2023年数学七年级上全部知识点总结归纳-北师大版.pdf

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1、学习必备 精品知识点 第一章 丰富的图形世界 柱体的上、下两个面是能完全重合的，棱柱的上、下两个面能完全重合，侧面的棱与上、下底面垂直 锥体只有一个下底面，如圆锥的下底面是圆，向上慢慢集中成一个锥尖（一个点）母线与下底面成一锐角；棱锥的下底面为多边形，侧棱与下底面不垂直，图形是由点，线，面构成的：(1)几何体都是由面围成的，有的几何体是由平面围成的，有的几何体是由曲面围成的，有的几何体是由平面和曲面共同围成的如：长方体有六个面，都是平的；圆柱有两个底面是平的，侧面是曲的；球体有一个面，是曲的(2)几何体中面与面相交的地方形成线，线与线相交的地方形成点，面与面相交形成线如：长方体中，面与面相交形

2、成的线是直线，而在圆柱中，两个底面与侧面相交所形成的线是曲线，在长方体中，线与线相交有 8 个点；线是由无数个点组成的。点动成线，成面，面动成体。表面展开图：把一个几何体的表面展开成平面图形，这个平面图形称为相应几何体的表面展开图 棱柱的表面展开图：棱柱的上、下底面的形状、大小一样，侧面由长方形组成，几棱柱的表面展开图由几个长方形和两个底面组成。平面图形折叠成棱柱与棱柱展开成平面图形是互逆过程。圆柱的表面展开图是由两个相同的圆和一个长方形组成的。要展开一个圆柱体，得先展开两个底面圆，然后展开侧面（垂直底面剪一刀即可）；圆锥的表面展开图是由一个圆和一个扇形组成。圆锥和棱锥的表面展开图，也要先将底

3、面剪开，再将侧面展开。学习必备 精品知识点 正方体的表面展开图是由 6 个大小完全相同的正方形组成，由于在剪开的棱上选择不一样，所以展开图有 11 种，如下图所示。凡是出现“田”形的一定不是，凡是出现“凹”形的也一定不是，五连长链和六连长链均不是正方体的展开图。截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。用平面截几何体所得截面的形状(1)用平面截几何体时，几何体的形状不同，截的方向不同，所得截面的形状可能不同；(2)截面的形状一般随着截法的改变而改变，多为多边形和圆，也可能为不规则图形；(3)一般情况下，截面与几何体的几个面相交，就得到几条交线，截面就是几边形。(1)正方体的几种截面如图

4、 (2)圆柱的几种截面如图 (3)圆锥的几种截面如图 主视图：我们把从正面看到的图叫做主视图。左视图：从左面看到的图叫做左视图。俯视图：从上面看到的图叫做俯视图。角棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点 三视图：主视图、左视图和俯视图统称为三视图。几何体的三视图及其画法：左视图和俯视图是表达我们对所观察几何体的结果的重要方式，要准确地画出几何体的三视图，首先应仔细观察物体，并从不同方向来加以观察和分析，分析出其三种视图盼形状、层次

5、、所含基本图形的个数等，然后再根据情况画出对应的图形，遵循从下层到上层，从左边到右边的原则画出图形。由几何体的俯视图确定它的左视图和主视图 观察由多个相同的小立方块组成的几何体，由俯视图画主视图和左视图，有两种方法：方法一是根据俯视图先摆出几何体，再画主视图和左视图；方法二是先由俯视图确定主视图、左视图的列，再确定每列小立方块的个数。其规律是：(1)主视图与俯视图的列数相同，其每列小立方块数是俯视图该列中最多小立方块的个数；(2)左视图。的列数与俯视图的行数相同，其每列的小立方块数是俯视图该行中最多小立方块的个；数，之后再画出左视图和主视图。棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱。侧棱：在

6、棱柱中，相邻两个侧面的交线叫做侧棱。说明：棱柱的所有侧棱都相等。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。多边形分割成三角形的规律：1.将多边形分割成若干个三角形是指过多边形的同一个顶点，连接这点与其他顶点的线段，将多边形分割成若干个三角形，若多边形的边数为 n，则可连接出（n-3）条线段，这(n-3)条线段将 n 边形分割成(n-2)个三角形。2.从多边形一边上的一个点出发，分别连接各个顶点与该点，可以把多边形分割成若干个三角形，四边形被分割成 3 个三角形，五边形被分割成 4 个三角形，n 边形被分割成(n-l)个三角形。3.

