2023年排列组合与概率知识点总结归纳及经典练习题.pdf

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1、学习必备 精品知识点 一、随机变量.1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若 是一个随机变量，a，b 是常数.则也是一个随机变量.一般地，若 是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量 可能取的值为：取每一个值的概率，

2、则表称为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.P 有性质；.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取 05 之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3.二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是：其中 于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称这样的随机变量 服从二项分布，记作B（n p），其中 n，p 为参数，并记.二项分布的判断与应用.学习必备 精品知识点 二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件

3、，随机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4.几何分布：“”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k 次试验时事件 A 发生记为，事 A 不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量 的概率分布列.1 2 3 k P q qp 我们称 服从几何分布，并记，其中 二.数学期望与方差.1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为 P 则称为 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值

4、的平均水平.2.随机变量的数学期望：当时，即常数的数学期望就是这个常数本身.当时，即随机变量 与常数之和的期望等于 的期望与这个常数的和.当时，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.0 1 P q p 求倍数的问题培养学生的理解能力和计算能力教学目标教学札记学习必帮人把活干二探究体验一了解倍的概念引导学生观察情境图说一说看到使学生较直观地感受倍的含义教师板书头大象头小象大象头数是小象的学习必备 精品知识点 单点分布：其分布列为：.两点分布：，其分布列为：（p+q=1）二项分布：其分布列为.（P为发生的概率）几何分布：其分布列为.（P为发生的概率）3.方差、标准差的定义：当

5、已知随机变量 的分布列为时，则称为 的方差.显然，故为 的根方差或标准差.随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.随机变量的方差.（a、b 均为常数）0 1 P q p 单点分布：其分布列为 两点分布：其分布列为：（p+q=1）二项分布：几何分布：5.期望与方差的关系.如果和都存在，则 设 和是互相独立的两个随机变量，则 期望与方差的转化：（因为为一常数）一.特殊元素和特殊位置优先策略 求倍数的问题培养学生的理解能力和计算能力教学目标教学札记学习必帮人把活干二探究体验一了解倍的概念引导学生观察情境图说一说看到使学

6、生较直观地感受倍的含义教师板书头大象头小象大象头数是小象的学习必备 精品知识点 例 1.由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 二.相邻元素捆绑策略 例 2.7 人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.求倍数的问题培养学生的理解能力和计算能力教学目标教学札记学习必帮人把活干二探究体验一了解倍的概念引导学生观察情境图说一说看到使学生较直观地感受倍的含义教师板书头大象头小象大象头数是小象的学习必备 精品知识点 解：

7、可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种 四.定序问题倍缩空位插入策略 求倍数的问题培养学生的理解能力和计算能力教学目标教学札记学习必帮人把活干二探究体验一了解倍的概念引导

8、学生观察情境图说一说看到使学生较直观地感受倍的含义教师板书头大象头小象大象头数是小象的学习必备 精品知识点 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余 4 四人依次插入共有 几种方法 五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依

9、此类推,由分步计数原理共有种不同的排法 求倍数的问题培养学生的理解能力和计算能力教学目标教学札记学习必帮人把活干二探究体验一了解倍的概念引导学生观察情境图说一说看到使学生较直观地感受倍的含义教师板书头大象头小象大象头数是小象的学习必备 精品知识点 六.多排问题直排策略 例 6.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有种,则共有种 七.排列组合混合问题先选后排策略 例 7.有 5 个不同的小球,装入

10、 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.求倍数的问题培养学生的理解能力和计算能力教学目标教学札记学习必帮人把活干二探究体验一了解倍的概念引导学生观察情境图说一说看到使学生较直观地感受倍的含义教师板书头大象头小象大象头数是小象的学习必备 精品知识点 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有 八.元素相同问题隔板策略 例 8.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙

11、。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。求倍数的问题培养学生的理解能力和计算能力教学目标教学札记学习必帮人把活干二探究体验一了解倍的概念引导学生观察情境图说一说看到使学生较直观地感受倍的含义教师板书头大象头小象大象头数是小象的学习必备 精品知识点 九.正难则反总体淘汰策略 例 9.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法

12、有,只含有 1 个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种，符合条件的取法共有 十.合理分类与分步策略 例 10.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌2 人伴舞的节目,有多少选派方法 解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究 求倍数的问题培养学生的理解能力和计算能力教学目标教学札记学习必帮人把活干二探究体验一了解倍的概念引导学生观察情境图说一说看到使学生较直观地感受倍的含义教师板书头大象头小象大象头数是小象的学习必备 精品知识点 只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有 种。求倍数的问题培养学生的理解能力和计算能力教学目标教学札记学习必帮人把活干二探究体验一了解倍的概念引导学生观察情境图说一说看到使学生较直观地感受倍的含义教师板书头大象头小象大象头数是小象的