2023年尺规作图.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 典型例题 例 1、求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段 已知：线段 求作：，使A90，ABAC，BC 分析：由于等腰直角三角形比较特殊，内角依次为 45，45，90，故有如下几种作法：作法一：1、作线段 BC 2、分别过点 B、C 作 BD、CE 垂直于 BC 3、分别作DBC、ECB的平分线，交于 A 点 即为所求 作法二：作线段 BC 2、作MBC45 3、作NCBMBC，CN 与 BM 交于 A 点 即为所求 作法三：1、作线段 BC 2、作MBC45 学习必备 欢迎下载 3、过 C 作 CEBM于 A 即为所求 作法四：1、作线段 BC 2、作 BC 的中垂线

2、，交 BC 于 O 点 3、在 OM 上截取 OAOB，连结 AB，AC 即为所求 说明：几种作法中都是以五种基本作图为基础，不要求写出基本作图的作法和证明。例 2、已知三角形的两边和其中一边上的中线长，求作这个三角形.已知：线段 a、b 为两边，m 为边长 b 的中线 求作：，使 BC=a，AC=b，且 AM=MC，BM=m.分析：先画草图，假定 为所求的三角形，则有 BC=a，AC=b，设 M 为 AC 边的中点，则 MB=m,而，故 的三边为已知作出，然后再作出.作法：（1）作，使BC=a，MB=m；（2）延长线段 CM 至 A，使 MA=CM;（3）连接 BA，则 为所求作的三角形.作

3、线段作作与交于点即为所求作法三作线段作学习必备欢迎下载过作于两边和其中一边上的中线长求作这个三角形已知线段为两边为边长的中欢迎下载小结本题的突破口是找与所求的的关系由于的三边已知故即可学习必备 欢迎下载 小结：本题的突破口是找 与所求的 的关系.由于 的三边已知，故 即可顺利作出.例 3、如图，A、B、C 三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置 P.分析：分两步：先作到 A、B 两点距离相等的点的图形，再作到 B、C 两点等距离的点的图形，两图形的交点，这就是所求作的点.作法：（1）连结 AB，做线段 AB 的

4、垂直平分线 DE；（2）连结 BC，作线段 BC 的垂直平分线 FG，交 DE 与点 P.则点 P 为所求作的学校位置.小结：由于不能直接确定到三点距离相等的点的位置，可以分解为先求到A，B 相等的所有点，再求作到 B，C 相等的所有点，交点即所求.扩展资料 三大几何作图问题 三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角。由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究。早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯（Anaxagoras，约 500B.C.428B.C.），希波克拉底（Hippocrates of chios，前 5 世纪下半叶）、安蒂丰（

5、Antiphon，约 480B.C.411B.C.）和希比亚斯（Hippias of Elis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问题研究的学者也很多，欧托基奥斯（Eutocius，约 480？）曾记载了柏拉图、埃拉托塞尼（Eratosthenes，作线段作作与交于点即为所求作法三作线段作学习必备欢迎下载过作于两边和其中一边上的中线长求作这个三角形已知线段为两边为边长的中欢迎下载小结本题的突破口是找与所求的的关系由于的三边已知故即可学习必备 欢迎下载 约 276B.C.195B.C.）、阿波罗尼奥斯（Apollonius，约 262B.C.190B.C.）和帕波斯（Pappus，约 3003

6、50）等人共 12 种作图方法：尼科米迪斯（Nicomedes，约 250B.C.左右）、帕波斯等人则给出了三等分角的方法。当然所有这些研究都无法严格遵守尺规作图的限制，但它们却引出了大量的新发现（如圆锥曲线、许多三、四次曲线和某些超越曲线等），对整个希腊几何产生巨大影响。三大作图问题自智人学派提出之时起，历经二千余年，最终被证明不可能只用直尺、圆规求解（1837 年旺策尔P.L.Wantze1 首先证明了倍立方和三等分任意角不可能只用尺规作图；1882 年林德曼C.L.F.Lindemann证明了 的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能）。关于三大几何作图问题的起源和古代探讨，在智人学派之

