 5 本题难度适中，考查了nS与na的关系、等比数列和极限 文 8%理 11.3%文 20 理 21 12 12 文：本题难度适中，考察了基本量求等差数列的通项、差比数列的求和 理：本题难度适中，考查了赋值求项、等差数列的证明、差比数列的求和 2011 文 9 理 8 5 文：9 题难度适中，考查了nS与na的关系及等比数列的相关知识 理：8 题难度适中，考查了基本量运算求等差数列通项、前n 项和公式及累加法 11.3

21、%文 20 理 20 12 文：本题难度适中，考察了基本量的运算、等差数列的证明 理：本题难度适中，考查了组合数性质，等比数列相关知识，差比数列的求和 2012 文 12 理 12，16 文 5 理 5+5 文：12 题难度很大，考查了等差数列性质及函数的变形，考察构造新函数的能力和转化化归能力 理：12 题难度很大，考查了等差数列的性质及三角函数公式，同时考察了化归思想和逻辑推理能力 16 题难度很大，考查了直觉猜想、合理估算、反例构造、演绎推理等方法，不容易寻找到解题的切入点，特殊值列举是很有效的解决办法.文 20.7%理 24%文 20，22 理 20，22 文 12+14 理 12+1

22、4 文：20 题难度适中，考查了nS与na的关系及递推公式求通项、数列前n 项和的最值 22 题与理科类似，难度大 理：20 题难度适中，考查了赋值求项、nS与na 的关系、数列前 n 项和的最值 22 题属于高档题，难度大，考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.（二）2010-20XX年高考数列内容分析及 20XX年高考题型预测 数列在高考中基本上是一小一大，小题为中难度题，大题几乎都为综合题。内容：1、关于等差、等

23、比数列的基本量问题，一般是求项、求和；2、通过递推或探索来判断数列及其性质的问题，常用的方法有构造、累加、累乘法；3、数列与函数、方程、不等式、导数、解几等的综合问题；如果数列问题出现在最后一两题，必定是综合性很强的问题，大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式、简单数论等知识，通过运用递推、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力和数学探索创新的能力.律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通

24、项公式图象法列表法递学习必备 欢迎下载 20XX年新课标高考数列新题型预计会具有一定的探究性和开放性,可能出现数列解决实际应用问题。题目特点：1、没有给出条件，或者没有给出足够的条件，需要考生自己去寻找出充分条件或充要条件；2、没有给出结论，或者没有确定的结论，需要考生自己去探求结论；3、给出的信息比较生疏，比较新颖，或所给知识没有学习过，需要考生自己去理解，筛选；4、给出一个特殊的情形或类似的问题，需要考生自己去归纳、联想、类比；（三）高考基本题型与基本策略示例 基本题型一：运用基本量思想解决等差、等比数列的求项求和问题 例.（2011 四川文 20）已知na是以a为首项，q为公比的等比数列

25、，nS为它的前n项和 （）当1S、3S、4S成等差数列时，求q的值；（）当mS、nS、lS成等差数列时，求证：对任意自然数k，m ka、n ka、l ka也成等差数列 说明：此题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本量运算能力和分析问题、解决问题的能力 变式：（1）（2011 辽宁理 17）已知等差数列an满足2680,10aaa.求数列na的通项公式；求数列12nna的前n项和 说明：1、此题是典型的运用基本量思想求数列通项的问题，列出关于1ad和的方程两个二元一次方程构成的方程组，通过加减消元或带入消元接出1ad和的值；2、数列12nna是一个差比数列，错位相减法求和 变式：（2010

26、全国卷理科数学 4）已知各项均为正数的等比数列na中，123a a a=5，789a a a=10，则456_.a a a 说明：表面看这是一道可以用基本量思想解决的问题，但在实际操作过程中发现，使用基本律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通项公式图象法列表法递学习必备 欢迎下载 量列出方程组计算量较大，要得到结果还需借助指数幂的运算性质，易出错.如果联想等比数列性质，不难发现2741aa a，2528aa a，2639aa a，运用性质可以很快求出4565 2a a

27、 a 基本策略：等差、等比数列是两类最基本的数列，它们的通项公式、前 n 项和的公式中均含有两个基本量，因此数通过基本量思想求解等差等比的通项和前 n 项和是高考考查的重点也是热点.在运用基本量思想解决问题时，要注意以下两个方面：1、基本量思想在解决问题时比较程序化，认真审题选择恰当的方法是关键，有两个性质 有 时 可 以 简 化 计 算 在 等 差 数 列 中，若*(,),mnpq m n p qN 则mnpqaaaa；在等比数列中若*(,),mnpq m n p qN 则mnpqaaaa；等差中项和等比中项。2、等差、等比数列的求和，需选择恰当的求和公式，等比数列还需考虑 q=1 和 q1