7、从多边形内部的一点出发，分别连接各顶点与该点，可以把四边形分成 4 个三角形，五边形分成 5 个三角形，n 边形分成 n 个三角形。角棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点 第二章 有理数及其运算 正数：比 0 大的数叫做正数。有理数：整数与分数统称为有理数。负数：在正数前面加上“-”（读作“负”）号的数叫做负数。说明：（1）负数都小于零。（2）零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。正整数 整数的分类：零 负整数 正分数

8、 分数的分类：负分数 有理数的分类：正整数 正整数 整数 零 正有理数 负整数 正分数 有理数：或 有理数 零 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 数轴：规定了原点、正方向和长度单位的直线叫做数轴。说明：（1）数轴是一条直线，原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，缺一不可。（2）数轴上两边表示的数，右边的总比左边的大，。原点表示 0，原点右边的数为正数，左边的数为负数。（3）任何一个有理数都可以用数轴上一个点表示。不过需注意，数轴上的点不全是有理数，除此之外还有无理数。相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。零的相反数是零。角

9、棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点 说明：（1）在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等（2）“零的相反数是零”是定义的补充，是定义的重要组成部分。比较有理数的大小：运用数轴，可以比较有理数的大小：(1)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，即：正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数。；(2)因为正数都大于 O，大于 O 的数都是正数，所以可以用 a0 表示 a 是正数；反之，知道

10、a 是正数可得 a0.同理，a0 表示a 是负数；反之，知道 a 是负数可得 a0）a=0（a=0）,来求。-a（a0）（2）任何一个有理数的绝对值是惟一确定的一个非负数。但反过来，绝对值等于一个正数的有理数却有两个，它们互为相反数。一个数的绝对值与这个数的关系：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。负数大小的比较：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。说明：两个正数，直接判断大小；两个负数，绝对值大的反而小。有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（2）异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝

11、对值减去较小的绝对值。（3）一个数同 0 相加，仍得这个数。说明：（1）互为相反数的两数相加之和为 0；（2）加法运算满足交换律和结合律。加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+（-b）。代数和：角棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点 几个正数或负数的和称为代数和。有理数加减混合运算的步骤：（1）把运算式中的减法都转换为加法；（2）

12、省略加号，去掉括号；（3）进行运算（尽可能利用运算律简化计算过程）。有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0 相乘都得 0。说明：（1）多个有理数相乘，只要有一个数为0，则乘积为 0。（2）多个不等于 0 的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数为偶数个时，积为正。（3）乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配率。乘法交换律：ab=ba；乘法结合律：（ab）c=a（bc）；分配率：a（b+c）=ab+ac。互为倒数：乘积为 1 的两个有理数互为倒数。说明：（1）0 没有倒数。（2）互为倒数的两个数的乘积为 1。（3）有

13、理数 a（a0）与 1/a 互为倒数。（4）求一个非零数的倒数，可以将其化为分数，颠倒分母和分子的位置，就得到原数的倒数。也可以用 1 除以这个数，所得结果就是它的倒数。有理数的除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数，即 ab=a1/b。说明：（1）0 不能作为除数，即 b0。（2）0 除以任何不等于零的数都等于 0。有理数的乘方：求 n 个相同因数 a 积的运算叫做乘方。其中 a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果叫做幂，即=aaaa（n 是正整数）。有理数的混合运算：有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，应先算括号里的。第三章 字母表示法 角棱锥的下底面为多边形

14、侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点 代数式：用运算符号把数和表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。说明：（1）运算符号指的是加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算符号。（2）在代数式中，并不要求数和表示数的字母同时出现，只出现数或只出现表示数的字母也是代数式。如 5+12，xy 都是代数式。（3）代数式中可以有指定运算顺序的符号，如括号、绝对值符号等。如：2（a-1），3x-2等都是代数式。（4）等号、不等号、大于

15、号、小于号是关系符号，代数式中不允许有这些符号，如 2+3x=4，x-12 等都不是代数式。列代数式：把问题中数量之间的关系用代数式表示出来，即列出代数式。代数式的值的意义 当代数式中的字母取某一数值时，经过有理数的运算后会得出一个数的结果，这个结果就是代数式中的字母取这一数值时，该代数式的值，具体地说，用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算计算出的结果叫做代数式的值。代数式中的字母可取不同的数值，但这些数值必须使代数式和它所表示的实际数量关系有意义。如代数式的分母为零，就没有意义了。再比如：某班级有男生a 人，女生 b 人，这里的a，b 只能取零或正整数，这是因为代数式中的字母的取值