7、后一些希腊学者的著述中留有记载，这些分散片断的记载，成为了解早期希腊数学的珍贵资料。以下选录部分内容，各节作者与出处将随文注明。倍立方 A。赛翁论倍立方问题的可能起源 0 埃拉托塞尼在其题为柏拉图的著作中写道：当先知得到神的谕示向提洛岛的人们宣布，为了止息瘟疫，他们必须建造一个祭坛，体积是现有那个祭坛的两倍时，工匠们试图弄清怎样才能造成一个立体，使其体积为另一个立体的两倍，为此他们陷入深深的困惑之中，于是他们就这个问题去请教柏拉图。柏拉图告诉他们，先知发布这个谕示，并不是因为他想得到一个体积加倍的祭坛，而是因为他希望通过派给他们这项工作，来责罚希腊人对于数学的忽视和对几何学的轻视。B。普罗克洛

8、斯论希波克拉底对这一问题的筒化。O“简化”是将一个问题或定理转化成另一个已知的或已构造出的问题或定理，使得原命题清晰明了。例如，为解决倍立方问题，几何学家们转而探究另一问题，即依赖于找到两个比例中项。从那以后，他们致力于如何找到两条已知线段间连比例中的两个中项的探索。据说最先有效地简化这些困难作图的是希俄斯的希波克拉底民他还化月牙形为方，并作出许多几何学上的其他发现。说到作图，如果曾经有过这方面的天才的话，这个人就是希波克拉底。历史上传说，古代的一作线段作作与交于点即为所求作法三作线段作学习必备欢迎下载过作于两边和其中一边上的中线长求作这个三角形已知线段为两边为边长的中欢迎下载小结本题的突破口

9、是找与所求的的关系由于的三边已知故即可学习必备 欢迎下载 位悲剧诗人描述了弥诺斯为格劳科斯修坟，当弥诺斯发现坟墓的每一边都是一百尺时，他说：“你们设计显然这是一个错误。因为如果边长加倍，表面积变成原来的四倍，体积变成八倍。当今的几何学家们也在探索将已知立方体的体积加倍而不改变其形状的途径。这个问题以二倍立方体著称，即已知一个立方体，他们想办法将其力”倍。当长期以来所有的探索都徒劳无功时，希俄斯的希波克拉底最先发现，如果能找到一个方法，作出已知的两条线段间连比例中的两个比例中项，其中长线段是短线段的两倍，立体就被，。倍。这样他的难点被分解成另一个不太复杂的问题。“后来传说，某些提洛岛的人为遵循先

10、知的谕示，想办法将一个祭坛加倍，他们陷入了同样的困境。于是他们派代表去请求学园中柏拉图学派的几何学家帮他们找到解法。这些几何学家们积极地着手解决这个问题，求两条已知线段间顺个比例中项。据说塔林敦的阿尔希塔斯应用半圆柱体得到一种解法，而欧多克索斯用了所谓的“曲线”所有解决这一问题的人在寻找演绎的证明方面是成功的，但除门奈赫莫斯（尽管他只是很勉强地做到），他们都不能用行之有效的方法证明这个作图小现在我发现了一种简单方法，通过应用一种器具，不仅能得到两线段问的两个比例中项，而且能得到所需要的许多比例中项。应用这一发现，我们能够将任何表面是平行四边形的已知立体化成立方体，或者将其从一种形状变成另一种形

11、状，而且也可以作出一个与已知立体形状相同，但体积大一些的立体，也就是保持相似性。化圆为方 A。安蒂丰化圆为方 安蒂丰画了一个圆，并作一个能够内接于它的多边形。我们假设这个内接图形是正方形。然后他将正方形的每边分成两部分，从分点向圆周作垂线，显然这些垂线平分圆周上的相应弧段。接着他从垂线与圆周的交点向正方形边的端点连线，于是得到四个以线段（即正方形的边）为底的三角形，整个内接的图形现在成为八边形。他以同样的方法重复这一过程，得到的内接图形为十六边形。他一再地重复这一过程，随着圆面积的逐渐穷竭，一个多边形将内接于圆，由于其边极微小，将与圆重合。作线段作作与交于点即为所求作法三作线段作学习必备欢迎下

