2023年数列通项公式求法大全配练习及超详细解析答案1.pdf

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1、优秀教案 欢迎下载 数列通项公式的十种求法 一、公式法 *11(1)()naanddnad nN 1*11()nnnaaa qqnNq 二、累加法 )(1nfaann 例 1 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。2nan 例 2 已知数列na满足112 313nnnaaa ，求数列na的通项公式。（31.nnan ）三、累乘法 nnanfa)(1 例 3 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。（(1)123 25!.n nnnan）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211

2、221nnnnaaaaaaaaa ，即得数列na的通项公式。例 4 已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan ，求na的通项公式。（!.2nna）优秀教案 欢迎下载 评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnanan转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaa ，从而可得当2nna 时，的表达式，最后再求出数列na的通项公式。四、待定系数法 qpaann 1 nfpaann 1 nnnqapaa12（其中 p，q 均为常数）。例 5 已 知 数 列na满 足1123 56nnnaaa，求 数 列na的 通 项 公 式。（125nnn

3、a）评注：本题解题的关键是把递推关系式123 5nnnaa 转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列5 nna 是等比数列，进而求出数列5 nna 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。例 6 已知数列na满足1135 241nnnaaa，求数列na的通项公式。（113 35 22nnna ）评 注：本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式135 24nnnaa 转 化 为115 223(5 22)nnnnaa ，从而可知数列5 22nna 是等比数列，进而求出数列5 22nna 的通项公式，最后再求数列na的通项公式。例 7 已知数列na满足21123451nnaan

4、na，求数列na的通项公式。（42231018nnann）评注：本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann，从而可知数列得数列的通项公式例已知数列满足求的通项公式优秀教案欢迎下载评注式评注本题解题的关键是把递推关系式转化为从而可知数列是等比数列而求出数列的通项公式最后再求数列的通项公式例已知数列满足求数列优秀教案 欢迎下载 231018nann是等比数列，进而求出数列231018nann的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。五、递推公式为nS与na的关系式(或()nnSf a)解法：这种类型一般利用)2()1(11

5、nSSnSannn 例 8 已知数列na前 n 项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公 式na.六 例 9 已知数列na满足1132 313nnnaaa ，求数列na的通项公式。解：132 31nnnaa 两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan 因此11(13)2(1)21131331

6、3322 3nnnnnann ，则21133.322nnnan 评注：本题解题的关键是把递推关系式132 31nnnaa 转化为111213333nnnnnaa，进而求出112232111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa，即得数列3nna 的通项公式，最后再求数列na的通项公式。得数列的通项公式例已知数列满足求的通项公式优秀教案欢迎下载评注式评注本题解题的关键是把递推关系式转化为从而可知数列是等比数列而求出数列的通项公式最后再求数列的通项公式例已知数列满足求数列优秀教案 欢迎下载 七、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）例 10 已知

7、数列na满足512 3nnnaa ，17a，求数列na的通项公式。解：因为5112 37nnnaaa ，所以100nnaa，。在512 3nnnaa 式两边取常用对数得1lg5lglg3lg 2nnaan 设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny 11 将式代入11 式，得5 lglg 3lg 2(1)5(lgnnanx nyaxny ，两边消去5 lgna并整理，得(lg3)lg 255x nxyxny ，则 lg35lg 25xxxyy ，故lg34lg3lg 2164xy 代入11 式，得1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan 1

8、2 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg1lg 71041644164a 及12 式，得lg3lg3lg 2lg04164nan，则1lg3lg3lg 2lg(1)41645lg3lg3lg 2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg 2lg4164nan是以lg3lg3lg 2lg 74164为首项，以 5 为公比的等比数列，则1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(lg 7)541644164nnan，因此得数列的通项公式例已知数列满足求的通项公式优秀教案欢迎下载评注式评注本题解题的关键是把递推关系式转化为从而可知数列是等比数列而求出数列的通项公式最后再求数列

9、的通项公式例已知数列满足求数列优秀教案 欢迎下载 1111111116164444111111161644441111111616444455514lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(lg 7)54164464(lg 7lg3lg3lg 2)5lg3lg3lg 2lg(7 332)5lg(332)lg(7 332)5lg(332)lg(733nnnnnnnnnnnnan 1115116454151511642)lg(732)nnnnn 则11541515164732nnnnna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式512 3nnnaa 转化为1lg3lg3lg 2lg3lg

10、3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg3lg3lg 2lg4164nan是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg 2lg4164nan的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。八、迭代法 例 11 已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以121323(1)23212nnnnnnnnnaaa 2(2)(1)32(2)(1)3(3)(2)(1)11 2(3)(2)(1)(1)123(1)223(2)23(1)233(2)(1)2332 3(2)(1)213!21nnnnnnnnnnnnn nn

11、nnnnnnnnnnnnnnnaaaaa 又15a，所以数列na的通项公式为(1)123!25n nnnna。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21nnnnaa得数列的通项公式例已知数列满足求的通项公式优秀教案欢迎下载评注式评注本题解题的关键是把递推关系式转化为从而可知数列是等比数列而求出数列的通项公式最后再求数列的通项公式例已知数列满足求数列优秀教案 欢迎下载 两边取常用对数得1lg3(1)2lgnnnana ，即1lg3(1)2lgnnnana，再由累乘法可推知(1)123!213211221lglglglglglglg5lglglglgn nnn

12、nnnnnaaaaaaaaaa，从而1(1)3!225nn nnna。九、数学归纳法 例 12 已知数列na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21)(23)nnnaann及189a，得 2122322243228(1 1)88 224(2 1 1)(2 1 3)99 25258(21)248 348(22 1)(223)252549498(31)488 480(23 1)(233)4949 8181aaaaaa 由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n 时，212(2 1 1)18(

13、2 1 1)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk 时，1228(1)(21)(23)kkkaakk 得数列的通项公式例已知数列满足求的通项公式优秀教案欢迎下载评注式评注本题解题的关键是把递推关系式转化为从而可知数列是等比数列而求出数列的通项公式最后再求数列的通项公式例已知数列满足求数列优秀教案 欢迎下载 222222222222222222222(21)18(1)(21)(21)(23)(21)1(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)(21)(23)(23)1(23)2(1

14、)112(1)1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 2 由此可知，当1nk 时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法 例 13 已知数列na满足111(14124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令1 24nnba，则21(1)24nnab 故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nnnaaa得 221111(1)14(1)241624nnnbbb 即2214(3)nnbb 因为1240nnba，故

15、111240nnba 则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，得数列的通项公式例已知数列满足求的通项公式优秀教案欢迎下载评注式评注本题解题的关键是把递推关系式转化为从而可知数列是等比数列而求出数列的通项公式最后再求数列的通项公式例已知数列满足求数列优秀教案 欢迎下载 所以3nb 是以1131 2431 24 132ba 为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22nnnb，则21()32nnb，即21124()32nna，得 2 111()()3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将124na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb 为等比数列，进而求出数列3nb 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。得数列的通项公式例已知数列满足求的通项公式优秀教案欢迎下载评注式评注本题解题的关键是把递推关系式转化为从而可知数列是等比数列而求出数列的通项公式最后再求数列的通项公式例已知数列满足求数列