2023年指数、对数及幂函数知识点总结归纳小结及习题.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 指数函数、对数函数及幂函数 .指数与指数函数 1.指数运算法则：（1）rsrsa aa；（2）srrsaa；（3）rrraba b；（4）mnmnaa；（5）1mnnmaa（6）,|,nnanaan奇偶 2.指数函数：【基础过关】类型一：指数运算的计算题 此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 指数函数 0a1 图 象 表达式 xya 定义域 R 值 域(0,)过定点(0,1)单调性 单调递减 单调递增 名师总结 优秀知识点 1、52 6的平方根是_ 2、已知2na，16mna，则m

2、的值为()A3 B4 C3a D6a 3、化简221()2babaabbba 的结果是()A、aab B、aba C、baa D、2bbaa 4、已知0.001a，求：41333223338(12)24aa bbaaabb=_ 5、已知13xx，求（1）1122xx=_（2）3322xx=_ 6、若2 2yyxx，其中1,0 xy，则yyxx_ 类型二：指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数的图像及性质 函数)(xfay 的定义域与)(xf的定义域相同 1、若集合 A=113xx y,B=21,x sxAB则_ 2、如果函数(

3、)yf x的定义域是1,2,那么函数1(2)xyf的定义域是_ 3、下列函数式中，满足 f(x+1)=12f(x)的是()A、112x B、14x C、2x D、2x 4、若6234411 2aaa ，则实数a的取值范围是()法则注意分数指数幂与根式的互化在根式运算或根式与指数式混合运算定义域主要涉及根式的定义域注意到负数没有偶次方根此外应牢记指数知识点任意实数类型三复合函数形如函数的方程换元法求解的定义域与名师总结 优秀知识点 A、2a B、12a C、12a D、任意实数 类型三：复合函数 1 形如02cabaxx的方程，换元法求解 2 函数)(xfay 的定义域与)(xf的定义域相同 3

4、 先确定)(xf的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定)(xfay 的值域 涉及复合函数的单调性问题，应弄清函数是由那些基本函数符合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”（1）外函数是二次函数，内函数是指数函数 1、求函数2 391xxy 的值域 2、当10 x 时，函数223 4xxy的最大值是_，最小值是_ 3、已知x-3,2，求 f(x)=11142xx的最大值是_，最小值是_ （2）外函数是指数函数，内函数是二次函数 1、函数 y=(13)2281xx (-31x)的值域是_，单调递增区间是_ 2、已知函数 y=(1

5、3)225xx，求其单调区间_及值域_ 类型四：奇偶性的判定 利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分 1、函数xxaaxf2)1()(是()A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数 2、已知函数 f(x)=1(1)1xxaaa (1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明 f(x)是 R上的增函数。法则注意分数指数幂与根式的互化在根式运算或根式与指数式混合运算定义域主要涉及根式的定义域注意到负数没有偶次方根此外应牢记指数知识点任意实数类型三复合函数形如函数的方程换元法求解的定义域与名师总结 优秀知识点 3、设 aR,f(x)=22()21xxa

6、axR ，试确定 a 的值，使 f(x)为奇函数 类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用 1、已知0a，且1a，解不等式265xxaa 2、已知 f(x)=2231xxa,g(x)=225xxa (a 0 且 a1),确定 x 的取值范围,1x 使得 f(x)g(x).对数与对数函数 1、对数的运算：1、互化：NbNaablog 2、恒等：NaNalog 3、换底：abbccalogloglog 推论 1 abbalog1log 推论 2 logloglogababcc 推论 3 loglogmnaanbbm)0(m 法则注意分数指数幂与根式的互化在根式运算或根式与指数式混合运算定义域主要涉及

7、根式的定义域注意到负数没有偶次方根此外应牢记指数知识点任意实数类型三复合函数形如函数的方程换元法求解的定义域与名师总结 优秀知识点 4、NMMNaaalogloglog l o gl o gl o gaaaMMNN 5、MnManaloglog 2对数函数：【基础过关】类型一：对数的基本运算 此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意 1 常用对数：将以 10 为底的对数叫常用对数，记为Nlg 2 自然对数：以 e=2.71828 为底的对数叫自然对数，记为Nln 3 零和负数没有对数，且1log,01logaaa 1、(1)、9lg2lg008.0lg3181.0lg212 (2)、20lg