28、.基本题型二：与递推有关的数列问题 例.（2011 四川理 8）数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaanN若则32b，1012b，则8a _.说明：由已知知128,28,nnnbnaan由叠加法 21328781()()()642024603aaaaaaaa 一般地，使用累加法求通项的递推形式为)(1nfaann，使用累乘法求通项的递推形式为)(1nfaann.变式：（2010 新课标全国理科卷 17）设数列na满足12a，113 2nnnaa.（1）求数列na的通项公式；（2）令nnbna，求数列nb的前n项和nS.说明：此题为一道典型的运用递推数列性质求项求和的问题，用到

29、我们熟知的累加法即230112211()()()3232322nnnnnnnaaaaaaaa 13 21n；第二问中132nnnbnann，则采用分组求和的方法求和，在分组求和律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通项公式图象法列表法递学习必备 欢迎下载 中的第一个分组则采用错位相减法求和，此题主要考察学生对基本方法的熟悉程度.基本策略：1、递推数列的求项求和问题一般以递推公式为背景，通过常见的累加、累乘、构造等方法对递推公式进行变形，最终转化为等差、等比数列的定义式“

30、差式”“商式”进行求解，在构造过程中会用到多种构造方法，但最后的目的还是将未知的数列转化为我们的基本数列进行求解.2、nS与na的关系式：11(1)(2)nnnSnaSSn要求每一个学生都掌握并会运用.3、几种基本的递推模型人人掌握，其它类型的递推，由于类型较多，根据新课标要求及历年高考中考查的问题，一般要求不高，复习时建议不同层次的学校根据学生特点进行复习，对于变形巧妙，难度较大的问题，可视学生情况选讲.4、几种常见的数列求和人人掌握，学会分析数列的通项公式的特征去选择恰当的求和方法.基本题型三：数列与函数、方程、不等式等知识的综合问题 例(2011 江苏 13)设1271aaa，其中135

31、7,a aaa成公比为q的等比数列，246,aaa成公差为 1 的等差数列，则q的最小值是_.说明：有等差又有等比，基本量在哪儿，注意到已知1d，所以2a为等差的基本量，故先用2a表示4a、6a，则已知条件变为231212121112aaa qaa qaa q ，再注意到结论为求q的最小值，所以21a、22a 应尽可能的小，故211aa，可得23123qqq ，所以33q，22q，1q，3min3q.此题是数列与不等式的综合题，要想快速求解需要学生有较好的数学素养，甚至解题过程还需要直觉的成份，显然死记硬背式的学习对解决这样的问题是行不通的的，因此在数列教学中，我们更要关注学生对数列的深入理解

32、，以及数学素养的教育.例.（2010 浙江 15）设1a,d为实数，首项为1a，公差为d的等差数列na的前n项和为nS,满足56150S S，则d的取值范围是 说明：56150S S 化归基本量后看作：关于1a的一元二次方程2211291010adad 必有解，所以0282 22 2ddd 或 此题考察数列与方程的综合题，需要学生对二元方程的主元变换有着深入理解.律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通项公式图象法列表法递学习必备 欢迎下载 例.（2011 广东 20）

33、设 b0，数列na满足111=,(2)22nnnnbaab anan（1）求数列na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n,1112nnnba 111111211,22111112,2.2222112112(),2211122,22(2)12nnnnnnnnnnnnnnanbannaanb abnnnnnbaaaaaannbabb abnababbbbnab 解:(1)由可得当时则数列是以为首项为公差的等差数列从而 当时,则数列是以为首项为公比的等比数列2212(2)1()(),(2)22nnnbbnnannbbbbbb1111111111232211123122,2,22(2)(2),2

34、2222,22222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbaabnbbbnbbabbbnbbbbbbbbb (2)当b=2时,+1+1,从而原不等式成立;1当b2时,要证+1,只需证+1即证+1即证+即证n21223112121123212121123221,22222221)()()()2222222122222222,.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbn 而上式左边=(当b2时 原不等式也成立 从而原不等式成立 说明：此题考察了递推公式求通项问题、数列与不等式综合，分析法、基本不等式证明不等式恒成立问题.

