2023年数学《定积分与微积分基本定理》精品讲义.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 定积分与微积分基本定理 一.教学内容：定积分与微积分基本定理 二.教学目的：1.了解定积分的定义和定积分的几何意义；2.会用定积分求一些平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力所做的功。三.重点、难点：定积分的定义和定积分的几何意义；微积分基本定理。知识分析 知识点 1：定积分的定义 1.定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的它的解决过程充分体现了变量“由直到曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限的思想方法，定积分是由实际问题中提出的，对定积分概念说明如下：（1）把闭区间a，6用 n1 个分点（包括两个端点0nxa,xb）分为任意 n 个小区间，并非要求一定分成 n

2、 等份，只是在有的问题中，为了解题方便，才用 n 等分的方法去布列分点 （2）在每个小区间ix上，点的取法是任意的，它可以取在小区间的中点，即ii 1ixx2，也可以取在小区间的两个端点，即iix或ii 1x，还可以取在小区间的其他任何位置（i1，2，n）（3）从几何意义上讲，iif()x （i1，2，n）表示以ix为底边，以if()为高的第 i 个小矩形的面积，而不是第 i 个小曲边梯形的面积，和式n 1iii 0f()x 表示 n 个小矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，不过，和式n 1iii 0f()x 可以近似地表示曲边梯形的面积，一般说来，分法越细，近似程度也就越高 （4）总

3、和n 1iii 0f()x 取极限时的极限过程为“ix0”（n ），当分割无限变细，即n 时，不一定能保证和式n 1iii 0f()x 的极限值就是曲边梯形的面积，只有在分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积（5）定积分是一个比较复杂的极限过程的极限值，定义n 1biiax0i 0f(x)dxlimf()x 实际上给出了定积分baf(x)dx的一个计算方法，在实际问题中，由于它太繁琐，故很少使用 2.定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即bbbaaaf(x)dxf(u)duf(t)dt（称

4、为积分形式的不变性），另外定积分baf(x)dx与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上、下限不同，所得的值也不同，例如120(x1)dx与320(x1)dx的值就不同。学习必备 欢迎下载 3.baf(x)dx、ba|f(x)|dx、ba|f(x)dx|的几何意义上有不同的含意，绝不能等同看待，由于被积函数f(x)在闭区间a,b上可正可负，也就是它的图象可以在 x 轴上方，也可以在 x 轴下方，还可以在 x轴的上下两侧，所以baf(x)dx表示由 x 轴、函数f(x)的曲线及直线 xa，xb 之间各部分面积的代数和（如下图（1）；而被积函数|f(x)|是非负的，所以ba|f(x

5、)|dx表示在区间a,b上所有以|f(x)|为曲边的正曲边梯形的面（如图（2）；而ba|f(x)dx|则是baf(x)dx的绝对值，三者的值一般是不相同的 知识点 2：定积分的基本性质 假设函数在所讨论的区间上都是可积的。性质 1：常数因子可能提到积分号前，即 kfxdxk fxdxabab（）（），（k 为常数）这是由于 kfxdxkfxxiinab（）（）lim01 kfxxiinlim01（）k fxdxab（）性质 2：代数和积分等于积分的代数和，即()fxgxdxf x dxgxdxababab（）（）（）因为 limlimlimfxgxdxfgxfxgxfxdxgxdxabiiin

6、iiiininababxxx（）（）（）（）（）（）（）（）000111 这个性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况。性质 3：（定积分的可加性）如果积分区间a，b被点 c 分成两个小区间a，c与c，b，则 fxdxfxdxfxdxcbacab（）（）（）知识点 3：微积分基本定理 定积分的几何意义微积分基本定理知识分析知识点定积分的定义定积分分概念说明如下分为任意个小区间并非把闭区间用个分点包括两个端点的其他任何位置可以取在小区间的两个端点即表示以为底边以为高的第学习必备 欢迎下载 微积分基本公式使我们得到了求定积分的一般方法（简单方法），不需要根据定义求和式的极限，只要求出被积函数的

7、任一原函数，再计算原函数在积分区间上的改变量即可 关键是要找到被积函数的一个原函数 微积分基本定理 如果/F(x)f(x)，且f(x)在a，b上可积，则baf(x)dxF(b)F(a)，其中 F（x）叫做 f（x）的一个原函数。即babf(x)dxF(x)F(b)F(a)a 【典型例题】例 1.求由直线x0,x1,y0和直线yx(x1)围成的图形面积 解析：（1）分割 将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形，用分点121nnnn，把区间0，1等分成 n 个小区间：，011211nnnininnnnn，简写作，（，）ininin112。每个小区间的长度为xininn 11。过各分点作 x 轴的垂线，

8、把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作，S1，S2，Si，Sn。（2）近似代替 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：在小区间，inin 1上任取一点i（i1，2，n），为了计算方便，取i为小区间的左端点，用以点i坐标finini（）（）（）111为其一边，以小区间长度xn1为邻边的小矩形面积近似代替第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为 （）（）（）（，）Sfxininninii111112。（3）作和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形面积 S 的近似值，即 SSfxininniiininin（）（）（）11

