2023年幂函数知识点总结归纳练习.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 幂函数练习 例、函数 f(x)(m2m1)xm2m3 是幂函数，且当 x(0，)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式 分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出 m，再由单调性确定 m.解 根据幂函数定义得 m2m11，解得 m2 或 m1，当 m2 时，f(x)x3在(0，)上是增函数；当 m1 时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不符合要求故 f(x)x3.点评 幂函数 yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数为常数(也可以为 0)这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准 对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根 学习必备

2、欢迎下载 例 3、如图是幂函数 yxm与 yxn在第一象限内的图象，则()A-1n0m1 Bn1,0m1 C1n1 Dn1 解析 在(0,1)内取同一值 x0，作直线 xx0，与各图象有交点，则“点低指数大”如图，0m1，nx13，求 x 的取值范围 错解 由于 x20，x13 R，则由 x2x13，可得 x R.错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是 yx在1 和 01 两种情况下图象的分布 正解 作出函数 y=x2 和 y=31x的图象(如右图所示)，易得 x1.幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如

3、图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有

4、交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 分析：底数分别不同而指数相同，可以看作是和。两个幂函数，利用幂函数的单调性质去理解。解：(1)(0,+)是递增的 又1.11.4 利用幂函数的性质比较数的大小。例 3比较的大小。分析：三个量比较大小，先考虑取值的符号。启示：当直接比较大小难以进行时，可以考虑借助一些中间量特殊值，如 0，1或其他数来解决。例 6、比较下列各组中两个数的大小：幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备

5、欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 x y y=2 O x2 x1 f(x)g(x)（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(，32)25.1(解析：（1）考查幂函数y53x的单调性，在第一象限内函数单调递增，1.5 1.7，535.1537.1，（2）考查幂函数y23x的单调性，同理 0.71.50.61.5 （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，32)2.1(322.1，32)25.1(3225.1，又322.13225.1，32)2.1(3225.1 将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）2223332.5,(

6、1.4),(3)（2）3338420.16,0.5,6.25 （3）11121333322253(),(),(),3,()3532 解：（1）222333(1.4)2.5(3)（2）3338246.250.50.16,（3）11211333322523()()()()35332【例 1】(1)已知)1()(),1()(bbxgaaxfxx,当2)()(21xgxf时,有21xx,则ba,的大小关系是 A.ba B.ba C.ba D.ba 【捕捉题情】(1)在同一坐标系中画出两个递增的指数函图象；(2)由2)()(21xgxf添画一条直线2y,出现两个交点；(3)由21xx 确认1x与2x的位

7、置,并确认()f x与()g x的图象,判断ba,的大小.幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 (1)解:在同一坐标系中画出两个递增的指数函图象,画上直线2y,由2)()(21xgxf与21xx 知在右边的 图象为()f x的图象,于是由()g x的图象在y轴右边的增加速 度较快,得ba,选 C.(2)函数()x bf xa的图象如图,其中,a b为常数,则下列结论正确的是 A.01,0ab B.1,0ab C.01,0ab D

8、.1,0ab (2)解:()f x的图象由xya的图象向左平移b个单位得到,可知01a,()f x的图象与y轴的交点(0,)ba在(0,1)的下方,有1ba,即01baa,当01a 时,函数xya递减,于是0b,选 A.例 1 已知函数223()()mmf xxm Z为偶函数，且(3)(5)ff，求 m 的值，幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 并确定()f x的解析式 分析：函数223()()mmf xxm Z为偶函数，已限

9、定了223mm 必为偶数，且mZ，(3)(5)ff，只要根据条件分类讨论便可求得 m 的值，从而确定()f x的解析式 解：()f x是偶函数，223mm 应为偶数 又(3)(5)ff，即22232335mmmm ，整理，得223315mm ，2230mm ，312m 又mZ，0m 或 1 当 m=0 时，2233mm 为奇数（舍去）；当1m 时，2232mm 为偶数 故 m 的值为 1，2()f xx 评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础 例 2 已知函数2()f xx，设函数()()(21)()1g xqf f xqf

10、x，问是否存在实数(0)q q，使得()g x在区间4，是减函数，且在区间(4 0)，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由 分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间 解：2()f xx，则42()(21)1g xqxqx 假设存在实数(0)q q，使得()g x满足题设条件，设12xx，则4242121122()()(21)(21)g xg xqxqxqxqx 22122112()()()(21)xxxxq xxq 若124xx ，易知120 xx，210 xx，要使()g x在4，上是减函数，幂

