2023年数学中考专题复习圆中的计算问题.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 数学中考专题复习圆中的计算问题【教学内容与目的要求】第 23 章 圆 圆中的计算问题 教学目的：1、理解圆周长与弧长有密切的联系。理解弧长计算公式，会计算圆的周长与弧长。能运用周长与弧长的知识解决一些实际问题，提高分析问题与解决问题的能力。2、会计算圆的面积、扇形的面积及简单组合图形的面积。学会分解与组合图形，3、了解圆锥的形成和圆锥的概念。了解圆锥的侧面展开图是扇形，会计算圆锥的侧面积和表面积。4、会把实际问题抽象成数学问题。学会分解与组合图形，培养空间想象力，掌握转化的数学思想方法。养成先分析后解题的习惯，既会合理思考，又会综合写出推理计算过程。【知识重点与学习难点】重

2、点：1、理解弧长公式和应用弧长公式.要理解圆心角是 1的弧长等于圆周长的3601,这是建立弧长公式的关键，对于公式中的 180、n 表示的是倍、分关系，没有单位，还要掌握公式的逆用，培养逆向思维能力。2、会计算扇形的面积。对于扇形面积的计算公式，要理解它的二种形式以及它的不同用法，并会逆用公式。要理解圆心角是 1的扇形面积等于圆面积的3601,圆心角是 n的扇形面积等于圆面积的360n.公式中的 n 与弧长公式中的 n 一样，理解为 1的倍数,不带单位。3、圆锥的侧面展开图、圆锥的侧面积计算，难点 1、对于弧形部分，要分清各弧的圆心，半径，避免拿起题来就盲目地进行计算。2、圆锥的侧面展开图扇形

3、的圆心角的计算。通过实例观察圆锥的侧面展开图是扇形，有关圆锥高、母线以及底面半径的计算，关键是搞清高、母线以及底面半径和轴剖面图形之间的关系。会将侧面积的问题转化为平面的扇形来解决。【方法指导与教材延伸】1、在学习弧长公式时，要理解：360的圆心角所对的弧长是圆周长 C2R,1的圆心角的弧长就是圆周长的3601即3602 R，故圆心角为 n的弧长等于3602 Rn，即180Rnl。强调这里的 n 表示 1的圆心角的倍数，是不带单位的。2、在学习扇形面积公式时要理解：圆心角是 360的扇形面积就是圆面积 S=R2，圆心角是 1的扇形面积等于圆面积的3601，即3602R，故圆心角为 n的扇形面积

4、为2360RnS扇形。学习必备 欢迎下载 3、对于扇形面积公式lRS21扇形的记忆，我们可考虑将它与三角形的面积公式类比，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R 看作高就行了。以上各情况，只要根据题意即可判明属何种情况，不必作为公式记住。4、在计算组合图形的面积时，要注意应用割、补的方法将复杂图形转化为三角形、正方形、圆、扇形等面积的和或差，还需经常作等积变形。5、圆锥的轴截面是等腰三角形，它的腰长等于圆锥的母线长，底边是圆锥底面直径，底边上的高，就是圆锥的高，它的顶角，反映了圆锥母线对于底面的倾斜程度，称为锥角，因此，圆柱、圆锥的轴截面是解题的突破口。6、圆锥是空间图形，由于在此之

5、前均是研究平面图形，学生的空间想象能力较弱，而这部分内容在高中立几中还需学，故应利用模型理解各部分概念。【例题选讲】例 1 如图，两根圆柱形钢件的横截面，它们的半径分别是 3dm 和 1dm，现用一根绳子将它们捆紧，问至少需要多长的绳子？（不计接头捆扎部分）。（精确到 0.1dm）分析：如图，这根绳子需从点 A 逆时针绕过O1，再过O2回到点 A，所以绳子的长为AB+BmC+CD+AD，其中 AB=CD，是两圆的公切线。解：作过切点的半径 O2A、O1B、O1C、O2D，过点 O2作 O2EO1B 于 E O1O2=3+1=4(dm)O1E=3-1=2(dm)(322422212212dmEO