16、要确保它本身所表示的数量有实际意义，代数式求值的步骤：求代数式的值有代入和计算两步。第一步：用数值代替代数式里的字母，简称“代入”；第二步：按照代数式指明的运算，计算出结果，简称“计算”。(1)代数式的值由代数式里的字母所取的具体数值来决定，同一个代数式，由于字母取值不同，所求得的代数式的值就可能不同，如代数式 x2+x+l，当 x=l 时，它的值是 3；当 x=-1 时，它的值是 1。(2)代入时，按已知给定的数值，将相应的字母换成数值，而代数式中的运算符号和它本身原有的数都不能改变；计算时，要注意运算顺序，同时可考虑运用运算律，以简化计算。角棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点

17、线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。说明：在单项式中只含有乘法（包括乘方）和数字做除数的除法运算，单独一个数或一个字母也是单项式。单项式的系数：单项式中的数字因式叫做这个单项式的系数。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。多项式：几个单项式的和叫做多项式。（一个多项式含有几项，就叫做几项式。）多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中不含字母的项叫做常数项。多项式的次数：多项式中，次数最高

18、项的次数，就是这个多项式的次数。整式：单项式和多项式统称为整式。同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。去括号法则：括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉，括号里都不改变符号；括号前是“-”把括号和它前面的“-”去掉，括号里各项都改变符号。探索规律的方法：(1)从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化特点；(2)由此及彼，由表及里，合理联想，大胆猜想，总结规律；(3)善于通过类比、计算等方法，

19、从不同的方面、层次发现其相似点或相同点；(4)在探索规律过程中，要善于变换思维方式；(5)总结规律，得出结论后应通过计算等方式进行验证。列代数式的步骤：(1)将实际问题中表示数量关系的词语，正确地转换为对应的运算。(2)要先搞清楚要求表示哪个量，再搞清楚用哪个或哪些量来表示。角棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点(3)最重要的是必须把实际情境中的数量关系分析清楚。第四章 平面图形及其位置关系 射线：将线段向一个方向无限延长就形成

20、的射线。直线：将线段向两个方向无限延长就形成的直线。直线、线段、射线、直线的区别和联系：区别是：(1)线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点；(2)线段有确定的大小（长度），可以度量，而射线和直线没有大小，无法度量；(3)线段不可以向任一个方向延伸，射线可以向一个方向无限延伸，直线可以向两个方向无限延伸。联系是：线段和射线都是直线的一部分，线段可以看做是直线上两点和它们之间的部分，射线可以看做是直线上一点和它一旁的部分。点是组成线段、射线、直线的基本元素，是最基本的图形之一。一个点可以用一个大写字母表示。点没有大小，即没有面积和体积。线段的表示方法：(1)一条线段可以用表示端点的两个大写

21、字母来表示，以 A，B为端点的线段可记作“线段AB”或“线段 BA”；(2)-条线段还可以用一个小写字母来表示。射线的表法方法：一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，其中表示射线端点的字母必须写在另一个字母前面，端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线 端点相同，延伸方向不同的射线不是同一条射线 直线的表示方法：(1)一条直线可以用表示直线上的任意两个点的大写字母来表示如可表示为“直线 AB”或“直线 BA”；(2)一条直线也可以用一个小写字母来表示，如“直线 l”。直线的基本性质：（1）直线可以向两端无限延伸。（2）过两点有且只有一条直线。（3）两条直线相交，只有

22、一个公共点。线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。线段的基本性质：角棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点 在所有连结两点的线中，线段最短。简述为：两点之间，线段最短。两点间的距离：两点间的线段的长度叫做这两点间的距离。两点之间的距离是指线段的长度，是一个具有单位的数值，而不是线段本身，因此，不能说“A，B两点之间的距离是线段 AB”，而应该说“A，B两点之间的距离是线段 AB的长度”。有关线段的基本作图：在有关线段的作图中

23、，经常用到一个基本作图：作一条线段等于已知线段，具体作法如下：先作一条射线 AB，用圆规量出已知线段的长度（记作 a），再在射线 AB上以 A为圆心，截取AC=a，则线段 AC就是所求的线段。尺规作图：利用以上基本作图，可以进行线段的和、差、倍、分等作图，作图的工具是直尺和圆规，这种作图可称为尺规作图，是几何中重要的作图。线段的中点：线段上的一点，把线段分成两条相等的线段，该点就叫做线段的中点。线段的大小比较：线段的大小与它们的长度大小。比较两条线段的大小有两种方法：（1）叠合法：把要比较的两条线段的一个端点重合，两条线段叠合在一起，由另一个端点的关系可得两条线段的大小关系。（2）度量法：用刻