11、函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 则应有2212()(21)0q xxq 恒成立 14x ，24x，221232xx而0q，2212()32q xxq.从而要使2212()21q xxq恒成立，则有2132qq，即130q 若12(4 0)xx，易知1221()()0 xxxx，要使()f x在(4 0)，上是增函数，则应有2212()(21)0q xxq 恒成立 140 x ，240 x，221232xx，而0q，2212(

12、)32q xxq 要使2212()21q xxq恒成立，则必有2132qq，即130q 综上可知，存在实数130q ，使得()g x在4，上是减函数，且在(4 0)，上是增函数 评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用 判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练 分类讨论的思想 例 1 已知函数223nnyx()nZ的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于 y 轴对称，求 n 的值，并画出函数的图象 幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象

13、有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 解：因为图象与 y 轴无公共点，故2230nn，又图象关于 y 轴对称，则223nn为偶数，由2230nn，得13n，又因为nZ，所以012 3n ，当0n 时，2233nn 不是偶数；当1n 时，2234nn 为偶数；当1n 时，2230nn 为偶数；当2n 时，2233nn 不是偶数；当3n 时，2230nn 为偶数；所以 n 为1，1 或 3 此时，幂函数的解析为0(0)yxx或4yx，其图象如图所示 例 3 已知幂函数223mmyx（mZ）的图象无交点，且关于原点对称，求

14、与x轴、y轴都m的值 分析：幂函数图象与x轴、y轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数结合mZ，便可逐步确定m的值 解：幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，2230mm，13m；mZ，2(23)mmZ，又函数图象关于原点对称，223mm是奇数，0m 或2m 幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 数形结合的思想 例 2 已知点(2 2)，在幂函数()f x的图象上，点124，在幂函数(

15、)g x的图象上 问当 x 为何值时有：（）()()f xg x；（）()()f xg x；（）()()f xg x 分析：由幂函数的定义，先求出()f x与()g x的解析式，再利用图象判断即可 解：设()mf xx，则由题意，得2(2)m，2m，即2()f xx再令()ng xx，则由题意，得1(2)4n，2n ，即2()(0)g xxx在同一坐标系中作出()f x与()g x的图象，如图 2 所示由图象可知：（1）当1x 或1x 时，()()f xg x；（2）当1x 时，()()f xg x；（3）当11x 且0 x 时，()()f xg x 小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用

16、，注意本题中()g x的隐含条件0 x 转化的数学思想 例 3 函数1224(42)(1)ymxxmmmx 的定义域是全体实数，则实数 m 的取值范围是（）(512)，(51)，(2 2)，幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 (1515)，解析：要使函数1224(42)(1)ymxxmmmx 的定义域是全体实数，可转化为2420mxxm 对一切实数都成立，即0m 且244(2)0m m 解得51m 故选（）例：已知幂函数 f(

17、x)xm22m3(mN*)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)3m(32a)3m的 a 的范围 幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在

18、内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 类型一：求参数的取值范围 例1 已知函数223()()mmf xxm Z为偶函数，且(3)(5)ff，求 m 的值，并确定()f x的解析式 分析：函数223()()mmf xxm Z为偶函数，已限定了223mm 必为偶数，且mZ，(3)(5)ff，只要根据条件分类讨论便可求得 m 的值，从而确定()f x的解析式 解：()f x是偶函数，223mm 应为偶数 又(3)(5)ff，即22232335mmmm ，整理，得223315mm ，幂函数其中为常数其

19、本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 2230mm ，312m 又mZ，0m 或 1 当 m=0 时，2233mm 为奇数（舍去）；当1m 时，2232mm 为偶数 故 m 的值为 1，2()f xx 评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础 类型二：求解存在性问题 例2 已知函数2()f xx，设函数()()(21)()1g xqf f xqf x，问是否存在实数(0)q q，使

20、得()g x在区间4，是减函数，且在区间(4 0)，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由 分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间 解：2()f xx，则42()(21)1g xqxqx 假设存在实数(0)q q，使得()g x满足题设条件，设12xx，则4242121122()()(21)(21)g xg xqxqxqxqx 22122112()()()(21)xxxxq xxq 若124xx ，易知120 xx，210 xx，要使()g x在4，上是减函数，则应有2212()(21)0q xx

