2023年数学知识概括.pdf

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1、精心整理 欢迎下载 二、导数与微分 导数的概念 在学习导数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿 x 轴运动时，其位置 x 是时间 t 的函数，求质点在 t0的瞬时速度？我们知道时间从 t0有增量t 时，质点的位置有增量，这就是质点在时间段t 的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为：.若质点是匀速运动的则这就是在 t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在 t0时的瞬时速度。我们认为当时间段t 无限地接近于 0 时，此 平 均 速 度 会 无 限 地 接 近 于 质 点t0时 的 瞬 时 速 度，即：质 点 在t0时 的 瞬 时 速

2、度=为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义：设函数在点 x0的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 x0处有增量x(x+x 也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若y 与x 之比当x0 时极限存在，则称这个极限值为在 x0处的导数。记为：还可记为：，函数在点 x0处存在导数简称函数在点 x0处可导，否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。注：导数也就是差商的极限 函数的微分 学习函数的微分之前，我们先来分析一个具体问题：一

3、块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由 x0变到了 x0+x，则此薄片的面积改变了多少？解答：设此薄片的边长为 x，面积为 A，则 A是 x 的函数：薄片受温度变化的影响面积的改变 量，可 以 看 成 是 当 自 变 量 x从 x0取 的 增 量 x时，函 数 A 相 应 的 增 量 A，即：。从上式我们可以看出，A分成两部分，第一部分精心整理 欢迎下载 是x 的线性函数，即下图中红色部分；第二部分即图中的黑色部分，当x0 时，它是x 的高阶无穷小，表示为：由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代替。下面我们给出微分的数学定义：函数微分的定义：设函数在

4、某区间内有定义，x0及 x0+x 在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于x的常数，是x 的高阶无穷小，则称函数在点 x0可微的。叫做函数在点 x0相应于自变量增量x 的微分，记作 dy，即：=。以数零为极限的变量。确切地说，当自变量 x 无限接近 x0(或 x 的绝对值无限增大)时，函数值 f(x)与零无限接近，即 f(x)0，则称 f(x)为当 xx0(或 x)时的无穷小量。例如，f(x)(x 1)2 是当 x1时的无穷小量，f(n)是当 n时的无穷小量，f(x)sinx 是当 x0 时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。设 f(x)，g(x)均为 x

5、x0(或 x)时的无穷小量，且 f(x)/g(x)0，则称f(x)是 g(x)的高阶无穷小量，记作 f(x)=o(g(x)。通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量x 的线性函数，dy 与y 的差是关于x的高阶无穷小量，我们把 dy 称作y 的线性主部。于是我们又得出：当x0 时，ydy.导数的记号为：，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把x 看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。微分的应用 微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分

6、则比较简单，为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.四、不定积分 不定积分的概念 原函数的概念 已知函数 f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数 F(x)，使得在该区间内的任一点都有 有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数 F(x)为函数 f(x)的原函数。例：sinx 是 cosx 的原函数。关于原函数的问题 函数 f(x)满足什么条件是，

7、才保证其原函数一定存在呢？这个问题我们以后来解决。若其存在原函数，那末原函数一共有多少个呢？我们可以明显的看出来：若函数 F(x)为函数 f(x)的原函数，即：F(x)=f(x)，则函数族 F(x)+C(C 为任一个常数）中的任一个函数一定是 f(x)的原函数，故：若函数 f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个.不定积分的概念 函数 f(x)的全体原函数叫做函数 f(x)的不定积分，记作。由上面的定义我们可以知道：如果函数F(x)为函数 f(x)的一个原函数，那末 f(x)的不定积分就是函数族 F(x)+C.即:=F(x)+C 例题：求：.解答：由于，故=不定积分的性质 1、函数的和的不定积

8、分等于各个函数的不定积分的和；即：2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即：五、定积分及其应用 定积分的概念 我们先来看一个实际问题求曲边梯形的面积。有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 设曲边梯形是有连续曲线 y=f(x)、x 轴与直线 x=a、x=b 所围成。如下图所示：现在计算它的面积 A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？我们知道曲边梯形在底边上各点处的高 f(x

