2023年数列公式超详细知识汇总全面汇总归纳.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 人教版数学必修五 第二章 数列 重难点解析 第二章 课文目录 21 数列的概念与简单表示法 22 等差数列 23 等差数列的前 n 项和 24 等比数列 25 等比数列前 n 项和 【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。6、等比数列的前 n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式 【难点】1、

2、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。2、理解递推公式与通项公式的关系。3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。4、灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题。5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.数列的项：数列中的每一

3、个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第2 项，第 n 项，.数列的一般形式：,321naaaa，或简记为na，其中na是数列的第 n 项 数列的通项公式：如果数列na的第 n 项na与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是2)1(11nna，也可以是|21cos|nan.数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是

4、这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项 5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集 N*（或它的有限子集1，2，3，n）为定义域的函数()naf n，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。学习必备 欢迎下载 反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)，f(n)，6数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例

5、如数列 1，2，3，4，5，6是无穷数列 2）根据数列项的大小分：递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 7数列的表示方法（1）通项公式法 如果数列na的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列 的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；（2）图象法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做

6、出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势（3）递推公式法 如果已知数列na的第 1 项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：)83(,5,32121naaaaannn 4、列表法 简记为 典型例题：例 1：根据下面数列的前几

7、项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33,；(2)32,154,356,638,9910,；(3)0,1,0,1,0,1,；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,；(5)2,6,12,20,30,42,.前几项等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的定义通项公式性导进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前项和公式难点根据数列的前解决一些简单的有关问题灵活应用求和公式解决问题灵活应用定义式及学习必备 欢迎下载 解：(1)na2n1；(2)na)12)(12(2nnn；(3)na2)1(1n；(4)将数列变形为 10,2 1,3 0,4 1,5 0,6 1,7 0,8 1,n

8、a ；(5)将数列变形为 12,23,3 4,45,5 6,，na 例 2：设数列na满足11111(1).nnaana 写出这个数列的前五项。解：二、等差数列 1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列na,若na1na=d(与 n 无关的数或字母)，n2，nN，则此数列是等差数列，d 为公差。2等差数列的通项公式：dnaan)1(1【或nadmnam)(】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列na

9、的首项是1a，公差是 d，则据其定义可得：daa12即：daa12 daa23即：dadaa2123 daa34即：dadaa3134 由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaan)1(1 已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a和公差 d，便可求得其通项na。由上述关系还可得：dmaam)1(1 即：dmaam)1(1 则：nadna)1(1=dmnadndmamm)()1()1(即等差数列的第二通项公式 nadmnam)(d=nmaanm 3有几种方法可以计算公差 d d=na1na d=11naan d=mnaamn 4结论：（性质）在等差数列中，若 m+n=p+q，则，qpnmaaaa

10、即 m+n=p+q qpnmaaaa(m,n,p,q N)但通常 由qpnmaaaa 推不出 m+n=p+q，nmnmaaa 典型例题：例 1：求等差数列 8，5，2的第 20 项 前几项等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的定义通项公式性导进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前项和公式难点根据数列的前解决一些简单的有关问题灵活应用求和公式解决问题灵活应用定义式及学习必备 欢迎下载 -401 是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：例 3：求等差数列 3，7，11，的第 4 项与第 10 项.例 5：100 是不是等差数列 2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，

11、说明理由.例 6：20 是不是等差数列 0，321，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.例 8：在等差数列na中，若1a+6a=9,4a=7,求3a,9a.三、等差数列的前 n 项和 1等差数列的前n项和公式 1：2)(1nnaanS 证明：nnnaaaaaS 1321 1221aaaaaSnnnn +：)()()()(223121nnnnnnaaaaaaaaS 23121nnnaaaaaa )(21nnaanS 由此得：2)(1nnaanS 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2 等差数列的前n项和公式 2：2)1(1dnnnaSn 用上述公式要求nS必须具备三个条件

12、：naan,1 但dnaan)1(1 代入公式 1 即得：2)1(1dnnnaSn 此公式要求nS必须已知三个条件：dan,1（有时比较有用）对等差数列的前n项和公式2：2)1(1dnnnaSn可化成式子：n)2da(n2dS12n，当 d0，是一个常数项为零的二次式 前几项等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的定义通项公式性导进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前项和公式难点根据数列的前解决一些简单的有关问题灵活应用求和公式解决问题灵活应用定义式及学习必备 欢迎下载 3 由nS的定义可知，当 n=1 时，1S=1a；当 n2 时，na=nS-1nS，即na=)2()1(11nSSnSnn.