21、q 恒成立 14x ，24x，221232xx而0q，2212()32q xxq.从而要使2212()21q xxq恒成立，则有2132qq，即130q 幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 若12(4 0)xx，易知1221()()0 xxxx，要使()f x在(4 0)，上是增函数，则应有2212()(21)0q xxq 恒成立 140 x ，240 x，221232xx，而0q，2212()32q xxq 要使2212()

22、21q xxq恒成立，则必有2132qq，即130q 综上可知，存在实数130q ，使得()g x在4，上是减函数，且在(4 0)，上是增函数 评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用 判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练 类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况 例 3 讨论函数2221()kkykk x在0 x 时随着 x 的增大其函数值的变化情况 分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论 解：（1）当20kk，即0k 或1k 时，0y 为常函数

23、；（2）当2210kk 时，12k 或12k ，此时函数为常函数；（3）220210kkkk ，即012k 时，函数为减函数，函数值随 x 的增大而减小；（4）当220210kkkk ，即1k 或12k 时，函数为增函数，函数值随 x 的增大而增大；（5）当220210kkkk ，即120k 时，函数为增函数，函数值随 x 的增大而增大；幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 （6）当220210kkkk ，即112k 时，函数为

24、减函数，函数值随 x 的增大而减小 评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素这应引起我们的高度警觉 幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体 下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用 例 1 若11(1)(32)mm，试求实数 m 的取值范围 错解（数形结合）：由图可知10320132mmmm ，解得 23m，且32m 剖析：函数1(0)yxx虽然在区间(0)，和(0)，上分别具有单调性，但在区间(0)(0)，上不具有单调性，因而运用单调性解答是错误的 正解（分类讨

25、论）：（1）10320132mmmm ，解得2332dm；（2）10320132mmmm ，此时无解；（3）10320mm，解得1m 幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 综上可得2 3(1)3 2m，现在把例 1 中的指数1换成 3 看看结果如何 例 2 若33(1)(32)mm，试求实数 m 的取值范围 错解（分类讨论）：由图 2 知，（1）10320321mmmm ，1，解得213m；（2）10320321mmmm ，此时

26、无解；（3）10320mm，解得 1m 综上可得 2(1)13m，剖析：很明显，此解法机械地模仿例的正确解法，而忽视了函数间定义域的不同 由此，使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的重要作用 正解（利用单调性）：由于函数3yx在()，上单调递增，所以132mm ，解得23m 例 2 正确解法深化了对幂函数单调性的理解，激活了同学们的思维下面再对12和4两个问题与解法进行探究 例 3 若1122(1)(32)mm，试求实数 m 的取值范围 解：由图 3，10320321mmmm，解得 213m 幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低

27、指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 例 4 若44(1)(32)mm，试求实数 m 的取值范围 解析：作出幂函数4yx的图象如图 4 由图象知此函数在(0)(0)，上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键 考虑4时，44xx于是有44(1)(32)mm，即44132mm 又幂函数4yx在(0)，上单调递增，132mm ，解得23m，或 m4 上述解法意识到幂函数(0)yx在第一象限的递增性，于是巧妙运用转化思想解题，从而避免了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展 解题点悟：通过以上探究，我们

28、对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的认识，同时对于形如()()f xg x（是常数）型的不等式的解法有了以下体会：（1）当11135 ，解法同例 1 （2）当1113535，解法同例 2 （3）当111246，解法同例 3 （4）当246 ，解法同例 4 编者点评：本文通过对一典型例题的多种变换，使我们对幂函数的性质及图象都有了 幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学学习必备 欢迎下载 较深刻的认识，其中例4解题过程中虽涉及了含绝对值不等式的解法，超出了我们的所学范围，但它其中蕴含的这种“转化”的思想，一方面拓宽了我们的解题思路，同时也体现了对知识的灵活应用能力，当然此题还可用分类讨论的方法解决，同学们不妨一试 幂函数其中为常数其本质特征是以幂的底为自变量指数为常数也可以为析在内取同一值作直线与各图象有交点则点低指数大如图学习必备欢迎图所示易得或学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学