9、11111 （4）求极限 当公点数目愈多，即x 愈小时，从上图可以看出，和式的值就愈接近曲边梯形的面积 S。因此，当n ，即 x 0时，和式的极限，就是所求的曲边梯形的面积。定积分的几何意义微积分基本定理知识分析知识点定积分的定义定积分分概念说明如下分为任意个小区间并非把闭区间用个分点包括两个端点的其他任何位置可以取在小区间的两个端点即表示以为底边以为高的第学习必备 欢迎下载 因为Sfxniinlim（）1 limlimnnininnnnxin（）（）（）（负号表示图形在 轴下方）1111161111161 所以由直线 x0，x1，y0 和 yx（x-1）围成的图形的面积是16。点评：求曲边梯

10、形的面积分四个步骤，每一步都很繁琐，特别是作和这一步是关键一环，由于涉及许多知识，对和号“”的理解和运用很陌生，如何进行“”的运算；在其中谁是变量谁是常量必须清楚，直到算得没有“”号为止，这一步的计算很容易出错，因此一定要细致、认真。例 2.计算定积分（1）x dx201；（2）（）2101xdx；（3）（）2112xxdx。解析：（1）因为133x是x2的一个原函数，由微积分基本公式有 x dxx230133011313113013。（2）（）212201201010101xdxxdxdxxx 或（）21122121142114312201220101xdxxdxx ()()()()（3）（

11、）2112xxdx 211411 21 131 2121221212xdxxdxxnxnnn（）（）例 3.计算由22yxyx和所围成图形的面积 定积分的几何意义微积分基本定理知识分析知识点定积分的定义定积分分概念说明如下分为任意个小区间并非把闭区间用个分点包括两个端点的其他任何位置可以取在小区间的两个端点即表示以为底边以为高的第学习必备 欢迎下载 解析：如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线的交点的横坐标，解方程组22yxyx，得出交点的横坐标为 x0 或 x1 因此所求图形的面积 Sxdxx dxxx 23230101012313231313（）【小结】求面积的解题步骤：（1）画出图形

12、；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点横坐标，定出积分上、下限；（3）确定被积函数，注意分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式，（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积 例 4.一辆汽车的速度时间曲线如图所示，求此汽车在这 1 min 行驶的路程。解析：由速度时间曲线易知，vtttttt（），当，时，当，时，当，时，301030104015904060.由变速直线运动的路程公式可得 Stdtdttdtttttm3301590323034901350010104040602010104024060（）（）（）.答：此汽车在这 1min 行驶的路程是 13

13、50m。点评：（1）由定积分的几何意义知，vtdtab（）表示由曲线vvt（），直线 ta，tb 及 v0 围成定积分的几何意义微积分基本定理知识分析知识点定积分的定义定积分分概念说明如下分为任意个小区间并非把闭区间用个分点包括两个端点的其他任何位置可以取在小区间的两个端点即表示以为底边以为高的第学习必备 欢迎下载 图形的面积，故有以下解法：由定积分的定义容易知道，此汽车在这 1min 行驶的路程 s 等于梯形 OABC 的面积，即 sSmOABC梯形（）（）30603021350（2）变速直线运动的路程 物体做变速直线运动经过的路程 s，等于其速度函数vvtvt（）（）0在时间区间a，b上的

14、定积分，即svtdtab（）。【模拟试题】一.选择题。1.下列式子正确的是（）A.f x dxf bf aCab()()()B.fx dxf bf aab()()()C.df xf xCab()()D.()()f x dxf xab 2.下列值等于 1 的积分是（）A.xdx01 B.()xdx101 C.101dx D.1201dx 3.已知自由落体的速率 vgt，则落体从 t0 到 tt0所走的路程为（）A.1302gt B.gt02 C.1202gt D.1602gt 4.如果 1kg 力能拉长弹簧 1cm，为了将弹簧拉长 6cm，所耗费的功为（）A.0.18 B.0.26 C.0.12

15、 D.0.28 5.(sincos)xx dxx0的值为（）A.2 B.C.2 D.2 6.()1112312xxxdx（）A.1 278n B.172na C.1 258n D.1 2178n 二.填空题 7.()212301xdx 。8.若()2201xk dx，则 k 。9.由抛物线 y2x 和直线 x1 所围成图形的面积为 。10.若ax dxbx dxcxdx23020202，sin，则 a、b、c 大小关系是 。三.解答题。定积分的几何意义微积分基本定理知识分析知识点定积分的定义定积分分概念说明如下分为任意个小区间并非把闭区间用个分点包括两个端点的其他任何位置可以取在小区间的两个端

16、点即表示以为底边以为高的第学习必备 欢迎下载 11.求由曲线yx2与直线 x+y2 围成的面积。12.求曲线 yx2与直线 yx，y2x 所围成的图形的面积。定积分的几何意义微积分基本定理知识分析知识点定积分的定义定积分分概念说明如下分为任意个小区间并非把闭区间用个分点包括两个端点的其他任何位置可以取在小区间的两个端点即表示以为底边以为高的第学习必备 欢迎下载【试题答案】一.选择题。1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.A 二.填空题。7.22935 8.1 9.43 10.cab 三.解答题。11.解析：如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组yxxy 22，得xyxy11221124，.即两个交点为（1，1），（2，4）。直线为 y2x，则所求面积 S 为：Sxxdxxxx()2223922232112。12.解析：如图，yx2与 yx 交点为（0，0），（1，1）；yx2与 y2x 交点为（0，0），（2，4）。所求面积 S：Sxx dxxxdxxdxxxdxxxx()()()()222237621201220123121201 定积分的几何意义微积分基本定理知识分析知识点定积分的定义定积分分概念说明如下分为任意个小区间并非把闭区间用个分点包括两个端点的其他任何位置可以取在小区间的两个端点即表示以为底边以为高的第