2023年一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题含超详细解析答案2.pdf

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1、 1 一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为 axb(a0)的形式.当 a0 时，解集为 ；当 a0 时，解集为 .2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为_不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_.(3)一元二次不等式的解：函数与不等式 0 0 0 二次函数 yax2bxc(a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1x2)有两相等实根

2、x1x2b2a 无实根 ax2bxc0(a0)的解集 R ax2bxc0(a0)的解集 x|x1xx2 3.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为 0，左边化为f（x）g（x）的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）0 f(x)g(x)0；f（x）g（x）0 f(x)g(x)0；f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0；f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0.(2014课标)已知集合 Ax|x22x30，Bx|2x2，则 AB()A.2，1 B.1，2)C.1，1 D.1，2)解：Ax|x3 或 x1，Bx|2x2

3、，ABx|2x12，1.故选 A.2 设 f(x)x2bx1 且 f(1)f(3)，则 f(x)0 的解集为()A.x|xR B.x|x1，xR C.x|x1 D.x|x1 解：f(1)1b12b，f(3)93b1103b，由 f(1)f(3)，得 2b103b，解出 b2，代入原函数，f(x)0 即 x22x10，x 的取值范围是 x1.故选 B.已知121x2，则 x 的取值范围是()A.2x0 或 0 x12 B.12x2 C.x2 D.x12 解：当 x0 时，x12；当 x0 时，x2.所以 x 的取值范围是 x12，故选 D.不等式12xx10 的解集是 .解：不等式12xx10

4、等价于(12x)(x1)0，也就是x12(x1)0，所以1x12.故填x|1x12，xR.(2014 武汉调研)若一元二次不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立，则 k的取值范围为_.解：显然 k0.若 k0，则只须(2x2x)max38k，解得 k；若 k0，则只须38k(2x2x)min，解得 k(3，0).故 k的取值范围是(3，0).故填(3，0).类型一 一元一次不等式的解法 已知关于 x 的不等式(ab)x2a3b0 的解集为，13，求关于 x 的不等式(a3b)xb2a0 的解集.解：由(ab)x3b2a 的解集为，13，得 ab0，且3b2aab13，从而 a2b，

5、则 ab3b0，即 b0，将 a2b 代入(a3b)xb2a0，得bx3b0，x3，故所求解集为(，3).点拨：3 一般地，一元一次不等式都可以化为 axb(a0)的形式.挖掘隐含条件 ab0 且3b2aab13是解本题的关键.解关于 x 的不等式：(m24)xm2.解：(1)当 m240 即 m2 或 m2 时，当 m2 时，原不等式的解集为，不符合 当 m2 时，原不等式的解集为 R,符合(2)当 m240 即 m2 或 m2 时，x1m2.(3)当 m240 即2m2 时，x1m2.类型二 一元二次不等式的解法 解下列不等式：(1)x27x120;(2)x22x30；(3)x22x10;

6、(4)x22x20.解：(1)x|x3 或 x4.(2)x|3x1.(3).(4)因为 0，可得原不等式的解集为 R.(2013金华十校联考)已知函数 f(x)x1，x0，x1，x0，则不等式 x(x1)f(x1)1 的解集是()A.x|1x 21 B.x|x1 C.x|x 21 D.x|21x 21 解：由题意得不等式 x(x1)f(x1)1 等价于 x10，x（x1）（x1）11 或 x10，x（x1）（x1）11，解不等式组得 x1；解不等式组得1x 21.故原不等式的解集是x|x 21.故选 C.类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系 已知关于 x 的不等式 x2bxc0 的解集

7、是x|5x1，求实数 b，c 的值.解：不等式 x2bxc0 的解集是x|5x1，x15，x21 是 x2bxc0 的两个实数根，由韦达定理知51b，51c，b4，c5.已知不等式 ax2bxc0 的解集为x|2x3，求不等式 cx2bxa0 的 4 解集.解：不等式 ax2bxc0 的解集为x|2x3，a0，且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的两根，由根与系数的关系得 ba23，ca23，a0.即b5a，c6a，a0.代入不等式 cx2bxa0，得 6ax25axa0(a0).即 6x25x10，所求不等式的解集为x|12x13.类型四 含有参数的一元二次不等式 解关于 x 的不等式：

8、mx2(m1)x10.解：(1)m0 时，不等式为(x1)0，得 x10，不等式的解集为x|x1；(2)当 m0 时，不等式为 mx1m(x1)0.当 m0，不等式为x1m(x1)0，1m1，不等式的解集为x|x1m或x1.当 m0，不等式为x1m(x1)0.()若1m1 即 m1 时，不等式的解集为x|1mx1；()若1m1 即 0m1 时，不等式的解集为x|1x1m；()若1m1 即 m1 时，不等式的解集为.点拨：当 x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对 m0 与 m0 进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定

9、性，对 m0 与 m0 进行讨论；第三层次：1m与 1 大小的不确定性，对 m1、m1 与 m1 进行讨论.解关于 x 的不等式 ax222xax(aR).解：不等式整理为 ax2(a2)x20，当 a0 时，解集为(，1.当 a0 时，ax2(a2)x20 的两根为1，2a，所以当 a0 时，5 解集为(，12a，；当2a0 时，解集为2a，1；当 a2 时，解集为x|x1；当 a2 时，解集为1，2a.类型五 分式不等式的解法 (1)解不等式x12x11.解：x12x11 x12x110 x22x10 x22x10.x22x10 （x2）（2x1）0，2x10.得xx12或 x2.(2)不