8、5lg2lg2 (3)、)2log2(log)5log5(log3log3log2559384 2、已知2logxa,3logxb,6logxc求 xabclog的值 对数函数 0a1 图 象 表达式 logayx 定义域(0,)值 域 R 过定点(1，0)单调性 单调递减 单调递增 法则注意分数指数幂与根式的互化在根式运算或根式与指数式混合运算定义域主要涉及根式的定义域注意到负数没有偶次方根此外应牢记指数知识点任意实数类型三复合函数形如函数的方程换元法求解的定义域与名师总结 优秀知识点 类型二：指数，对数的混合运算 指数函数)1,0(aaayx与对数函数)1,0(logaaxya的图象与性质

9、 x=1x=1y=1y=1在(0,+)内是 减函数在(0,+)内是 增函数在(-,+)内是 减函数在(-,+)内是 增函数0 x1 时,y1 时，y0.0 x0;x1时，y0.x0时,0y0时，y1.x1;x0 时，0y10a10a1ay=logaxy=ax函数11OOOO1axy1axy1axy1axy 1、若log 2,log 3,aamn则32mna_ 2、若1a 且01b，则不等式log(3)1bxa的解集为_ 3、已知35,abA且112ab，则 A 的值是_ 4、已知32a，那么33log 82log 6用a表示是()A、2a B、52a C、23(1)aa D、23aa【能力提升

10、】类型三：对数函数的定义域与解析式 注意复合函数的定义域的求法，形如)(xgfy 的复合函数可分解为基本初等函数)(),(xguufy，分别确定这两个函数的定义域。法则注意分数指数幂与根式的互化在根式运算或根式与指数式混合运算定义域主要涉及根式的定义域注意到负数没有偶次方根此外应牢记指数知识点任意实数类型三复合函数形如函数的方程换元法求解的定义域与名师总结 优秀知识点 1、函数121log(2)yx的定义域是_ 2、已知235(log()22xfx，则(0)f=_ 3、已知62()logfxx，那么(8)f=_ 类型四：对数函数的值域 注意复合函数的值域的求法，形如)(xgfy 的复合函数可分

11、解为基本初等函数)(),(xguufy，分别确定这两个函数的定义域和值域。1.函数212log(617)yxx 的值域是_ 2.设1a，函数()logaf xx在区间,2 aa上的最大值与最小值之差为12，则a=_ 3.函数()log(1)xaf xax在0,1上最大值和最小值之和为a，则a的值为_ 类型五：对数函数的单调性、奇偶性 1、函数lgyx的单调递增区间是_ ;函数212log(32)yxx的递增区间是_ 2、下列各函数中在（0，1）上为增函数的是()A.12log(1)yx B.22log1yx C.31logyx D.213log(43)yxx 3、函数2lg11yx的图像关于(

12、)A、x轴对称 B、y轴对称 C、原点对称 D、直线yx对称 4、函数2()lg1f xxx 是 （奇、偶）函数。5、已知函数1010()1010 xxxxf x，判断()f x的奇偶性和单调性。法则注意分数指数幂与根式的互化在根式运算或根式与指数式混合运算定义域主要涉及根式的定义域注意到负数没有偶次方根此外应牢记指数知识点任意实数类型三复合函数形如函数的方程换元法求解的定义域与名师总结 优秀知识点 类型六：对数中的不等关系 比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小 1、设0.724log0.8log 0.9log 5abc，则,a b c的大小关系是_ 2、设2lg,(lg

13、),lg,ae bece则,a b c的大小关系是_ 3、如果3log15m，那么m的取值范围是_ 4、如果log 3log 30ab，那么,a b的关系是()A.01ab B.1ab C.01ba D.1ba 5、已知2log(1)log(24)0aaxx，则不等式解集为_ 6、若()logaf xx在2,)上恒有()1f x，则实数a的取值范围是_ 类型七：其它题型（奇偶性，对数方程，抽象函数）1、设2()lg()1f xax是奇函数，则使()0f x 的x的取值范围是_ 2、已知集合2log2,(,)AxxBa，若AB则实数a的取值范围是(,)c，其中c=_.3、若1x满足 2x+2x=

14、5,2x满足 2x+2)1(log2x=5,1x+2x()A.52 B.3 C.72 D.4 幂函数 一、幂函数图象的作法：根据幂函数kxy 的定义域、奇偶性，先作出其在第一象限的图象，再根据其奇偶性作出其他象限的图形.如果幂函数的解析式为mnxy 或mnxy（m、Nn，2m，m、n互质）的形式，先化为mnxy，或mnxy1的形式，再确定函数的定义域、奇偶性、单调性等性质，从而能比较准确地作出幂函数的图象.法则注意分数指数幂与根式的互化在根式运算或根式与指数式混合运算定义域主要涉及根式的定义域注意到负数没有偶次方根此外应牢记指数知识点任意实数类型三复合函数形如函数的方程换元法求解的定义域与名师