6、OOEO AB 是O1、O2的外公切线 O1BAB，O2AAB 又O2EBO1 O2EBA 是矩形 AB=O2E=)(32dm 2142cos21121OOEOOBO BO1O2=60 lBmC41803240 lAD321801120 绳子总长为 AB+O2E+lBmC+lAD CBmE01D02A分析问题与解决问题的能力会计算圆的面积扇形的面积及简单组合图形组合图形培养空间想象力掌握转化的数学思想方法养成先分析后解题的关键对于公式中的表示的是倍分关系有单位还要掌握公式的逆用培养逆学习必备 欢迎下载 )(6.21314343243232dm 例 2 如图，O 的弧 AB 长 4cm，圆心角A

7、OB=60，P 分别与 AB、半径 OA、半径 OB 相切于点 E、C、D，求P 的周长；分析：求P 的周长，只要求出它的半径 r，由于P 分别与 AB、OA、OB 相切，则延长 OP 交 AB于 E，作过切点的半径 PC、PD 可得：r=EP=OE-OP，其中 OE 的长可通过 AB 长为 4cm 求出，OP 可放在 RtPCO 中求出。解：P 与 AB 切于点 E，即P 内切O 于 E，则 O、P、E 三点共线，连结 OP 交 AB 于 E，设O 半径为 R，P 半径为 r，连结 PC、PD，则 PCOA，PD OB 点 P 在AOB 的平分线上 ooAOBPOC30602121 PCOA

8、 在 RtPCO 中，OP=2PC=2r 又OP=OE-PE=R-r 2r=R-r Rr31 lAB=18060180RRn 180604R R=12(cm)(431cmRr P 的周长 C=2r=8(cm)例 3 如图，若四边形 ABCD 内接于O，且 BCD:BAD=5:4，则 BAD 所对的圆心角为多少度？分析：要计算 BAD 所对的圆心角的度数，即求BOD 的度数，即求 BAD 的度数。解：ABCD 内接于O BCD+BAD=圆周长 设 BCD=(5x)O，则 BAD=(4x)O 9x=360 x=40 BADm160 EABDCOPADOCB分析问题与解决问题的能力会计算圆的面积扇形

9、的面积及简单组合图形组合图形培养空间想象力掌握转化的数学思想方法养成先分析后解题的关键对于公式中的表示的是倍分关系有单位还要掌握公式的逆用培养逆学习必备 欢迎下载 BOD=160 例 4 如图，半圆的半径为 2cm，点 C、D 三等分半圆，求阴影部分面积 分析：阴影部分面积可看成弓形 CD 的面积与CDB 的面积之和，而 C、D 三等分半圆，故COA=COB=DOB=60，且COD 是等边三角形，所以DCO=COA=60，所以 CD/AD，则CDB 的面积等于COD 的面积，所以阴影部分的面积为扇形 COD 的面积。解：连结 CD C、D 三等分半圆 AOC=COD=DOB=60 OC=OD

10、OCD 为等边三角形 DCO=60 COA=OCD CD/AD SCOD=SCBD S阴=S扇OCD=)(3236026022cm 例 5 如图，扇形 AOB 的圆心角为 90，半径为 R，C 为 AB 中点，D 为 OA 中点，求阴影部分的面积。分析：阴影部分面积可看成扇形 OAC 的面积与COD 的面积之差。解：连结 OC，过 C 作 CHOA 于 H C 是 AB 中点 AC=BC COA=21AOB=45 S扇形OAC=228136045RR 又CHOA 在 RtCHO 中，COH=45 CH=RCO2222 D 为 OA 中点，OD=R21 28222212121RRRCHODSCO

