2023年指数函数和对数函数复习有详细知识点总结归纳和习题详-解--补课.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 第六讲 指数函数和对数函数 指数函数和对数函数都是基本初等函数，是高中必须掌握的，在高考中，主要是考查基础知识。要求掌握扩充后指数的运算，对数的运算，指数函数和对数函数的图像和性质。一、指数的性质（一）整数指数幂 1整数指数幂概念：annaaaa个 )(Nn 010aa 10,nnaanNa 2整数指数幂的运算性质：（1）,mnm naaam nZ （2）,nmmnaam nZ（3）nnnababnZ 其中mnmnm naaaaa，1nnnnnnaaa babbb 3a的n次方根的概念 一般地，如果一个数的n次方等于aNnn,1，那么这个数叫做a的n次方根，即：若axn，

2、则x叫做a的n次方根，Nnn,1 例如：27 的 3 次方根3273，27的 3 次方根3273，32 的 5 次方根2325，32的 5 次方根2325 说明：若n是奇数，则a的n次方根记作na；若0a则0na，若oa 则0na；若n是偶数，且0a则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：na；（例如：8 的平方根228 16 的 4 次方根2164）若n是偶数，且0a 则na没意义，即负数没有偶次方根；Nnnn,100 00n；式子na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。nnaa 4a的n次方根的性质 一般地，若n是奇数，则aann；若n是偶数，则00aaaaaann 5例题分析：

3、例计算：407407 解：40740752)25()25(22 （二）分数指数幂 1分数指数幂：10510250aaaa 12312430aaaa 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；名师总结 优秀知识点 幂的运算性质nmmnaa对分数指数幂也适用，例如：若0a，则3223233aaa ，4554544aaa ，2323aa 4545aa 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是0,1mnmnaaam nNn；（2）正数的负分数指数幂的意义是110,1mnmnmnaam nNnaa 2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：10,rs

4、r sa aaar sQ 20,srrsaaar sQ 30,0,rrraba babrQ 说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没意义。3例题分析：【例 1】用分数指数幂的形式表示下列各式ao：2aa，332aa，a a.解：2aa=11522222aaaa；332aa=211333aaa；a a=1113322224a aaa 【例 2】计算下列各式的值（式中字母都是正数）（1）211511336622263a ba ba b ；（2）83184m n；解（1）211511336622263a ba ba b （2）8

5、3184m n=883184mn=2233mm nn =2 1 11 1 532 62 3 6263ab =044aba；例 3计算下列各式：（1）3451255 （2）2320aaaa 解：（1）3451255=231324555=213134245555 （2）232aaa=526562132aaaa a =5512455=512455 5；数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点【例 3】已知13xx，求下列各式的值：（1）1122xx；

6、（2）3322xx.解：（1）11222()xx1111222222()2()xx xx 112xx 325 ，11225xx，又由13xx得0 x，11220 xx，所以11225xx.（2）（法一）3322xx113322)()xx（11111122222222()()()xxxx xx 11122()()1xxxx5(31)2 5，（法二）33222()()xx3333222222()()2xxxx332xx 而33xx122()(1)xxxx 11 2()()3xxxx23(33)18 33222()20 xx，又由130 xx 得0 x，33220 xx，所以3322202 5xx.

7、二、指数函数 1指数函数定义：一般地，函数xya（0a 且1a）叫做指数函数，其中x是自变量，a叫底数，函数定义域是R 2指数函数xya在底数1a 及01a 这两种情况下的图象和性质：1a 01a 图象 性质（1）定义域：R（2）值域：(0,)（3）过定点(0,1)，即0 x 时1y （4）在R上是增函数（4）在R上是减函数 数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点【例 1】求下列函数的定义域、值域：（1）1218xy （2）11()2xy （

8、3）3xy （4）1(0,1)1xxayaaa 解：（1）210 x 12x 原函数的定义域是1,2x xR x，令121tx 则0,ttR 8(,0)tytR t得0,1yy，所以，原函数的值域是0,1y yy（2）11()02x 0 x 原函数的定义域是0,，令11()2xt (0)x 则01t，yt在0,1是增函数 01y，所以，原函数的值域是0,1（3）原函数的定义域是R，令tx 则0t，3ty 在,0是增函数，01y，所以，原函数的值域是0,1（4）原函数的定义域是R，由1(0,1)1xxayaaa得11xyay，0 xa 101yy，11y，所以，原函数的值域是 1,1 说明：求复