12、载过作于两边和其中一边上的中线长求作这个三角形已知线段为两边为边长的中欢迎下载小结本题的突破口是找与所求的的关系由于的三边已知故即可学习必备 欢迎下载 正如我们从原本中所知，既然通常我们能够作出一个等于任何已知多边形的正方形，那么注意到与圆重合的多边形与圆相等，事实上我们就作出了等于一个圆的正方形。B。布里松化圆为方 他作一个正方形外切于圆，作另一个正方形内接于圆，在这两个正方形之间作第三个正方形。然后他说这两个正方形（即内接和外切正方形）之间的圆及中间的正方形都小于外部的正方形且大于内部的正方形，他认为分别比相同的量大和小的两个量相等。因此他说圆被化成正方形。三等分角 帕波斯论三等分一个角的

13、方法 当早期的几何学家们用平面方法探究上述关于角的问题时民他们无法解决它，因为这个问题从性质来看是一个立体问题,由于他们还不熟悉圆锥曲线，因此陷于困惑由于他们还不熟悉圆锥曲线，因此陷于困惑。但是他们后来借助于圆锥曲线用以下描述的斜伸法将角三等分。用斜伸法解 已知一个直角平行四边形 AB,延长 B，使之满足作出AE，使得线段 EZ 等于已知线段。假设已经作出这些，并作 H，HZ 平行于 EZ，E。由于ZE 已知且等于 H，所以H也已知.已知，所以 H 位于在适当位置给定的圆周上。由于 B，包含的矩形已知且等于 BZ，E包含的矩形已知，即 BZ，ZH 包含的矩形已知，故 H 位于一双曲线上。但它也

14、位于在适当位置给定的圆周上，所以 H 已知。作线段作作与交于点即为所求作法三作线段作学习必备欢迎下载过作于两边和其中一边上的中线长求作这个三角形已知线段为两边为边长的中欢迎下载小结本题的突破口是找与所求的的关系由于的三边已知故即可学习必备 欢迎下载 证明了这一点后，用下述方法三等分已知直线角。首先设 AB是一个锐角，从直线 AB 上任一点作垂线 A，并作平行四边形 Z，延长 ZA 至 E，由于 z是一个直角的平行四边形，在 EA，A间作线段 E,使之趋于B 且等于 AB 的两倍上面已经证明这是可能的，我认为 EB是已知角 AB的三分之一。因为设 E被 H 平分，连接 AH，则三条线段 H，HA

15、，HE 相等，所以 E是 AH 的两倍。但它也是AB 的两倍，所以 BA 等于 AH，角 AB等于角 AH。由于AH等于 AE,即B 的两倍，所以 AB等于 B 的两倍。如果我们平分角 AB,那么就三等分了角AB。用圆锥曲线的直接解法 这种立体轨迹提供了另一种三分已知弧的方法，不必用到斜线。设过 A,的直线在适当的位置给定，从已知点 A,作折线 AB,使得角AB是角 AB的 2 倍，我认为B 位于一双曲线上。因为设B垂直于A 并且截取E等于,当连接 BE 时，它将与AE 相等。设EZ 等于E,所以Z=3.现在置 H等于 AF/3，所以点 H 将给定，剩下部分 AZ 等于 3*H.作线段作作与交

16、于点即为所求作法三作线段作学习必备欢迎下载过作于两边和其中一边上的中线长求作这个三角形已知线段为两边为边长的中欢迎下载小结本题的突破口是找与所求的的关系由于的三边已知故即可学习必备 欢迎下载 由于 BE*BE-EZ*EZB*B，且 BE*BE 一 EZ*EZ=A*AZ，所以A*AZ=B*B，即3*A*H=B*B，所以B 位于以 AH 为横轴，AH 为共轭轴的双曲线上。显然 点在圆锥曲线顶点 H截取的线段 H是横轴 AH 的二分之一。综合也是清晰的。因为要求分割 A使得 AH 是 H的 2 倍,就要过 H 以 AH 为轴画共轭轴为AH的双曲线，并且证明它将使我们作出上面提到的具有 2 倍之比的角度。如果 A，两点是弧的端点，那么以这种方法画的双曲线截得已知圆上的一段弧的三分之一就易于理解了。作线段作作与交于点即为所求作法三作线段作学习必备欢迎下载过作于两边和其中一边上的中线长求作这个三角形已知线段为两边为边长的中欢迎下载小结本题的突破口是找与所求的的关系由于的三边已知故即可