13、4 对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用na:当na0，d0，前n项和有最大值可由na0，且1na0，求得n的值 当na0，前n项和有最小值可由na0，且1na0，求得n的值（2）利用nS：由n)2da(n2dS12n利用二次函数配方法求得最值时 n 的值 典型例题：例 2：等差数列10，6，2，2，前 9 项的和多少？解：例 3：等差数列前 10 项的和为 140，其中，项数为奇数的各项的和为 125，求其第 6 项 解 例 6：已知等差数列an中，S3=21，S6=64，求数列|an|的前 n 项和 Tn 例 7：在等差数列an中，已知 a6a9a12a1534，求前 20 项

14、之和 例 8：已知等差数列an的公差是正数，且 a3a7=12，a4a6=4，求它的前 20 项的和 S20的值 例 9：等差数列an、bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若 STnnabnn231100100，则等于 A1BCD23199299200301 前几项等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的定义通项公式性导进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前项和公式难点根据数列的前解决一些简单的有关问题灵活应用求和公式解决问题灵活应用定义式及学习必备 欢迎下载 分析 nS=n(a+a)nn1n该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前 项和的值与项的值进行联系abSTnnnn1001

15、002312 例 10：解答下列各题：(1)已知：等差数列an中 a23，a617，求 a9；(2)在 19 与 89 中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为 1350，求这几个数；(3)已知：等差数列an中，a4a6a15a1750，求 S20；(4)已知：等差数列an中，an=333n，求 Sn的最大值 四、等比数列 1等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（q0），即：1nnaa=q（q0）1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)na成

16、等比数列nnaa1=q（Nn,q0）2 隐含：任一项00qan且“na0”是数列na成等比数列的必要非充分条件 3 q=1 时，an为常数。2.等比数列的通项公式 1:)0(111qaqaann 由等比数列的定义，有：qaa12；21123)(qaqqaqaa；312134)(qaqqaqaa；)0(1111qaqaqaannn 3.等比数列的通项公式 2:)0(11qaqaammn 4既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 5等比数列与指数函数的关系：前几项等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的定义通项公式性导进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前项和公式难点根据数列的前解决一些简单的有关

17、问题灵活应用求和公式解决问题灵活应用定义式及学习必备 欢迎下载 等比数列na的通项公式)0(111qaqaann,它的图象是分布在曲线1xayqq（q0）上的一些孤立的点。当10a，q 1 时，等比数列na是递增数列；当10a，01q，等比数列na是递增数列；当10a，01q 时，等比数列na是递减数列；当10a，q 1 时，等比数列na是递减数列；当0q 时，等比数列na是摆动数列；当1q 时，等比数列na是常数列。6等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a,G，b 成等比数列，那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项.即G=ab（a,b 同号）如果在 a 与 b 中间插

18、入一个数 G，使 a,G，b 成等比数列，则abGabGGbaG2，反之，若 G2=ab,则GbaG，即 a,G,b 成等比数列 a,G,b 成等比数列G2=ab（ab0）7等比数列的性质：若 m+n=p+k，则kpnmaaaa 在等比数列中，m+n=p+q，kpnmaaaa,有什么关系呢？由定义得：11n11 nmmqaaqaa 11k11 kppqaaqaa 221nmnmqaaa ，221kpkpqaaa 则kpnmaaaa 8判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 9 等比数列的增减性：当 q1,1a0 或 0q1,1a1,1a0,或 0q0时,na是递减数列;当 q=1 时,

19、na是常数列;当 q0，则 lga1,lga2,lga3成等差 注（1）lgnnaa成等比成等差（2）nanaa成等差成等比 典型例题：例 1：求和：.解：前几项等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的定义通项公式性导进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前项和公式难点根据数列的前解决一些简单的有关问题灵活应用求和公式解决问题灵活应用定义式及学习必备 欢迎下载 等 差 数 列 等 比 数 列 定 义 一般地,如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫公差 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这

20、个数列就叫等比数列这个常数叫公比 递 推 关 系 121nnaaaa （*nN）1nnaad （*nN）11nnnnaaaa （*2,nnN）121nnaaaa （*nN）1nnaqa （*0,qnN）11nnnnaaaa （*2,nnN）通 项 公 式 1(1)naand （*nN）napnq （*,p qnN为常数）11nnqaa （*nN）nnqpa（*,0,0,p qqpnN是常数）求 和 公 式 12()nnSn aa （*nN）1(1)2nn nSnad (*nN)2nSAnBn(*,A BnN是常数)11,1(1),11nnnaqSaqqq (*nN)1,1,1nnna qSAA

21、q q(*nN，0A)主 要 性 质 若 p+q=s+r,p、q、s、rN*,则 pqsraaaa.对任意 c0,c1,nac为等比数列.*112,2nnnaaanNn.若na、nb分别为两等差数列，则 nnab为等差数列.若nb为正项等差自然数列，则nba为等差数列.,232nnnnnSSSSS为等差数列.若 p+q=s+r,p、q、s、rN*,则 rsqpaaaa.对任意 c0,c1,若 an恒大于 0，则logcna为等差数列.2,211nNnaaannn.若na、nb为两等比数列，则 nnba为等比数列.若nb为正项等差自然数列，则nba为等比数列.,232nnnnnSSSSS为等比数列.前几项等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的定义通项公式性导进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前项和公式难点根据数列的前解决一些简单的有关问题灵活应用求和公式解决问题灵活应用定义式及