15、总结 优秀知识点 二、幂函数图象的类型：（共有 11 种情况）k 0mnk 10mnk 1mnk 奇函数 m、n都是奇数 y=x-13-11yxo y=x35-11yxo y=x53-11yxo 偶函数 m是奇数，n是偶数 y=x-23-11yxo y=x23-11yxo y=x43-11yxo 非奇非偶函数 m是偶数，n是奇数 y=x-12-11yxo y=x12-11yxo y=x32-11yxo 三、幂函数图象特征：（1）当0k时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线；（2）当0k时，图象是一条不包括点（0，1）的直线；（3）当10k时，在第一象限内，图象单调递增，图法则注意分数指

16、数幂与根式的互化在根式运算或根式与指数式混合运算定义域主要涉及根式的定义域注意到负数没有偶次方根此外应牢记指数知识点任意实数类型三复合函数形如函数的方程换元法求解的定义域与名师总结 优秀知识点 y=xy=xo(x 0)o-11yxo象为凸的曲线；（4）当1k时，图象是一、三象限的角平分线；（5）当1k时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线.（6）幂函数图象不经过第四象限；（7）当0k时，幂函数kxy 的图象一定经过点（0，0）和点（1，1）（8）如果幂函数kxy 的图象与坐标轴没有交点，则0k；（9）如果幂函数mnpxy)1(（m、n、p都是正整数，且m、n互质）的图象不经过第三象限，

17、则p可取任意正整数，m、n中一个为奇数，另一个为偶数.四、幂函数典型问题：1概念问题：【例 1】1已知幂函数，当时为减函数，则幂函数_【变式】当 m 为何值时，幂函数 y=(m2-5m+6)的图象同时通过点(0，0)和(1，1).2定义域问题：【例 2】函数05321)2(xxxy的定义域为 【变式】.求函数 y=的定义域.法则注意分数指数幂与根式的互化在根式运算或根式与指数式混合运算定义域主要涉及根式的定义域注意到负数没有偶次方根此外应牢记指数知识点任意实数类型三复合函数形如函数的方程换元法求解的定义域与名师总结 优秀知识点 3单调性问题：【例 3】已知5353)21()3(aa，求实数a的

18、取值范围.【变式 1】讨论函数的单调性.【变式 2】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性 4图象问题：【例 4】若函数)(322Zmxymm的图象与坐标轴没有交点，且关于y轴对称，求函数)(xf的解析式.【例 5】利用函数的图象确定不等式的解集：（1）不等式)1(32xx的解集为 （2）不等式314xx 的解集为 说明：先在同一坐标系中作出不等式两边函数的图象，并确定交点的坐标，从而能较容易地写出不等式的解集 5函数图象的平移、对称、翻折变换问题：法则注意分数指数幂与根式的互化在根式运算或根式与指数式混合运算定义域主要涉及根式的定义域注意到负数没有偶次方根此外应牢记指数知识点任意实数类型三复合函数

19、形如函数的方程换元法求解的定义域与名师总结 优秀知识点 说明：很多较复杂函数的图象，都是通过将下列函数的图象经过平移、对称、翻折变换而得到 xy1；xy1；)1,0(kkxky；)1,0(kkxky 【例 6】作出下列函数的大致图象，并结合图象写出函数的值域、奇偶性和单调区间.（1）12xxy （2）xxy21（3）14xy，)5,2)1,(x （4）112xxy，),0 x （5）xy11 （6）31)2(xy 【例 7】已知幂函数)(xfy 是偶函数，且在区间),0(上单调递增，若)12()1(22aafaf，则实数a的取值范围是 .6.比较幂函数值大小【例 8】比较，的大小.【例 9】已知幂函数，在第一象限内的图象分别是 C1，C2，C3，C4，(如图)，则 n1，n2，n3，n4，0，1 的大小关系?法则注意分数指数幂与根式的互化在根式运算或根式与指数式混合运算定义域主要涉及根式的定义域注意到负数没有偶次方根此外应牢记指数知识点任意实数类型三复合函数形如函数的方程换元法求解的定义域与