9、)在区间a,b 上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间a,b 分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。显然：把区间a,b 分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。定积分的概念 设函数 f(x)在a,b 上有界，在a,b 中任意插入若干个分点 a=x0 x1.xn-1xn=b 把区间a,b 分成 n 个小区间 x0，x1，.x

10、n-1,xn,在每个小区间xi-1,xi 上任取一点 i(xi-1ixi),作函数值 f(i)与小区间长度的乘积f(i)xi，并作出和，如果不论对a,b 怎样分法，也不论在小区间上的点 i 怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和 S总趋于确定的极限 I，这时我们称这个极限 I 为函数 f(x)在区间a,b 上的定积分，记作。即：关于定积分的问题 我们有了定积分的概念了，那么函数 f(x)满足什么条件时才可积？定理（1）：设 f(x)在区间a,b 上连续，则 f(x)在区间a,b 上可积。（2）：设 f(x)在区间a,b 上有界，且只有有限个间断点，则 f(x)在区间a,b 上可积。定积分的性质

11、 性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和(差）.即：性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面.即：性质(3)：如果在区间a,b 上，f(x)g(x)，则 （ab)性质(4)：设 M及 m分别是函数 f(x)在区间a,b 上的最大值及最小值，则 m(b-a)M(b-a)有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 性质(5)：如果 f(x)在区间a,b 上连续，则在积分区间a,b 上至少存在一点，使下式成立：=f(

12、)(b-a)注：此性质就是定积分中值定理。微积分积分公式 积分上限的函数及其导数 设函数 f(x)在区间a,b 上连续，并且设 x 为a,b 上的一点.现在我们来考察 f(x)在部分区间a,x上的定积分,我们知道 f(x)在a,x上仍旧连续，因此此定积分存在。如果上限 x 在区间a,b 上任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在a,b上定义了一个函数，记作(x):注意：为了明确起见，我们改换了积分变量（定积分与积分变量的记法无关）定理(1)：如果函数 f(x)在区间a,b 上连续，则积分上限的函数在a,b 上具有导数，并且它的导数是 （axb)(2)：如果函数 f(x

13、)在区间a,b 上连续，则函数就是 f(x)在a,b 上的一个原函数。注意：定理（2）即肯定了连续函数的原函数是存在的，又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。牛顿-莱布尼兹公式 定理(3)：如果函数 F(x)是连续函数 f(x)在区间a,b 上的一个原函数，则 注意：此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式，它进一步揭示了定积分与原函数(不定积分）之间的联系。它表明：一个连续函数在区间a,b 上的定积分等于它的任一个原函数再去减a,b 上的增量。因此它就 给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。例题：求 解答：我们由牛顿-莱布尼兹公式得：注意：通常也把牛顿-莱布尼兹公式称作微积分基本公式。有增

14、量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整

15、理 欢迎下载 x 的增量相当于随机变量的体积 有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点

16、处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 期望可以理解为加权平均值。一般在统计中，你希望知道整体的期望,所以就用样本的算术平均值（全体样本，其实就等于加权平均值，因为样本中相同的观有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整

17、理 欢迎下载 测值都参加计算相当于相同的值取一个加权）来估计期望。例如你想知道你打靶的水平是怎么样的,你就打 10 靶作为样本,它的平均值是你打靶水准的估计值.样本的平均值是期望的无偏估计。有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 f(x)为概率密度，f(x)dx 为概率（质量）概率是一个抽象的，理论的，就是说一件事产生多次，某情况应该发生几次。频率是一个具体的，实际的，就是说一件事产生多次，其中某情况发生了几次。注意一个是应该发生

18、几次，一个是发生了几次。有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数精心整理 欢迎下载 有增量这就是质点在时间段的位移因此在此段时间内质点的平均速度为近于质点时的瞬时速度即质点在时的瞬时速度为此就产生了导数的定义为还可记为函数在点处存在导数简称函数在点处可导否则不可导若函数