35、变式：（2012 四川理 22）已知a为正实数,n为自然数,抛物线22nayx 与x轴正半轴相交于点A,设()f n为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.()用a和n表示()f n;()求对所有n都有33()1()11f nnf nn成立的a的最小值;律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通项公式图象法列表法递学习必备 欢迎下载()当01a 时,比较11()(2)nkf kfk与27(1)()4(0)(1)ff nff的大小,并说明理由.说明：此题属于高档题，难度大，

36、主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力。基本策略：数列与函数、不等式都是高中数学重要内容，一些常见的解题技巧和思想方法在数列与函数、不等式的综合问题中都得到了充分的体现以其知识交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考中出现的频率高、难度大学生遇到此类问题一般有畏难情绪，因此，建议复习时从入口低的问题入手，帮助学生找到解决此类问题的基本途径，建议能力较弱的学生遇到此类问题不必强求.四、我校对数列的二轮专题复习的

37、建议 目标：在第一阶段复习的基础上，回扣教材例题、习题，进一步帮助学生梳理知识脉络，建构清晰的知识网络，将知识进行有效整合、归类，减轻学生记忆负担，提高学生对数列题的“审题”“解题”能力，帮助学生树立解题信心.专题 内容说明 注意事项 专题一 等差、等比数列的求项、求和 重点：1、等差等比数列基本量的运算 2、等差等比数列的基本性质的运用 培养学生的运算能力，化归能力，选择、填空题训练为主 专题二 递推数列求通项、求和 重点 1、nS与na关系 2、递推公式求通项：几个常见递推模型，难点在对构造出的新数列的理解 3、常用的求和方法：分组求和法，裂项法，错位相减法，倒序相加法 培养学生表达式的变

38、形与转化和字母运算的能力，解答题训练为主 专题三 数列与函数、方程、不等式等的综合运用 重点：简单的运用函数、方程、不等式等知识解决与数列相关的最值、单调性、比较大小等问题 知识的迁移与综合运用能力，综合性解答题训练为主 专题四 数列应用题 利用数列解决实际应用问题 高考新增内容 专题五 探索型、开放型、创新型问题 多种题型：周期数列、数阵、存在性问题 知识与方法的灵活运用，填空题与解答题均可出现 律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通项公式图象法列表法递学习必备 欢

39、迎下载 专题一 等差、等比数列的求项、求和 重点：教会学生两种思路解决此类问题 思路一 先联立方程组求出“基本量”：首项、公差或公比（有时候采用整体代换），再求项、求和 关键怎么消元？尤其是等比数列求基本量时，应当先化简、提公因式1a后，再作商消去1a.相关运算：一元二次方程的解法、平方差公式、立方和差公式、指数式、对数式的运算公式.思路二 利用等差、等比数列的性质去求项、求和 关键分析项与项的序号之间的关系，看是否有下标和相等，中间项，必需掌握这两个性质：.下标和相等，则对应项和（积）相等.等差（比）中项.等差数列前 n 项和常用公式1()2nnn aaS结合 1 中性质巧算.两个基本数列前

40、 n 项和的性质：依次 K项之和仍成等差（比）数列.分析是否需要利用原基本数列的项去构成新基本数列.回扣必修五教材：基本量运算的有：P44 例 2；P51 例 3；P40 习题 2.2 A 组 1 题；P46 习题 2.3 A 组 2 题；P53 习题 2.4 A 组 1 题；P61 习题 2.5 A 组 1 题、6 题、10 题；P67 复习参考题 A组 1 题 用性质参与运算的有：P46 习题 2.3 B 组第 2 题；P54 习题 2.4 B 组第 3 题；P68 复习参考题 A组第 8 题、B组第 1 题 专题二 数列的求通项、求和 重点：求通项的三种题型训练及求和题型训练 1、基本量

41、的运算求通项，在专题一中已经体现 2、利用nS与na关系求通项，重点是培养学生用规范的步骤解题.当 n=1 时，.当 n2 时，1nnnaSS 另解：nS 1nS 检验：n=1 时，得：na=律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通项公式图象法列表法递学习必备 欢迎下载 3、递推公式求通项，关键是将几个常见递推数列模型构造成等差、等比数列，难点是学生对构造出的新数列的理解所面临的困难 如：数列3na 中，它的首项是谁？通项是谁？第 n+1 项是谁？第 n-1 项是谁？若

42、证明此数列是等比数列需要证明什么？数列1na中，它的首项是谁？通项是谁？第 n+1 项是谁？第 n-1 项是谁？若证明此数列是等差数列需要证明什么？数列nSn中，它的首项是谁？通项是谁？第 n+1 项是谁？第 n-1 项是谁？若证明此数列是等差数列需要证明什么？4、数列求和关键是先确定通项，再由通项的特征去选择相应的方法求和，难点是分析、识别通项的特征.回扣必修五教材：nS与na关系的有：P44 例题 3；P45 练习 2 题；递推数列相关的有：P30 例 2；P33 A 组第 4 题、5 题、6 题；P34 B 组第 1 题、3 题；P69 B组 6 题 求和类型的有：P47 B 组第 4