24、度尺分别量出两条线段的长度，再对长度数值进行比较。角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点。这两条射线叫做角的边。角的旋转定义：角可以看做是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。角的表示方法：角的符号为“”，它有四种表达方式：（1）三个大写字母来表示（顶点的字母写在中间）。（2）用一个大写字母表示（顶点处只有一个角时）。（3）用一个数字表示（在角的内部靠近顶点处标上这个数字）。角棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表

25、面展开图把一个学习必备 精品知识点（4）用一个希腊字母表示（在角的内部靠近顶点处标上这个希腊字母）。角的平分线：过角的顶点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线。平角：一条射线绕其端点旋转，当终边与始边成一条直线时，所成的角叫做平角。说明：（1）平角的两边是在同一直线上且有公共端点的两条射线，不能误认为直线就是平角。（2）平角等于180 周角：一条射线绕其端点旋转，当终边与始边重合时，射线恰好绕过一周，所成的角叫做周角。说明：（1）周角的两边是两条相互重合的射线，不能误认为射线就是周角。（2）周角是平角的 2 倍，等于 360。直角：平角的一半叫做直角。（直角等于 9

26、0）锐角：小于直角且大于零度的角叫做锐角。（锐角大于 0，小于 90）钝角：大于直角而小于平角的角叫做钝角。（钝角大于 90，小于 180）角的度量：把一个周角分成 360 等份，每一份就是 1 度的角，记作 1。角的度量单位是（）、分（）、秒（），它们之间是六十进制。即：1=60，1=60。角的比较：角的大小即它们的度数大小。比较两个角的大小有两种方法：（1）叠合法：把两个角的顶点重合，始边重合，终边落在始边的同侧，根据终边的位置关系，即可比较它们的大小。（2）度量法：用量角器量出两个角的度数，再比较度数的数值大小。平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线的画法：画平行线的方

27、法通常有三种：(1)在方格纸上画，一般有水平、垂直和斜画三种方式，斜画是过任意由若干个相邻方格组成的长方形的对角线画直线，再按相同的方式画出另一条直线，就可以得到两条平行线(2)用直尺和三角板（或一副三角板），将三角板的一边紧贴直尺，角棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点 沿另一边画出一条直线，然后沿直尺推三角板，到另一位置后，再沿刚才的边画一条直线，这两条直线就是一组平行线.(3)用量角器画平行线。用一副三角板画平行线的步骤是

28、：“一落、二靠、三推、四画”，一落是指三角板的一边落在已知直线上，二靠是紧靠三角板的其余两边中的任意一边放上另一块三角板；三推是第一块三角板沿第二块三角板推动，使第一块三角板的边经过已知点；四画是沿三角板过已知点的一边画直线，平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。垂线的画法：根据垂直的定义知，画垂线也就是作直角因为直角的两条边所在的直线是垂直的，因此，垂线的画法通常有三种：(1)利用三角板的两条直角边或刻度线与所在

29、边的垂直关系画，它的基本步骤是：“一靠、二过、三画”，即靠已知直线，过已知点（通常又叫定点），沿三角板的一边或刻度线的边缘画线(2)利用量角器画，主要是画一个 90。的角来得到垂线(3)利用方格来画。说明：过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在的直线的垂线，垂足有时在射线的反向延长线上或线段的延长线上。垂线段：经过直线外一点，作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段叫做点到直线的垂线段。垂线的性质：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。七巧板：角棱锥的下底面

30、为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点（1）七巧板是由 1 块正方形，1 块平行四边形和 5 块等腰直角三角形组成的(2)七巧板中有2 对可以完全重合的三角形。第五章 一元一次方程 等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫做等式。等式的基本性质：（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍然是等式。（2）等式的两边都乘以同一个数（或除以同一个不为0 的数），所得结果仍然是等式。方程：含有未知数的等式叫做方程。根据题意列方