9、合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。【例 2】当1a 时，证明函数11xxaya 是奇函数。证明：由10 xa 得，0 x，故函数定义域0 x x 关于原点对称。1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa()f x ()()fxf x 所以，函数11xxaya 是奇函数。数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点 三、对数的性质 1对数定义：一般地，如果a（10aa且）的b次幂等于 N,就是Nab，那么数 b 叫做 a

10、 为底 N的对数，记作 bNalog，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。即baN，logaNb。a N b 指数式Nab 底数 幂 指数 对数式bNalog 对数的底数 真数 对数 说明：1在指数式中幂 N 0，在对数式中，真数 N 0（负数与零没有对数）2对任意 0a且 1a,都有 01a log 10a，同样：log1aa 3如果把baN中的b写成logaN，则有 logaNaN（对数恒等式）2对数式与指数式的互换 例如：2416，4log 162；210100，10log1002；1242，41log 22；2100.01，10log0.012。【例 1】将下列指数式写成对数式：（1）4

11、525；（2）61264；（3）327a；（4）15.373m 解：（1）5log 6254；（2）21log664；（3）3log 27a；（4）13log 5.37m 3介绍两种常见的对数：常用对数：以 10 作底10logN简写成lg N；自然对数：以e作底为无理数，e=2.71828，logeN简写成ln N【例 2】（1）计算：9log 27，345log625 解：设x 9log 27 则 927x，2333x,32x；令x345log625，345625x,44355x,5x （2）求 x 的值：33log4x ；2221log3211xxx 解：3441327x；2223212

12、1200,2xxxxxxx 但必须：2222102113210 xxxx ，0 x 舍去，从而2x （3）求底数：3log 35x，7log 28x 解：3535353(3)x 533x；数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点 77888722x ,2x 4对数的运算性质：如果 a 0，a 1，M 0，N 0，那么（1）log()loglogaaaMNMN；（2）loglog-logaaaMMNN；（3）loglog()naaMnM nR【例

13、 3】计算：（1）lg1421g18lg7lg37；（2）9lg243lg；（3）2.1lg10lg38lg27lg 解：（1）解法一：18lg7lg37lg214lg 2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20；解法二：18lg7lg37lg214lg 27lg14lg()lg 7lg183=18)37(714lg2lg10；（2）253lg23lg53lg3lg9lg243lg25；（3）2.1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg 2 1)lg(3)lg 23lg10323 2lg32lg 2 12l

14、g10 5换底公式：logloglogmamNNa(a 0,a 1；0,1mm)证明：设logaNx，则xaN，两边取以m为底的对数得：loglogxmmaN，loglogmmxaN，从而得：aNxmmloglog，aNNmmalogloglog 说明：两个较为常用的推论：（1）loglog1abba；（2）loglogmnaanbbm（a、0b 且均不为 1）证明：（1）1lglglglgloglogbaababba；数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师

15、总结 优秀知识点（2）lglglogloglglgmnnamabnbnbbamam【例 4】计算：（1）0.21 log35；（2）4492log 3 log 2log32 解：（1）原式=0.251log3log3555151553；（2）原式=2345412log452log213log21232【例 5】已知18log9a，185b，求36log45（用 a,b 表示）解：18log9a，a2log1218log1818，18log21a，又185b，18log5b，aba22log15log9log36log45log45log181818181836【例 6】设1643tzyx，求证

16、：yxz2111 证明：1643tzyx，6lglg4lglg3lglgtztytx，yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11 四、对数函数 1对数函数的定义：函数 xyalog)10(aa且叫做对数函数。2对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数xyalog)10(aa且的定义域为),0(，值域为),(（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于xy 的对称图形，即可获得。同样：也分1a与10 a两种情况归纳，以xy2log（图 1）与xy21log（图 2）为例。1 1 2xy 2logyx yx（图 1）1 1

17、1()2xy 12logyx yx（图 2）数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点 （3）对数函数性质列表：图 象 1a 01a 性 质（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）过点(1,0)，即当1x时，0y（4）在（0，+）上是增函数（4）在(0,)上是减函数【例 1】求下列函数的定义域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya 分析：此题主要利用对数函数xyalog的定义域(0,)求解。解：（1）由2x

18、0 得0 x，函数2logxya的定义域是0 x x；（2）由04 x得4x，函数)4(logxya的定义域是4x x；（3）由 9-02x得-33x，函数)9(log2xya的定义域是33xx 【例 2】比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（2）5log 3，6log 3，7log 3 解：（1）0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71，0.91.10.7log0.8 1.1log0.9 （2）3330log 5log 6log 7，5log 36log 3

