2023年数学学业水平考试专题复习.pdf

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1、 知识点一 抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0)对称轴 y0 x0 焦点 Fp2，0 Fp2，0 F0，p2 F0，p2 离心率 e1 准线方程 xp2 xp2 yp2 yp2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 知识点三 直线与抛物线的位

2、置关系 1直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系 2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，且焦点在 x 轴的正半轴，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法 特别提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解 题型一 抛物线的定义及应用 例 1 已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点 A(0,2)的距离与点 P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()A.172 B3 C

3、.5 D.92 答案 A 解析 如图，由抛物线定义知，|PA|PQ|PA|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值，则当 A，P，F 三点共线时，|PA|PF|取得最小值 A(0,2)，F12，0，(|PA|PF|)min|AF|0122 202172.感悟与点拨 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 跟踪训练 1(1)已知 P 是抛物线 x24y 上一点，抛物线的焦点为 F，且|PF|5，则点 P 的纵坐标为()A5

4、 B4 C2 D1(2)已知点 P 是抛物线 x24y 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是点 Q，点 A 的坐标是(8,7)，则|PA|PQ|的最小值为()A7 B8 C9 D10 答案(1)B(2)C 解析(1)抛物线的焦点 F(0,1)，准线方程为 y1，焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛物线的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点设 P(m，n)，则由抛物线的定义，可得|PF|d(d 为点 P 到准线的距离)，故有 n15，解得 n4.(2)抛物线的焦点为 F(0,1)，准线方

5、程为 y1，根据抛物线的定义知，|PF|PM|PQ|1.|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|182 71211019.当且仅当 A，P，F 三点共线时，等号成立，则|PA|PQ|的最小值为 9.故选 C.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 例 2(1)已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的标准方程是()Ay22 2x By22 x Cy24 x Dy24 2x(2)已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M(4，2 2)，则它的标准方程为_ 答案(1)D(2)y22x 解析(1)由题意可求得双曲线的焦点坐标为(2，

6、0)，(2，0)，设抛物线的方程为 y22 px(p0)，则p2 2，所以 p2 2，所以抛物线的标准方程为 y24 2x.(2)由题意可知抛物线的焦点在 x 轴上，设方程为 y22px(p0)或 y22px(p0)若方程为 y22px(p0)，则 82p4，得 p1，故方程为 y22x；若方程为 y22px(p0)，则 82p4，得 p1，不符合条件，故不成立 所以抛物线的标准方程为 y22x.感悟与点拨(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及 p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程 焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点

7、若过抛物线的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 跟踪训练 2(1)抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO 的面积为 4 3，则抛物线的标准方程为()Ay26x By28x Cy216x Dy215x2 焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛物线的焦点

8、且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点(2)若抛物线 y22px 的焦点与椭圆x29y251 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_(3)已知点 A(4,0)，抛物线 C：y22px(0p0，y1y2t，y1y2t3，所以 k1 k2y11x11y21x21y11y211y21y221 1 y11y211y1y2y1y21 12.所以 k1 k2是定值 感悟与点拨(1)联立方程解方程组，利用根与系数的关系，“设而不求”(2)定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消

9、去变量，从而得到定值 跟踪训练 3(1)(2018 年 4 月学考)如图，已知抛物线 yx21 与 x 轴相交于 A，B 两点，P是该抛物线上位于第一象限内的点 记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k2k1为定值；过点 A作 ADPB，垂足为 D.若 D 关于 x 轴的对称点恰好在直线 PA上，求PAD 的面积 证明 由题意得点 A，B 的坐标分别为(1,0)，(1,0)焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛物线的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点设点 P 的坐标为 P(

10、t，t21)，且 t1，则 k1t21t1t1，k2t21t1t1，所以 k2k12 为定值 解 由直线 PA，AD 的位置关系知 kADk11t.因为 ADPB，所以 kAD k2(1t)(t1)1.解得 t 2.因为 P 是第一象限内的点，所以 t 2.由此可得点 P 的坐标为(2，1)联立直线 PB 与 AD 的方程 y 1 2x1，y 1 2x1，得点 D 的坐标为22，22，所以 SPAD12|AB|yPyD|122.(2)过抛物线 y22x 的顶点作互相垂直的两条弦 OA，OB.求 AB的中点的轨迹方程；求证：直线 AB过定点 解 设直线 OA 的方程为 ykx，则直线 OB 的方