43、题；P61 A 组第 4 题；P62 B 组第 1 题 专题三 数列与函数、方程、不等式等的综合题 重点：1、从函数观点理解na、nS是关于 n 的函数 2、数列与函数的综合问题主要分两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要从分利用数列的范围、公式、求和方法来解决.3、数列与解析几何问题，一般利用解析几何中曲线与直线的联立求得通项公式，再用放缩法和导数的应用来解决问题 4、将本部分拆解为小专题训练，降低学生的理解难度。如数列最值问题 证明数列不等式之放缩技巧 数列与解析几何等.回扣必修五教材：P4

44、5 例 4；P68 复习参考题 A组第 11 题 律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通项公式图象法列表法递学习必备 欢迎下载 专题四 数列应用题 1、知识归纳：现实生活中涉及到存贷利息、企业股金、产品利润、人口增长、产量增加、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，常常与数列有关，需考虑用数列的知识来加以解决 2、难点：灵活运用数列知识，解决有关数列的综合问题 3、关键：解数列应用题的步骤一般要经历“设列解答”四个环节 审题：仔细读题，理解题意，达到如下要求：明确问

45、题属于下列哪类数列模型：等差数列模型，等比数列模型，递推数列模型，分期付款模型等 明确题目中的主要已知事项(即条件)，用数列中的什么量来表达 明确所求结论是什么，是求na，还是nS？还是求 n?(2)建模：抓住数量关系，联想相关数学知识和数学方法，恰当引入参变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达，将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，写出满足题意的数学关系式(3)求解：运用相关数列知识解答该数列问题(4)还原：将解答结果还原为实际问题，需注意结论是否符合实际 模型一 等差数列、等比数列模型 使用情景 与等差数列、等比数列有关 解题步骤 通过审题先判断或证明数列是等差

46、数列或等比数列，再确定数列的相关基本量，再利用基本数列知识解题 例 1某企业自 20XX年 1 月 1 日正式投产，环保监测部门从该企业投产之日起对它向某湖区排放污水进行了四个月的跟踪监测，检测的数据如下表并预测，如果不加以治理，该企业每月向湖区排放污水的量将成等比数列.月份 1 月 2 月 3 月 4 月 该企业向湖区排放的污水（单位：立方米）1 万 2 万 4 万 8 万()如果不加以治理，求从 20XX年 1 月起，m个月后，该企业总计向某湖区排放了多少立方米的污水？()为保护环境，当地政府和企业决定从 7 月份开始投资安装污水处理设备，预计 7 月份的污水排放量比 6 月份减少 4 万

47、立方米，以后每月的污水排放量均比上月减少 4 万立方米，当企业停止排放污水后，再以每月 16 万立方米的速度处理湖区中的污水，请问什么时候可以使湖区中的污水不多于 50 万立方米？解：()由题意知：企业每月向湖区排放的污水量成等比数列，设第一个月污水排放量为1a，则11a，公比为 2 则第 m个月的污水排放量为12mma 如果不治理，m 个月后的污水总量为：211212222112mmmmS （万立方米）律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通项公式图象法列表法递学习必

48、备 欢迎下载()由()知632a，则728a 由题意知，从7月份开始，企业每月向湖区排放的污水量成等差数列，公差为4，记 7 月份企业向湖区排放的污水量为1b，则28(1)(4)324nbnn 令3240,8nbnn 所以该企业2013年2月向湖区停止污水排放 则该企业共排污水68(28 0)63 112 1752S（万立方米）设x个月后污水不多于50万立方米 则1251751650,16xx10 分 因为1257816，所以8个月后即2013年10月污水不多于50万立方米 模型二 递推数列模型 使用情景 与递推数列相关 解题步骤 通过审题得出递推公式，再利用递推模型构造新等差数列、等比数列

49、例 2.某企业投资 1000 万元于一个高科技项目，每年可获利 25%。由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金 200 万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少处后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4 倍）的目标？（1g2=0.3）.123,na aaa解:设该企业逐年的项目资金数依次为则由已知 11155125%200*,200,44nnnnnnaanNaaaxax 即令 1151445200,800,800800*,44nnnnaaxxxaanN即由得 111115800250*45800800.41000 125%2001050,5800250,

50、800250,4nnnnnanNaaaaa 故是以为首项为公比的等比数列 律掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法针对性地开展数列知识的程不等式三角变换导数解析何推理与证明以及数学归纳法等有机地结合念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法通项公式图象法列表法递学习必备 欢迎下载 1554000,800250400016,445lglg16413lg 24lg 2,lg 20.3,0.11.212nnnannnn 由题意即即故 回扣必修五教材：等差数列模型：P36 等差数列的引入；P38 例 2；P40 A 组 2 题、4 题、5 题，B 组 1 题；P43 例 1；P46 A 组 3 题，B