2023年一元二次方程根的分布情况全面汇总归纳全面汇总归纳.pdf

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1、一元二次方程02cbxax根的分布情况 设方程 200axbxca 的不等两根为12,x x且12xx，相应的二次函数为 20f xaxbxc ，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况 两个负根即两根都小于 0 120,0 xx 两个正根即两根都大于 0 120,0 xx 一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0120 xx 大致图象（0a）得出的结论 大致图象（0a）得出的结论 综合结论（不讨论a）表二：（两根与k的大小比较）分布情况 两根都小于k即 kxkx21,两根都大于k即 k

2、xkx21,一个根小于k，一个大于k即 21xkx 大致图象（0a）得出的结论 大致图象（0a）得出的结论 综合结论（不讨论a）kkk表三：（根在区间上的分布）分布情况 两根都在 nm,内 两根有且仅有一根在 nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在 nm,内，另一根在 qp,内，qpnm 大致图象（0a）得出的结论 大致图象（0a）得出的结论 综合结论（不讨论a）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 nm,外，即在区间两侧12,xm xn，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a 时，00f mf n；（2）0a 时，00f mf n 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（

3、1）两根有且仅有一根在 nm,内有以下特殊情况：1 若0f m 或 0f n，则此时 0f mf n g不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 nm,内，从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx 在区间1,3上有一根，因为 10f，所以 22212mxmxxmx ，另一根为2m，由213m得223m 即为所求；2 方程有且只有一根，且这个根在区间 nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程24260 xmxm 有且一根在区间 3,0内，求m

4、的取值范围。分析：由 300ffg即141530mm 得出15314m ；由0即2164 260mm 得出1m 或32m，当1m 时，根 23,0 x ，即1m 满足题意；当32m 时，根 33,0 x ，故32m 不满足题意；综上分析，得出15314m 或1m 函数与方程思想：若y=()f x与x轴有交点0 xf(0 x)=0 若y=f(x)与y=g(x)有交点(0 x，0y)()f x=()g x有解0 x。2|4260,|0,Ax xmxmBx xABm 例：已知集合若求实数 的取值范围。例已知函数 f（x）=mx2+（m3）x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数 m

5、 的取值范围 例、已知方程 221210mxmxm 有一正根和一负根，求实数m的取值范围。例、已知函数 222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实数m的取值范围。例、已知方程22340mxmx 只有一个正根且这个根小于 1，求实数m的取值范围。例.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围 例.若方程4(3)20 xxmm 有两个不相同的实根，求m的取值范围。例、已知函数421xxym 有且只有一个实数解，求m的取值范围。作业 92 3310 xxkk g1.已知方程有两个实数解，试求方程的取值范围。2.关于x的一元二次方程0222aaxx，当a为何实数时：（1）不同两根在3,1之间 （2）有一个根大于 2，另一个根小于 2 （3）在3,1内有且只有一解 3.已知a是实数，函数.322)(2axaxxf如果)(xfy 在区间 1,1上有实数根，求a的取值范围 4（1）已知二次函数 f（x）=ax2+bx+c，满足 f（0）=f（1）=0，且 f（x）的最小值是，求 f（x）的解析式；（2）设 f（x）=x22ax+2，当 x 1，+）时，f（x）a 恒成立，求实数 a 的取值范围