11、程为 y1kx.联立直线 OA 与抛物线的方程知，点 A的坐标为2k2，2k，联立直线 OB 与抛物线的方程知，点 B 的坐标为(2k2，2k)，则 AB 的中点 M 的坐标为1k2k2，1kk，故点 M 的轨迹方程为 xy22.证明 由(1)可知 kABk1kk21k21k1k kk21，则直线 AB 的方程为 焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛物线的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点y1kk kk21x1k2k2，整理得 ykk21()x2.所以直线 AB过定点(2,0)一、选择

12、题 1对抛物线 x212y，下列判断正确的是()A焦点坐标是(3,0)B焦点坐标是(0，3)C准线方程是 y3 D准线方程是 x3 答案 C 解析 因为 2p12，所以p23，又因为焦点在 y 轴上，所以焦点坐标是(0,3)，准线方程是 y3，故选 C.焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛物线的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点2抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y25x241 的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是()Ax24y Bx24y Cy212x Dx212y 答案 D

13、 解析 由题意得 c543，所以抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，3)，所以该抛物线的标准方程为 x212y 或 x212y.3抛物线 x24y 上一点 A的纵坐标为 4，则点 A与抛物线焦点的距离为()A2 B3 C4 D5 答案 D 4动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x20 相切，则动圆必过点()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0，2)答案 B 解析 直线 x20 是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)5设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|等于

14、()A.303 B6 C12 D7 3 答案 C 解析 由题意，得 F34，0，又 ktan 30 33，故直线 AB 的方程为 y33x34，与抛物线 y23x 联立，得 16x2168x90.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义得，焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛物线的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点|AB|x1x2p168163212，故选 C.6设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，若 F 到直线 y 3x 的距离为 3，则 p 等于()A2 B4 C

15、2 3 D4 3 答案 B 解析 由抛物线 y22px(p0)的焦点为 Fp2，0，F 到直线 y 3x 的距离为 3，可得3p232 12 3，解得 p4，故选 B.7已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|12，P 为 C 的准线上的一点，则ABP 的面积为()A18 B24 C36 D48 答案 C 解析 不妨设抛物线的方程为 y22px(p0)，依题意，lx 轴，且焦点 Fp2，0，当 xp2时，|y|p，|AB|2p12，p6，又点 P 到直线 AB 的距离为p2p2p6，故 SABP12|AB|p1212636.8已知直线

16、 l1：4x3y60 和直线 l2：xp2，若抛物线 C：y22px(p0)上的点到直线l1和 l2的距离之和的最小值为 2，则抛物线 C 的方程为()Ay24x By22x Cy2x2 Dy2x3 答案 A 解析 根据抛物线的定义，设抛物线上的点 M(x，y)，M 到焦点 Fp2，0 的距离与到 l2：xp2的距离相等，则 M 到 l1和 l2的距离之和为 M 到 l1的距离与|MF|之和，最小值为 F 到 l1的焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛物线的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一

17、个动点距离，所以4p230652，所以 p2.故选 A.焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛物线的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点9方程 mxny20 与 mx2ny21(|m|n|0)的曲线在同一坐标系中的示意图应是()答案 A 解析 采用特殊值法，由|m|n|0 可取 m12，n13，A 项符合题意，B 项错误，取 m12，n13时，排除 C，D，故选 A.10已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，准线方程为 x1，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B两点若线段 AB的中点坐标为(

18、2,1)，则直线 l 的方程为()Ay2x3 By2x5 Cyx3 Dyx1 答案 A 解析 抛物线 C 的顶点在坐标原点，准线方程为 x1，p21，p2，抛物线的方程为 y24x.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y214x1，y224x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，直线 AB 的斜率 ky1y2x1x24y1y2422，从而直线 l 的方程为 y12(x2)，即 y2x3.二、填空题 11(2016 年 10 月学考)已知抛物线 y22px 过点 A(1,2)，则 p_，准线方程是焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛

19、物线的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点_ 答案 2 x1 焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛物线的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点12抛物线 y2x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_ 答案 18，24 解析 设抛物线上点的坐标为(x，x)，此点到准线的距离为 x14，到顶点的距离为x2x2，由题意有 x14x2x2，x18，此点坐标为18，24.13设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物