11、D ACDBOOCHDAB分析问题与解决问题的能力会计算圆的面积扇形的面积及简单组合图形组合图形培养空间想象力掌握转化的数学思想方法养成先分析后解题的关键对于公式中的表示的是倍分关系有单位还要掌握公式的逆用培养逆学习必备 欢迎下载 22282 828 RRRSSSCODOAC扇形阴 例 6 求下列各图中阴影部分的面积 (1)OA=OB=R，AOB=90，O 为 OB 中点(2)OA=OB=R，AOB=90，C 为 AB 中点(3)AD 为正三角形 ABC 的高，AD=4，AD 是O 的直径 解：(1)S阴=S扇AOB-S半圆O 2228122141RRR (2)S阴=S半圆C-S弓形AB =S

12、半圆C-（S扇形OAB-SOAB）22222121412221RRRR (3)连结 OE、OF，过 E 作 EHAD 于 H AD 是正确的 ABC 的高 OAE=30 OA=OE AOE=180-2 30=120 EHAD，AOE=120 OEH=120-90=30 EH=322323OE S弓形AE=S扇形OAE-SAOE(1)ORAOB(3)AO(2)CBBEDHOCFA分析问题与解决问题的能力会计算圆的面积扇形的面积及简单组合图形组合图形培养空间想象力掌握转化的数学思想方法养成先分析后解题的关键对于公式中的表示的是倍分关系有单位还要掌握公式的逆用培养逆学习必备 欢迎下载 SABm 33

13、4322143213601202EHOAOA S阴=SO-2S 弓形AE 323433424 例 7 圆锥形的烟囱帽的底面直径是 60cm，母线长为 40cm (1)求这个烟囱帽的下料面积（指侧面面积）以及侧面展开图的圆心角的度数 (2)画出它的展开图 解：(1)圆锥底面周长为)(602602cm 侧面面积 S侧=)(12004060212cm 设展形图扇形的圆心角为 n，则 1804060n n=270 答：这个烟囱帽的下料面积为 1200cm2，侧面展形图的圆心角为 270 (2)由(1)得 n=270，选取比例尺 1:20，画扇形如下图所示，其中 AmBm270，SA=40cm 例 8

14、如图，一个圆锥的高为35，侧面展形图是一个圆心角为 60的扇形，求圆锥的表面积。分析：若设圆锥底面半径为 r，母线长为l，则 S表=r2+rl，因此，要求出圆锥表面积关键是求 r、l，通过180602222lrhrl这个方程组即可解 r、l 解：设圆锥底面半径为 r，母线长为l，则在 RtAOC 中，l2-r2=h2=35 对于侧面展开圆有lr180602 rlrl63522解之得 r=1 l=6 S表=S侧+S底 ABCOh60分析问题与解决问题的能力会计算圆的面积扇形的面积及简单组合图形组合图形培养空间想象力掌握转化的数学思想方法养成先分析后解题的关键对于公式中的表示的是倍分关系有单位还要

15、掌握公式的逆用培养逆学习必备 欢迎下载 BACOOABIM =rl+r2 =6+=7 巩固练习 一、填空：1、若圆的半径为 10cm，所对的圆心角为 2230的弧长为_cm 2、半径为 10cm 的圆上，一条含 30弧的弧长为_，由该弧及半径所围成的扇形面积为_ 3、圆内接正方形的边所切下的一个弓形面积等于 2(-2)cm2，则正方形的边长为_ 4、当扇形的圆心角=_时，这个扇形的面积等于它所在圆面积的 15%。5、若扇形 OAmB 的圆心角为 240，面积为 12，则弓形 AmB 的面积为_ 6、若圆的面积扩大 4 倍，则圆心角的的弧长扩大_倍 7、如图，OAOB，AC/OB，OA=2，弧

