2023年普通高等学校数学招生全国统一考试.pdf

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1、精品好资料 欢迎下载 普通高等学校数学招生全国统一考试 5数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页第卷 3至 9 页共 150 分考试时间 120 分钟 第 卷（选择题共 60 分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上 3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回 参考公式：三角函数的积化和差公式)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21sinco

2、s)cos()cos(21sinsin 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）满足条件 3,2,11 M的集合 M 的个数是（A）1（B）2（C）3（D）4（2）在平面直角坐标系中，已知两点 A（cos80，sin80），B（cos20，sin20），则|AB|的值是（A）21（B）22（C）23（D）1（3）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间（2，）上为减函数的是（A）y=cos2x （B）y=2|sinx|正棱台、圆台的侧面积公式 lccS)(21台侧 其中 c、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或

3、母线长 球体的体积公式 334RV球 其中 R表示球的半径 精品好资料 欢迎下载（C）xycos)31(（D）y=cot x（4）64 个直径都为4a的球，记它们的体积之和为 V甲，表面积之和为 S甲；一个直径为 a的球，记其体积为 V乙，表面积为 S乙，则（A）V甲V乙且 S甲S乙 （B）V甲V乙且 S甲S乙 （D）V甲=V乙且 S甲=S乙（5）已知某曲线的参数方程是tansecyx（为参数）若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（A）=1（B）cos2=1（C）2sin2=1（D）2cos2=1 （6）给定四条曲线：,2522yx,1492

4、2yx,1422yx.1422yx其中与直线05 yx仅有一个交点的曲线是（A）（B）（C）（D）（7）已知 z1，z2C 且|z1|=1若 z1z2=2i，则|z1z2|的最大值是（A）6（B）5（C）4（D）3（8）若11cot21cot，则2sin12cos的值为（A）3（B）3（C）2（D）21（9）12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有（A）4448412CCC种 （B）34448412CCC种（C）3348412PCC种 （D）334448412PCCC种 （10）设命题甲：“直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，平面 ACB1与

5、对角面 BB1D1D 垂直”；命题乙：“直四棱柱 ABCDA1B1C1D1是正方体”那么，甲是乙的（A）充分必要条件 （B）充分非必要条件（C）必要非充分条件 （D）既非充分又非必要条件（11）已知 f（x）是定义在（3，3）上的奇函数，当 0 x3 时，f（x）的图象如图所示，那么不等式 f（x）cosxc，bd，两底面间的距离为 h （）求侧面 ABB1 A1与底面 ABCD 所成二面角的大小；（）证明：EF面 ABCD；（）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 V估=S中截面h 来计算已知它的体积公式是 6hV（S上底面4S中截面S下底面）试判断 V估与 V的大小关系，并加以证明（注

6、：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）写在答题卡上每小题选出答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号面积公式台侧其分别表示上下底面周长表示斜高或母线长球体的体积公两点则的值是下列四个函数以为最小正周期且在区间上为减函数的是精精品好资料 欢迎下载 （19）（本小题满分 12 分）数列xn由下列条件确定：)(21,011nnnxaxxax，nN（）证明：对 n2，总有axn；（）证明：对 n2，总有1nnxx；（）若数列xn的极限存在，且大于零，求nnxlim的值 （20）（本小题满分 12 分）写在答题卡上每小题选出答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号面积公式台侧

7、其分别表示上下底面周长表示斜高或母线长球体的体积公两点则的值是下列四个函数以为最小正周期且在区间上为减函数的是精精品好资料 欢迎下载 在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求 n 个不同的数 v1，v2，vn的和ninivvvvv1321计算开始前，n 个数存贮在 n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作 为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这 n 个数的和，需要设计一种读和加的方法比如 n=2 时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示

8、：机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 被读机号 结 果 被读机号 结 果 被读机号 结 果 1 v1 2 v1v2 2 v2 1 v2v1 （）当 n=4 时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表 机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 被读机号 结 果 被读机号 结 果 被读机号 结 果 1 v1 2 v2 3 v3 4 v4 （）当 n=128 时，要使所有机器都得到niiv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）写在答题卡上每小题选出答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号面积公式台侧其分别表示上下底面周长表示斜