31、程：列方程解应用题是今后我们解应用题的主要方法列方程的关键在于抓住问题中有关数量相等的关系，列方程解决实际问题的一般步骤如下：(1)审题：弄清题意，找出已知量、未知量；(2)设未知数：对所求的未知量用设未知数的形式表示出来；(3)列方程：根据题中的等量关系列出方程，方程的解：使方程的左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。说明：只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。解方程：求得方程的解的过程，叫做解方程。移项：把原方程中的一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1 的方程叫做一元一次方程。说明：任何一个一元一次方程，都

32、可以运用等式性质变形成ax=b 的形式，其中 x 为未知数，a、b 为已知数，且 a0。我们称 ax=b（a0）为一元一次方程的标准形式。解一元一次方程的步骤：（1）去分母：利用等式的基本性质，在等式两边同时乘以各个分式分母的最小公倍数，将分母去掉。注意等式中的每一项都要乘到，不要遗漏分母为1 的项。（2）去括号：利用去括号法则去掉等式中的括号。角棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点（3）移项：将含有未知数的项都移到等式的一边，

33、已知项移到另一边。注意移项要改变该项的正负号。（4）合并同类项：合并含未知数的项，已知项相加，将等式化成 ax=b（a0）的标准形式。（5）系数化 1：利用等式的基本性质，等式两边同除以未知数的系数 a，得到方程的解 x=b/a。日历中的数量关系：日历是我们常见的日用品之一，日历表中的数之间的关系可以利用方程来探讨仔细观察可以发现，日历表中一个月的日期从星期日至星期六依次排列，日历中一个竖列上相邻的两个数相差 7，下面的数比上面的数大 7;-个横行上相邻的两个数相差 1，右边的数比左边的数大 1；左上到右下方向相邻的两个数之间相差 8；右上到左下方向相邻的两个数之间相差 6，在列方程解有关日历

34、的问题时，要熟练掌握和利用上面这些数量关系。列方程解应用题的关键是：要从问题中找出一个相等关系，每一个相等关系表示成等式后，总是有左边和右边，因此我们不仅要找出这个相等关系，还要弄清楚它的左边是什么，右边是什么，然后恰当地设出未知数，把等式左边和右边的各个量用含有已知数和未知数的代数式表示，这样得到的含有未知数的等式就是我们所要列出的方程（方程左、右的单位要统一）列方程解应用题的一般步骤：(1)认真审题，弄清题意和题目中的数量关系；(2)设元，用字母表示题目中的一个未知数；(3)找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；(4)根据这个相等关系列出有关的代数式，进而列出方程；(5)解方程求出未知

35、数的值；(6)检验所求方程的解是否符合题意，写出答案 特别指出，在设元时，如果未知数设的恰当，所列的方程可能较简单，解起来也很方便，反之，方程就很难列，甚至列不出来，有时方程虽然能列出来，但解起来十分繁琐 打折销售中的基本概念及常用公式：在解决有关打折销售的应用题时，首先应搞清打折销售问题中的基本关系，才能利用这些关系来列方程，常见的基本概念有：(1)成本价：即进价；(2)标价：商品名牌上所标明的价格；(3)售价：商品出售时的实际价格（应该注意：标价和售价是两个概念，一般情况下，标价不小于售价）；(4)利润：利润=售价-进价；(5)利润率：利润率=利润/进价100%，售价=进价+利润=进价（1

36、+利润率）商品在不打折时，售价=标价，若商品打折，打几折就是标价乘以十分之几 行程问题中的相遇问题:角棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点 行程问题中常用的三个基本量是路程、速度、时间，它们之间的关系为：路程=速度时间，如果用 s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，则 S=vt.解决相遇问题通常借助画“线段图”来分析问题。相遇问题可以从以下几个方面寻找等量关系：从时间考虑，两人同时出发，相遇时两人所用的时间相等；从路程考虑，

37、a.沿直线运动，两人相向而行，相遇时两人所走路程之和等于全路程 b，沿圆周运动，两人由同一地点相背而行，相遇一次所走的路程的和为一周长；从速度考虑，两人相向而行，他们的相对速度等于他们的速度之和相遇问题具有非常直观的特点，所以用画“线段图”的方法分析等量关系列方程是一种很好的方法 追及问题：追及问题是行程问题中的一种，追及就是追上的意思追及问题一般可从以下几方面寻找等量关系列方程：(1)从时间考虑，若同时出发，追及时两人所用的时间相等；(2)从路程考虑，a直线运动，两人所走距离之差等于需要赶上的距离b环形运动，两人所行距离之差等于一周的长（从同一点出发）；(3)从速度考虑，两人相对速度等于他们