19、7log 3 【例 3】求下列函数的值域：（1）2log(3)yx；（2）22log(3)yx 解：（1）令3tx，则2logyt，0t，yR，即函数值域为R （2）令23tx，则03t，2log 3y，即函数值域为2(,log 3【例 4】判断函数22()log(1)f xxx 的奇偶性。解：21xx 恒成立，故()f x的定义域为(,)，22()log(1)fxxx (1,0)(1,0)1x 1x logayx logayx 数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式

20、?没?名师总结 优秀知识点 221log1xx 222221log(1)xxxx 22log1()xxf x ，所以，()f x为奇函数。【例 5】求函数2132log(32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx 在3,)2上递增，在3(,2上递减，又2320 xx，2x 或1x，故232uxx在(2,)上递增，在(,1)上递减，又132logyu为减函数，所以，函数2132log(32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分

21、?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点 课堂练习题（1）1、填空：（3）31mmxx ；（4）35()()yy ；（5）23()()abab ；（6）43(2)(2)(2)；2、（1）若23maaa，则m ；（2）若26naaa，则n ；（3）若3ma，3nb，用,a b表示3m n ，233mn ；（2）（3）2()ma ；（4）43()x ；（5）32()ab ；（6）3(2)a ；（7）3(5)b ；（8）22()xy ；（9）34(2)x ；（10）23(3)ab ；2、判断下列式子是否正确，若不对，请纠正：(1)22()mmaa；（2）22()mmaa；（3）mnm naaa；（

22、4）mnmnaaa.课后巩固提高 1、下列计算正确的是（）A.336xxx B.43xxx C.5510()xx D.235()x yxy 2、8127 可以记为（）A.39 B.63 C.73 D.123 3、5a可以等于（）A.23()()aa B.4()()aa C.23()aa D.32()()aa 4、计算232()bb 的结果是（）A.8b B.11b C.8b D.11b 5、在等式2310()aaa 中，括号内的代数式应当是（）数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?

23、记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点 A.4a B.5a C.6a D.7a 6、若n是正整数，当1a 时，221()nna等于（）A.1 B.1 C.0 D.1 或1 7、计算2113()nnxxx的结果为()A.33 nx B.36 nx C.nx12 D.66 nx 8、63()a，243()a ，2 3(2)ab .9、已知2ma3na，则m na ；已知342xx，则 x=.10、计算：（1）42x ；（2）32yx ；（3）432aa ；11、下列各式中，正确的是（）A.448mmm B.55252mmm C.339mmm D.66yy122y 12、下列各式中错误的是()A.

24、623yxyx B.(22a)4=816a C.363227131nmnm D.33abba36 13、已知 n 是大于 1 的自然数,则 11nncc等于 ()A.12nc B.nc2 C.2nc D.nc2 14、下列运算中与44aa 结果相同的是()A.28aa B.42a C.44a D.4422aa 15、用简便方法计算(1)5.1)32(2000199919991 (2)111111791(1)916 16、已知3 927mm163,求 m 的值.数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中

25、分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点 17、若229216(2)n，解关于x的方程42nx.18、若52m，62 n，求nm 22的值 2 指数扩充及其运算性质 1、将b 写成分数指数幂的形式：（1）34b；（2）25b；（3）24mnb.2、将分数指数幂写成根式的形式：（1）128；（2）1327；（3）324；（4）23125.3、将根式写成分数指数幂的形式：（1）32x；（2）31x；（3）34()ab；（4）322mn.4、计算：数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分

26、?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点（1）12100；（2）2364；（3）329；（4）1481.5、已知103，104，求10，10，210，510.6、已知11223aa，求1aa，22aa.3 指数函数 1、已知01mn，则指数函数 1.xmy，2.xny 的图像为 （）2、如图是指数xxxxdycybyay,函数的图像则dcba,的关系是（）A.dcba1 B.cdab1 C.dcba1 D.cdba1 3、已知0 ba，则2,2,3aba的大小关系是（）A223aba B232baa C 223baa D 232aab 4、若aaaQPSa2.0,2,2,01，则

27、下列选项成立 的是 （）第 2 题 数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点 A.QPS B.SQP C.SPQ D.PQS 5、设1.50.90.4812314,8,2yyy ，则（）A.312yyy B.213yyy C.132yyy D.123yyy 6、若xx310932，那么12x的值为（）A.1 B.2 C.5 D.1 或 5 7、已知8.08.09.08.0,9.0,8.0cba则,a b c 的大小关系为 .8、解方程232 3