9、高或母线长球体的体积公两点则的值是下列四个函数以为最小正周期且在区间上为减函数的是精精品好资料 欢迎下载 （21）（本小题满分 12 分）已知 O（0，0），B（1，0），C（b，c）是OBC 的三个顶点（）写出OBC 的重心 G，外心 F，垂心 H 的坐标，并证明 G，F，H 三点共线；（）当直线 FH 与 OB 平行时，求顶点 C 的轨迹 （22）（本小题满分 14 分）已知 f（x）是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的 a，bR 都满足：f（a b）=af（b）bf（a）（）求 f（0），f（1）的值；（）判断 f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（）若nfufnn)2(,2)2

10、(（nN），求数列un的前 n 项的和 Sn 普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答 说明：写在答题卡上每小题选出答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号面积公式台侧其分别表示上下底面周长表示斜高或母线长球体的体积公两点则的值是下列四个函数以为最小正周期且在区间上为减函数的是精精品好资料 欢迎下载 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，

11、但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分（1）B（2）D（3）B（4）C（5）D（6）D（7）C（8）A（9）A（10）C（11）B（12）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分（13）)43arccos()52arcsin()45arctan(（14）4（15）（16）22 三、解答题:本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程

12、或演算步骤（17）本小题考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力满分 12 分 解：原不等式212212xxxx 因为 2)2(1202012212212xxxxxxxx 052212xxx 21 x 又2)2(1202012212xxxxxx 或 02012xx 写在答题卡上每小题选出答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号面积公式台侧其分别表示上下底面周长表示斜高或母线长球体的体积公两点则的值是下列四个函数以为最小正周期且在区间上为减函数的是精精品好资料 欢迎下载 05622xxx 或 221x 512xx 或 221x 52x 或 221x 521x 所以，原不等式组521

13、52121xxx 因此，原不等式的解集为521xx（18）本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力满分 12 分（）解：过 B1C1作底面 ABCD 的垂直平面，交底面于 PQ，过 B1作 B1GPQ，垂足为 G 平面 ABCD平面 A1B1C1D1，A1B1C1=90 ABPQ，ABB1P B1PG 为所求二面角的平面角 过 C1作 C1HPQ，垂足为 H由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形 B1PQC1为等腰梯形 )(21dbPG，又 B1G=h，)(2t a n1dbdbhPGB，dbhPGB2arctan1,即所求二面角的大小

14、为dbh2arctan（）证明：AB，CD 是矩形 ABCD 的一组对边，有 ABCD，又 CD 是面 ABCD 与面 CDEF 的交线，AB面 CDEF EF 是面 ABFE 与面 CDEF 的交线，写在答题卡上每小题选出答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号面积公式台侧其分别表示上下底面周长表示斜高或母线长球体的体积公两点则的值是下列四个函数以为最小正周期且在区间上为减函数的是精精品好资料 欢迎下载 ABEF AB是平面 ABCD 内的一条直线，EF 在平面 ABCD 外，EF面 ABCD（）V估c，bd，hdbcadbcaabcdhVV22)224(6估)(3)(22212dbcadb

15、caabcdh 0)(12dbcah V估0，及)(211nnnxaxx，可归纳证明 xn0（没有证明过程不扣分）从而有axaxxaxxnnnnn)(211（nN），所以，当 n2 时，axn成立（）证法一：当 n2 时，因为0 axn，)(211nnnxaxx 所以 021)(2121nnnnnnnxxaxxaxxx，故当 n2 时，xnxn1成立 证法二：当 n2 时，因为0 axn，)(211nnnxaxx，所以 122)(21222221nnnnnnnnnnxxxxaxxxaxxx，故当 n2 时，xnxn1成立（）解：记Axnnlim，则Axnn1lim，且 A0 由 )(211nn

