2023年平面向量的基本定理及坐标表示精品教案.pdf

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1、2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计）231 平面向量基本定理；2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 教学目标 一、知识与能力：1 了解平面向量基本定理。2掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示；3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.二、过程与方法：体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理 一、复习回顾：1实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向

2、量，记作：a（1）|a|=|a|；（2）0 时a与a方向相同；0 时a与a方向相反；=0 时a=0 2运算定律 结合律：(a)=()a；分配律：(+)a=a+a，(a+b)=a+b 3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使b=a.二、师生互动，新课讲解：思考：给定平面内任意两个向量 e1,e2，请作出向量 3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？.在平面内任取一点 O，作OA e1，OB e2，OC a，过点 C 作平行于直线 OB 的直线，与直线 OA 交于点 M；过点 C 作平行于直线 OA 的直线，与

3、直线 OB 交于点 N.由向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得OM 1e1，ON 2e2.由于OCOMON，所以 a=1e1+2e2，也就是说任一向量 a 都可以表示成1e1+2e2的形式.1 平面向量基本定理（1）定理：如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2.把不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（2）向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA=a，OB=b，则AOB=(0180)叫做向量 a 与 b 的夹角，当=0 时，a 与 b 同向；当=180时，a 与 b

4、 反向.如果 a 与 b 的夹角是 90，则称 a 与 b 垂直，记作 a b.例 1（课本 P94 例 1）已知向量 e1、e2，求作向量-2.5 e1+3e2。解：变式训练 1：如图在基底 e1、e2下分解下列向量：解：1222AB ee，1233CD ee，1232EF ee，1263GH ee 2 平面向量的正交分解及坐标表示（1）正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.（2）向量的坐标表示 思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方

5、向相同的两个单位向量 i、j 作为基底，则对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数 x、y 使得 a=xi+yj，把有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a=(x,y),其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，显然，基底使其他向量都能够用基底来表达二过程与方法体会数形结合的数学的坐标表示平面向量坐标运算教学难点平面向量基本定理一复习回顾实非零实数使二师生互动新课讲解思考给定平面内任意两个向量请作出向i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).（3）向量与坐标的关系 思考：与 a 相等的向量坐标是什么？向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？（多

6、对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同）当向量起点被限制在原点时，作OA=a，这时向量OA的坐标就是点 A 的坐标，点 A 的坐标也就是向量OA的坐标，二者之间建立的一一对应关系.例 2（课本 P96 例 2）如图，分别用基底 i、j 表示向量 a、b、c、d，并求出它们的坐标.解：a=2i+3j=(2,3),b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3).变式训练 2：在直角坐标系 xOy 中，向量 a、b、c 的方向和长度如图所示，分别求他们的坐标.解：设 a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，c=(c1,c2)，则 a1=|a|cos45=2

7、222，a2=|a|sin45=2222;b1=|b|cos120 =13322，b2=|b|sin120 33 3322;c1=|c|cos(-30 )=342 32，c2=|c|sin(-30 )=1422,因此3 3 32,2,2 3,222 abc.例 3：已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4 3OA，60 xOA，求向量OA的坐标.解：设点,A x y，则4 3cos602 3,4 3sin606xy 即 2 3,6A，所以 2 3,6OA.基底使其他向量都能够用基底来表达二过程与方法体会数形结合的数学的坐标表示平面向量坐标运算教学难点平面向量基本定理一复习回顾实非零实数使二师生互

8、动新课讲解思考给定平面内任意两个向量请作出向 变式训练 3：如图，e1、e2为正交基底，分别写出图中向量 a、b、c、d的分解式，并分别求出它们的直角坐标.解：a=2e1+3e2=(2,3)，b=-2e1+3e2=(-2,3)，c=-2e1-3e2=(-2,-3)，d=2e1-3e2=(2,-3).三、课堂小结，巩固反思：1 平面向量基本定理；2 平面向量的正交分解；3 平面向量的坐标表示.四、课时必记：1、平面向量的基本定理：如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数1、2，使得功 a=1e1+2e2.把不共线的向量 e1、e2叫做表示这

9、一平面内所有向量的一组基底.2、当向量起点被限制在原点时，作OA=a，这时向量OA的坐标就是点 A 的坐标，点 A 的坐标也就是向量OA的坐标，二者之间建立的一一对应关系.五、分层作业：A组：1、设 e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a=e1+e2(、R)D.若 e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量 a 都有 a=e1+ue2(、uR)2、已知矢量 a=e1-2 e2，b=2e1+e2，其中 e1、e2不共线，则 a+b 与 c=6e1-2 e2的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 3、已知向量 e1、e2不共线，实数 x、y 满足(3x-4 y)e1+(2x-3 y)e2=6e1+3e2，则 x-y 的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2 4、已知 a、b 不共线，且 c=1a+2b(1，2R)，若 c 与 b 共线，则 1=.5、已知 10，20，e1、e2是一组基底，且 a=1e1+2e2，则 a 与 e1_，a 与 e2_(填共线或不共线).B组：C组：基底使其他向量都能够用基底来表达二过程与方法体会数形结合的数学的坐标表示平面向量坐标运算教学难点平面向量基本定理一复习回顾实非零实数使二师生互动新课讲解思考给定平面内任意两个向量请作出向