28、30 xx .4.1 对数及其运算 1、把下列指数式写成对数式：（1）328 （2）1122 （3）31273 （4）1()5.733m 2、把下列对数式写成指数式：（1）3log 92 （2）5log 1253 （3）21log24 （4）31log481 3、求下列各式中 x 的值：（1）642log3x （2）log 86x （3）lg100 x （4）2lnex 4、求下列各式的值：（1）5log 125 （2）21log16 （3）lg1000 （4）lg 0.001 数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以

29、写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点（5）15log15 （6）0.4log1 （7）2log 42 （8）lg10510 5、基础练习（1）lg 2lg5 （2）33log 18log 2 6、加强巩固（1）315151515212loglog20log4og （2）lg 2lg5lg8lg50lg 40 （3）71 142lglg 7lg183g （4）lg 4lg512lg 0.5lg8 （5）2lg 2lg 2 lg5lg5 （6）log2lg351010log 1 7、已知2logax，2logby，2logcz，请分别用,a b c表示式子2

30、2log()x y，22log(9)xy，22log3x yz.数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点 4.2 换底公式 1、求下列各式的值：(1)13log27 （2）9log 27 （3）116log64（4）lg 243lg9 （5）89log 9 log 32 （6）932log 16 log81 2、加强巩固 4log 1329(1)log2log 274 4839(2)(log3log 3)(log2log2)3、综合应用（1）设

31、lg2a,lg3b，试用a、b表示6lg2，3log 4，5log 12.数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点 （2）已知3436xy求21xy.5 对数函数 1、求下列函数的定义域：(1)2log(1)yx；（2）21log1yx；(3)3log1yx；（4）2logyx.2、求下列函数的反函数：(1)2logyx；（2）12logyx；(3)3xy；（4）2yx；(5)2log(1)yx；（6）25xy.3、比较各题中各数的大小：(1)

32、2log 3，2log 5；（2）0.2log2，0.2log0.1；(3)2log 3，3log 2；（4）log 2a，log 3(0,1)aaa.数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点 4、已知函数222,1()log,1xxf xx x ，则(2)ff .5、已知函数1222,1()log(1),1xxf xxx，且()3f a，则(6)fa .第三章 指数函数和对数函数单元测试卷 满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题

33、（每小题 6 分，共 60 分）1已知 x，y 为正实数，则()Alglglglg222xyxy Blg()lglg222x yxy Clglglglg222xyxy Dlg()lglg222xyxy 2若函数 yf(x)是函数 yax(a0，a1)的反函数且 f(2)1，则 f(x)()A12x B22x C12logx D2log x 3已知3()logf xx，则函数 yf(x1)在区间2,8上的最大值与最小值分别为()A2 与 1 B3 与 1 C9 与 3 D8 与 3 4下列说法正确的是()A0.50.5log6log4 B0.90.5927 C02.512.5()2 D0.50.

34、60.6log5 5设函数()log(0,1)af xx aa若122015()8f x xx，则222122015()()()f xf xf x 的值等于()A4 B8 C16 D2loga8 6(log43log83)(log32log98)等于()A.56 B.2512 C.94 D以上都不对 7若2()logf xx 的值域为1,1，则函数 f(x)的定义域为()A.1,12 B1,2 C.1,22 D.2,22 8若()22lgxxf xa是奇函数，则实数 a()A.13 B.14 C.12 D.110 9已知3log 2a，那么33log 82log 6用a表示是（）A52a B.

35、2a C.23(1)aa D.231aa 数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点 10设1.50.90.4812314,8,2yyy ，则 （）A.312yyy B.213yyy C.132yyy D.123yyy 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分）11函数 ylg 4xx3的定义域是_ 12函数321,3()log6,3xxf xxx，则(2)(9)ff_.13643loglog(log 81)的值为 .三、解答题(本大题共 5 小

36、题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)14(14 分)计算下列各式:(1)10.503710(2)(2)2927；(2)2(lg 2)lg 2 lg50lg 25.15(14 分)求下列函数的定义域：(1)2log(21)yx；（2）2log21xyx.16(14 分)已知函数 f(x)ax(a0，且 a1)，其反函数的图像过点(8,3)求()f x的解析式.17(16 分)已知225xx，求（1）44xx；（2）88xx.18(17 分)已知函数 f(x)loga(1x)，g(x)loga(1x)，其中 a0，a1，设 h(x)f(x)g(x)(1)判断 h(x)的奇偶性，并说明理由；数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?名师总结 优秀知识点(2)若 f(3)2，求使 h(x)0 成立的 x 的集合 数指幂数整概念个的运算性质其中次方根作算负记例如平若是偶且则概算负算负没意义即当式概被概被开开负能负能除时念可例没以写成除时中分开开?中分?次概念中分?记?算没例?式?没?