16、nxaxx，得 )(21l i ml i m1l i mnnnnnnxaxx，写在答题卡上每小题选出答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号面积公式台侧其分别表示上下底面周长表示斜高或母线长球体的体积公两点则的值是下列四个函数以为最小正周期且在区间上为减函数的是精精品好资料 欢迎下载 即 )(21AaAA 由 A0，解得aA，故 axnnlim（20）本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力满分 12 分（）解：当 n=4 时，只用 2 个单位时间即可完成计算 方法之一如下：机 器 号 初 始 时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 被读机号 结 果 被读机号 结 果 被

17、读机号 结 果 1 v1 2 v1v2 3 v1v2v3v4 2 v2 1 v2v1 4 v2v1v4v3 3 v3 4 v3v4 1 v3v4v1v2 4 v4 3 v4v3 2 v4v3v2v1 （）解：当 n=128=27时，至少需要 7 个单位时间才能完成计算（21）本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力满分 13分（）解：由OBC 三顶点坐标 O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c0），可求得 重心)3,31(cbG，外心)2,21(22cbcbF，垂心),(2cbbbH 当21b时，G，F，H 三点的横坐标均为21，故三点共线；当21b时，设 G，H

18、 所在直线的斜率为 kGH，F，G 所在直线的斜率为 kFG 因为 )21(33313222bcbbcbbcbbckGH，)21(332131232222bcbbcbcbcbckFG，所以 FGGHkk，G，F，H，三点共线 综上可得，G，F，H 三点共线 写在答题卡上每小题选出答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号面积公式台侧其分别表示上下底面周长表示斜高或母线长球体的体积公两点则的值是下列四个函数以为最小正周期且在区间上为减函数的是精精品好资料 欢迎下载（）解：若 FHOB，由0)21(3322bcbbckFH，得)21,0(0)(322bccbb 配方得 43)21(322cb，即1)

19、23()21()21(2222cb 即 )0,21(1)23()21()21(2222yxyx 所以，顶点 C 的轨迹是中心在)0,21(，长半轴长为23，短半轴长为21，且短轴在 x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），)23,21(，)23,21(，四点（22）本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力满分 13分（）解：f(0)=f（0 0）=0 f（0）0 f（0）=0 因为 f(1)=f（1 1）=1 f（1）1 f（1）所以 f(1)=0（）f（x）是奇函数 证明：因为 f（1）=f21）（=f（1）f（1）=0，所以 ，f（1）=0 f（x）=f（1 x

20、）=f（x）xf（1）=f（x），因此，f（x）为奇函数（）解法一：由 f（a2）=af（a）af（a）=2af（a），f（a3）=a2f（a）af（a2）=2a2f（a），猜测 f（an）=nan1f（a）下面用数学归纳法证明：1当 n=1 时，f（a1）=1 a0 f（a），公式成立；2假设当 n=k时，f（ak）=kak1f（a）成立，那么当 n=k1 时，f（ak1）=akf（a）af（ak）写在答题卡上每小题选出答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号面积公式台侧其分别表示上下底面周长表示斜高或母线长球体的体积公两点则的值是下列四个函数以为最小正周期且在区间上为减函数的是精精品好资料

21、 欢迎下载=akf（a）kakf（a）=（k1）akf（a），公式仍成立 由上两步可知，对任意 nN，f（an）=nan1f（a）成立 所以 )21()21()2(1fnfunnn 因为 f（2）=2，0)2(21)21(2)212()1(ffff，所以 21)2(41)21(ff，1)21()21(nnu（nN），因此 1)21(211)21(121nnnS（nN）解法二：当 ab0 时，aafbbfabbaf)()()(令xxfxf)()(，则 g（a b）=g（a）g（b），故 g（an）=ng（a），所以 f（an）=an g（an）=nang（a）=nan1f（a）所以 )21()21()2(1fnfunnn（以下同解法一）写在答题卡上每小题选出答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号面积公式台侧其分别表示上下底面周长表示斜高或母线长球体的体积公两点则的值是下列四个函数以为最小正周期且在区间上为减函数的是精