20、线上一点，PAl，A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为 3，那么|PF|_.答案 8 解析 如图所示，直线 AF 的方程为 y 3(x2)，与准线方程 x2 联立得 A(2,4 3)设 P(x0,4 3)，代入抛物线 y28x，得 8x048，x06，|PF|x028.14已知圆 C：x2y28xay50 经过抛物线 E：x24y 的焦点，则抛物线 E 的准线与圆 C 相交所得弦长为_ 答案 4 6 解析 因为抛物线 x24y 的焦点(0,1)在圆 x2y28xay50 上，所以 021280a50，解得 a4，所以圆的标准方程为(x4)2(y2)225，则圆心为 C(4，2)，半径为 r5，

21、则圆心 C(4，2)到抛物线的准线 y1 的距离为 d1，所以所求弦长为2r2d2252124 6.三、解答题 15(2018 年 6 月学考)如图，直线 l 不与坐标轴垂直，且与抛物线 C：y2x 有且只有一个公共点 P.焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛物线的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点(1)当点 P 的坐标为(1,1)时，求直线 l 的方程；(2)设直线 l 与 y 轴的交点为 R，过点 R且与直线 l 垂直的直线 m 交抛物线 C 于 A，B 两点 当|RA|RB|RP

22、|2时，求点 P 的坐标 解(1)设直线 l 的斜率为 k(k0)，则 l 的方程为 y1k(x1)，联立方程组 y1k x1，y2x，消去 x，得 ky2y1k0，由已知可得 14k(1k)0，解得 k12，故所求直线 l 的方程为 x2y10.(2)设点 P 的坐标为(t2，t)，直线 l 的斜率为 k(k0)，则 l 的方程为 ytk(xt2)，联方程组 ytk xt2，y2x.消去 x，得 ky2ytkt20，由已知可得 14k(tkt2)0，得 k12t(t0)所以，点 R的纵坐标为 tkt2t2，从而，点 R的坐标为0，t2，由 ml 可知，直线 m 的斜率为2t，所以，直线 m

23、的方程为 y2txt2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛物线的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点将直线 m 的方程代入 y2x，得 4t2x2(2t21)xt240，所以 (2t21)24t44t210，x1x2116，又|RA|14t2|x1|，|RB|14t2|x2|，|RP|2t414t2，由|RA|RB|RP|2，得(14t2)|x1x2|t414t2，即116(14t2)t414t2，解得 t12，所以，点 P 的坐标为14，12.

24、16(2017 年 11 月学考)如图，抛物线 x2y 与直线 y1 交于 M，N 两点Q 为该抛物线上异于 M，N 的任意一点，直线 MQ 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，直线 NQ 与 x 轴、y 轴分别交于点 C，D.(1)求 M，N 两点的坐标；(2)证明：B，D 两点关于原点 O 对称；(3)设QBD，QCA 的面积分别为 S1，S2，若点 Q 在直线 y1 的下方，求 S2S1的最小值 (1)解 由 yx2，y1，解得 x1，y1或 x1，y1.因此 M，N 两点的坐标分别为(1,1)，(1,1)焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛物线

25、的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点(2)证明 设点 Q 的坐标为 Q(x0，x20)，则 直线 MQ 的方程为 y(x01)(x1)1.令 x0，得点 B 的坐标为(0，x0)直线 NQ 的方程为 y(x01)(x1)1.令 x0，得点 D 的坐标为(0，x0)综上所述，点 B，D 关于原点 O 对称(3)解 由(2)得|BD|2|x0|，因此 S112|BD|x0|x20.在直线 MQ 的方程中，令 y0，得 Ax01x0，0.在直线 NQ 的方程中，令 y0，得 Cx01x0，0.因此|AC|x01x0 x01x02x201x20，S212|AC|x20 x401x20，S2S1x401x20 x202x40 x201x20，令 t1x20，由题意得1x01，所以 0t1，因此 S2S12t1t32 23，当且仅当 t22，即 x0 2 22时取等号 综上所述，S2S1的最小值是 2 23.焦点到准线的距离准线方程范围开口方向向右向左向上向下知识点三直线的焦点若过抛物线的焦点且焦点在轴的正半轴可直接使用公式若不过点差法求解题型一抛物线的定义及应用例已知点是抛物线上的一个动点