16、AB 是以 O 为圆心，OA 为半径的弧，BC 是以 A 为圆心，AB 为半径的弧，则阴影部分的周长为_ 8、3cm 长的一条弦所对的圆周角是 135，则圆的半径长为_ 二、选择题：9、在圆的内接四边形 ABCD 中，AB:BC:CD:DA=4:3:5:6，则下列结论正确的是（）A、A 最大 B、B 最大 C、C 最大 D、D 最大 10、如图，设大的半圆的弧长为l1，n 个小的半圆圆心在大半圆的直径上，且相互外切，其直径之和等于大半圆的直径，若 n 个小半圆的总弧长为l2，则l1与l2之间的关系是（）A、l1=nl2 B、l1=l2 C、l1=l2 D、l1=21ln 11、周长相等的正三角

17、形、正方形、正六边形它们外接圆的周长分别为 C3、C4、C6，则有（）A、C3C4C6 B、C6C4C3 C、C3C6C4 D、C4C6C3 12、如图，两个同心圆半径之比为 1:2，小圆的切线被大圆所截的部分的长为 12，则两圆所围成的环形面积是（）A、9 B、18 C、24 D、36 13、若扇形的周长是 30cm，面积是 56cm2，则它的半径是（）A、7cm B、8cm C、7cm 或 8cm D、15cm 14、若 Rt的一条直角边等于它的外接圆半径的2倍，则此三角形面积与其外接圆面积比为（）A、:2 B、2:C、2:D、1:15、O1的直径为 d，O2的直径比O1的直径多 3d，则

18、这两个圆的面积差是（）A、227d B、24 d C、229d D、2415d OAB分析问题与解决问题的能力会计算圆的面积扇形的面积及简单组合图形组合图形培养空间想象力掌握转化的数学思想方法养成先分析后解题的关键对于公式中的表示的是倍分关系有单位还要掌握公式的逆用培养逆学习必备 欢迎下载 AOCBDFE16、面积等于两个半径分别为 r1、r2的圆的面积之和的大圆的半径为（）A、r1+r2 B、r12+r22 C、221)(rr D、2221rr 三、解答题：17、如图，AB 是O 的直径，CDAB 于 C，E 在 CD 上，E 与 AB 切于 C，与O 切于 F，若 AB=6，CD=6，求：

19、(1)OC 的长 (2)E 的半径的长(3)阴影部分的面积 18、如图，AOB 是直角扇形，I 内切于扇形 AOB 中，M 为I 与 OB 的切点，求AMB 的度数。19、已知：ABC 中，C=Rt，AC=40cm，BC=30cm，以直线 AB 为轴旋转一周得到一几何体，求这个几何体的表面体。参考答案 一、1、45（注意：要将 2230化为 22.5）2、325 ,35 3、4cm 分析问题与解决问题的能力会计算圆的面积扇形的面积及简单组合图形组合图形培养空间想象力掌握转化的数学思想方法养成先分析后解题的关键对于公式中的表示的是倍分关系有单位还要掌握公式的逆用培养逆学习必备 欢迎下载 4、54

20、（即圆心角是 36015%）5、12239 6、2 7、)221(22 8、223 二、9、B 10、C 11、A 12、D（用：2222ABrR）13、C 14、D 15、D 16、D 三、17、（连结 OF，则 OF 必过点 E，由 CD2=ACBC，可求出33 AC，则3ACOAOC；在RtECO 中，设CE=r，OE=OF-r=3-r，OC=3，用勾股定理可得r=1；S阴=S扇AOF-S扇CEF-SCEO=23125）18、设O，I 半径分别为 R、r，则在 RtOMI 中(R-r)2=2r2，则 tgOAM=12 Rr 查表得：OAM=22.5 AMB=112.5 19、1680cm2 （提示：旋转结果得一以cm24501200为底面半径，分别以 32cm、18cm 为高的两个锥体的叠加）分析问题与解决问题的能力会计算圆的面积扇形的面积及简单组合图形组合图形培养空间想象力掌握转化的数学思想方法养成先分析后解题的关键对于公式中的表示的是倍分关系有单位还要掌握公式的逆用培养逆