10、等式x2x23x20 的解集是 .解：x2x23x20 x2（x2）（x1）0(x2)(x2)(x1)0，数轴标根得x|2x1 或 x2，故填x|2x1 或 x2.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为 0(注意：一定要保证 x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根.(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画

11、线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“”号，写解集时要考虑分母不能为零.(1)若集合 Ax|12x13，Bx|x2x0，则 AB()A.x|1x0 B.x|0 x1 C.x|0 x2 D.x|0 x1 解：易知 Ax|1x1，B 集合就是不等式组x（x2）0，x0 的解集，求出 Bx|0 x2，所以 ABx|0 x1.故选 B.6(2)不等式x12x10 的解集为()A.12，1 B.12，1 C.，121，)D.，1

12、21，)解：x12x10（x1）（2x1）0，2x10 得12x 1.故选 A.类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题 (1)若不等式 x2ax10 对于一切 x0，12成立，则 a 的最小值为()A.0 B.2 C.52 D.3 解：不等式可化为 axx21，由于 x0，12，ax1x.f(x)x1x在0，12上是减函数，x1xmax52.a52.(2)已知对于任意的 a1，1，函数 f(x)x2(a4)x42a 的值总大于 0，则 x 的取值范围是()A.1x3 B.x1 或 x3 C.1x2 D.x1 或 x2 解：记 g(a)(x2)ax24x4，a1，1，依题意，只须g（1）0，g

13、（1）0 x23x20，x25x60 x1 或 x3，故选 B.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于 x 的二次不等式转换为关于 a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出 x 的取值范围.对于满足|a|2 的所有实数 a，求使不等式 x2ax12xa 成立的 x 的取值范围.解：原不等式转化为(x1)ax22x10，设 f(a)(x1)ax22x1，则 f(a)在2，2上恒大于 0，故有：f（2）0，f（2）0 即x24x30，x210 解得x3或x1，x1或x1.x1 或 x3.类型七 二次方程根的讨论 若方程 2ax2

14、x10 在(0，1)内有且仅有一解，则 a 的取值范围是()A.a1 7 C.1a1 D.0a1 解法一：令 f(x)2ax2x1，则 f(0)f(1)0，即1(2a2)0，解得 a1.解法二：当 a0 时，x1，不合题意，故排除 C，D；当 a2 时，方程可化为 4x2x10，而 1160，无实根，故 a2 不适合，排除 A.故选 B.1.不等式x2x10 的解集是()A.(，1)(1，2 B.1，2 C.(，1)2，)D.(1，2 解：x2x10()x1()x2 0，且 x1，即 x(1，2，故选 D.2.关于 x 的不等式(mx1)(x2)0，若此不等式的解集为x|1mx2，则 m 的取

15、值范围是()A.m0 B.0m2 C.m12 D.m0 解：由不等式的解集形式知 m0.故选 D.3.(2013安徽)已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为x|x12，则 f(10 x)0 的解集为()A.x|xlg2 B.x|1xlg2 D.x|xlg2 解：可设 f(x)a(x1)x12(a0 可得(10 x1)10 x120，从而 10 x12，解得 x0 在(1，4)内有解，则实数 a 的取值范围是()A.a4 C.a12 D.a0 对 x(1，2)恒成立，则实数 k的取值范围是_.解：x(1，2)，x10.则 x2kxk1(x1)(x1k)0，等价于 x1k0，即 kx1 恒成立，

16、由于 2x13，所以只要 k2 即可.故填(，2.7.(2014江苏)已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m 的取值范围是_.解：由题可得 f(x)0 对于 xm，m1恒成立，即f（m）2m210，f（m1）2m23m0，解得22m0.故填22，0.8.若关于 x 的不等式 x2axa3 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围.解：x2axa3 的解集不是空集x2axa30 的判别式 0，解得 a6或 a2.9.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)2x 的解集为(1，3).(1)若方程 f(x)6a0 有两个相等的实根，

17、求 f(x)的解析式；(2)若 f(x)的最大值为正数，求 a 的取值范围.解：(1)f(x)2x0 的解集为(1，3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且 a0.因而 f(x)a(x1)(x3)2x ax2(24a)x3a.由方程 f(x)6a0 得 ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的实根，所以 (24a)24a9 a0，即 5a24a10，解得 a1 或 a15.由于 a0，舍去 a1，将 a15代入得 f(x)的解析式 f(x)15x265x35.(2)由 f(x)ax22(12a)x3aax12aa2a24a1a，及 a0，可得 f(x)的最大值为a24a1a.由a24a1a0，a0，解得 a2 3或2 3a0.故当 f(x)的最大值为正数时，实数 a 的取值范围是(，2 3)(2 3，0).9 10.解关于 x 的不等式：a（x1）x21(a0).解：(x2)(a1)x2a0，当 a1 时有(x2)xa2a10，若a2a12，即 0a1 时，解集为x|2xa2a1；若a2a12，即 a0 时，解集为；若a2a12，即a0 时，解集为x|a2a1x2.