38、的速度之差 轮船航行问题中的基本等量关系为：(1)船的顺水速度=船在静水中的速度+水流速；(2)船的逆水速度=船在静水中的速度-水流速；(3)船的顺水速度-船的逆水速度=2水流速；(4)船的顺水速度+船的逆水速度=2船在静水中的速度 储蓄的基本概念及常用公式：储蓄是我们生活中常见的一种问题，掌握它先理解其基本概念及常用公式：(1)本金：顾客存入银行的钱叫做本金；(2)利息：银行付给顾客的酬金叫做利息；(3)本息和：本金与利息的和叫做本息和；(4)期数：存入银行的时间叫做期数；(5)利率：每个期数内利息与本金的比叫做利率，利率=利息/本金100%；利息=本金利率期数；本息和=本金+利息=本金（1

39、+利率期数）工程问题：在解决有关工程问题的应用题时，常把总工作量看做“1”，其基本关系为：工作量=工作效率工作时间；工作时间=总工作量/工作效率；工作效率=总工作量/工作时间。相等关系为：各部分工作量之和=总工作量 数字问题：角棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点 在有关数字问题的应用题中，首先要根据题意设出恰当的未知数，表示某数时，切记十位上的数字要乘 10，百位上的数字要乘 100比如：一个两位数，十位上的数字为 a，个位上

40、的数字为 b，则这个两位数应表示为 10a+b，而不能表示为 ab.生活中的数据 科学计数法：把一个数写成 a10n的形式，（其中 1a10，n 是整数），这种计数法叫做科学计数法。扇形统计图：利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，即用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反应部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。说明：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360的比。扇形统计图表明的是部分在总体中所占的百分比，一般不能直接从图中得到具体数量，我们用圆代表总体，圆的大小与具体数量的多少无关。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角

41、。在绘制扇形统计图时，必须先求出该扇形的圆心角即扇形中两条半径所夹的角，若已知扇形统计图中每部分所占总体的百分比，则此百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360的比，即百分比=圆心角的度数/360100%或百分比=每部分的数量/总数量100%。制作扇形统计图的步骤：先算出各部分数量占总数量的百分比；再算出表示各部分数量的扇形圆心角的度数；取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角度数在圆里画出各个扇形；在每个扇形中标明所表示的各部分数量的名称，所占的百分比，还可以用不同颜色或条纹把各个扇形区别开 条形统计图、扇形统计图和折线统计图的特点：在生活和工作中，我们经常用统计图来分析、处理数据

42、，使分析的问题形象、具体，帮助我们作出正确决策，常见的统计图有三种：条形统计图，折线统计图，扇形统计图。条形统计图：它是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的条形，条形的宽角棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个学习必备 精品知识点 度必须保持一致，然后把这些条形排列起来，它可以清楚地表示出每个项目的具体数目；折线统计图：它是用一个长度单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后用线段顺次把各点连接起来它能清楚地反映事物的变化

43、情况；扇形统计图：它是用圆表示总体，用圆内的扇形表示总体中的不同部分，利用扇形，它能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。它们各有特点，要根据不同问题的需要，选择使用不同的统计图来描述数据，解决问题。第六章 可能性 确定事件：能肯定它们一定会发生或一定不会发生，这类事情我们称为确定事件；确定事件包括必然事件和不可能事件。确定事件发生的可能性是确定的，不可能事件是永远不会发生的事情，其发生的可能性为 0；必然事件是在一定的条件下必然发生的事情，其发生的可能性是 100%不确定事件：还有些事情是否发生，事先我们并不能作出肯定的回答，这类事情我们称为不确定事件，不确定事件发生的可能性是有大小的可以

44、通过大量的实验来探究发生可能性的大小。根据不确定事件发生可能性的大小，不确定事件又可分为很可能发生事件（发生的可能性很大）；可能发生事件（有一定的发生可能性）；不太可能发生事件（发生的可能性较小）很可能发生事件只是发生的可能性很大，但不是必然事件；不太可能发生事件虽然发生的可能性相当小，但不是不可能事件 必然事件：在生活中，有些事情事先肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件。不可能事件：有些事情事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。说明：必然事件和不可能事件都是确定的。不确定事件：有些事情事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件。角棱锥的下底面为多边形侧棱与下底面不垂直图形是由点线面构成的几是平的侧面是曲的球体有一个面是曲的几何体中面与面相交的地方形成有个点线是由无数个点组成的点动成线成面面动成体表面展开图把一个