2023年整式的乘除与因式分解知识点总结归纳及题型汇编.pdf

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1、学习必备 精品知识点 整式的乘除与因式分解知识点及题型汇编 同底数幂的乘法【知识盘点】若 m、n 均为正整数，则 am an=_，即同底数幂相乘，底数_，指数_ 【应用拓展】1计算：（1）64（6）5 （2）a4（a）4 （3）x5x3（x）4 （4）（xy）5（xy）6（xy）7 2计算：（1）（b）2（b）3+b（b）4 （2）aa6+a2a5+a3a4 （3）x3mnx2m3nxnm （4）（2）（2）2（2）3（2）100 7已知 ax=2，ay=3，求 ax+y的值 8已知 42a2a+1=29，且 2a+b=8，求 ab的值 积的乘方【知识盘点】积的乘方法则用字母表示就是：当 n

2、为正整数时，（ab）n=_ 【应用拓展】1计算：（1）（2103）3 （2）（x2）nxm n （3）a2（a）2（2a2）3 （4）（2a4）3+a6a6 （5）（2xy2）2（3xy2）2 2先完成以下填空：（1）2656=（）6=10()（2）4102510=（）10=10()你能借鉴以上方法计算下列各题吗？（3）（8）100.12510 （4）0.25200742006（5）（9）5（23）5（13）5 3已知 xn=2，yn=3，求（x2y）2n的值 4一个立方体棱长为 2103厘米，求它的表面积（结果用科学记数法表示）【综合提高】10观察下列等式：13=12；13+23=32；13

3、+23+33=62；13+23+33+43=102；（1）请你写出第 5 个式子：_ （2）请你写出第 10 个式子：_ （3）你能用字母表示所发现的规律吗？试一试!幂的乘方【知识盘点】若 m、n 均为正整数，则（am）n=_，即幂的乘方，底数_，指数_ 【应用拓展】1计算：（1）（y2a+1）2 （2）（5）3 4（54）3 （3）（ab）（ab）2 5 2计算：（1）（a2）5aa11 （2）（x6）2+x10 x2+2（x）3 4 8用幂的形式表示结果：（1）（23）2=_；（22）3=_；（2）（35）7=_；（37）5=_；（3）（53）4=_；（54）3=_ 你发现了什么规律？用式

4、子表示出来 同底数幂的除法 知识点：1.同底数幂相除，底数不变，指数相减：底数 a 可以是一个具体的数，也可以是单项式或多项式。强调 a0 的必要性 2、a0=1(a 0)练习：一、填空题 1.计算：26aa=，25)()(aa=.2.在横线上填入适当的代数式：146_xx，26_xx.3.计算：559xxx=，)(355xxx=4.计算：89)1()1(aa=.5.计算：23)()(mnnm_ 二、解答题 1.计算：1、24)()(xyxy；2、2252)()(abab；3、24)32()32(yxyx；4、347)34()34()34(.2.计算：1、3459)(aaa；2、347)()(

5、)(aaa；3、533248；4、233234)()()()(xxxx.3.地球上的所有植物每年能提供人类大约16106.6大卡的能量，若每人每年要消耗5108大卡的植物能量，试问地球能养活多少人？4.观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，则 89的个位数字是（）A.2；B4；C8；D6.5.如果8mx，5nx，则nmx=.6.解方程：（1）15822 x；（2）5)7(7x.7.已知3,9mnaa,求32mna的值.8.已知235,310mn,求(1)9m n；(2)29m n.零指数幂与负整数指数幂 知识点：1、零指数幂

6、 任何不等于零的数的零次幂都等于 1.零的零次幂没有意义！”50=1，100=1，a0=1（a0）:2.负整数指数幂 任何不等于零的数的n（n 为正整数）次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数.例题（1）3-2 （2）101031 计算：（1）（-0.1）0；（2）020031；（3）2-2；（4）221.知识点：科学记数法 科学计数法：把一个数记作 a10n形式（其中 1 a 10，n 为正整数。）将一个数用科学计数法表示的时候，10 的指数比原数的整数位数少 1，例如原数有 6 位，则 10 的指数为 5。确定 a 值的时候，一定要注意 a 的范围 1 a 10。将一个用科学计数法表示的数写出

7、原数的时候，10n=1000（共有 n 个 0）即 a10n=a 1000（共有 n 个 0）1、3.65 10175是 位数，0.12 1010是 位数；2、把 3900000 用科学记数法表示为 ，把 1020000 用科学记数法表示为 ；3、用科学记数法记出的数 5.16 104的原数是 ，2.236 108的原数是 ；4、比较大小：3.01 104 9.5103；3.01 104 3.10104；5、地球的赤道半径是 6371 千米，用科学记数法记为 千米 22、已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，12x，2y，求22007)(ycdxba 的值.（4 分）23、已知 a、b

8、互为相反数，c、d 互为倒数，m的绝对值为 2，求)21()()(21mmcdbaba的值.（4 分）24、若2010a，1510b求ba239 的值.（4 分）单项式的乘法 0mnm naaam nmn a、是正整数，且，学习必备 精品知识点 知识点一、单项式与单项式相乘 单项式相乘，把它们的系数相乘，字母部分的同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。基础巩固 1.(2a4b2)(3a)2的结果是()A.18a6b2 B.18a6b2 C.6a5b2 D.6a5b2 2.若(am+1bn+2)(a2n1b2m)=a5b3,则m+n等于()A.1 B.2

9、 C.3 D.3 3.式子()(3a2b)=12a5b2c成立时，括号内应填上()A.4a3bc B.36a3bc C.4a3bc D.36a3bc 4.下面的计算正确的是()Aa2a4a8 B(2a2)36a6 C(an1)2a2n1 Danaan1a2n 5.3x3y2x2y2 am 1 a2m 6.3x3y(5x3y2)=_ (32a2b3c)(49ab)=_ 5108(3 102)=_ 3xy(2x)3(41y2)2=_ ym13y2m1=_ 4m(m2+3n+1)=_;(23y22y5)(2y)=_ 5x3(x2+2x1)=_;7.计算：(1)(2xy2)(31xy);(2)(2a2

10、b3)(3a);(3)(4 105)(5 104);(4)(3a2b3)2(a3b2)5;(5)(32a2bc3)(43c5)(31ab2c)8.计算：(1)2ab(5ab2+3a2b)(2)(32ab22ab)21ab (3)6x(x3y)(4)2a2(21ab+b2).能力拓展 9.2x2y(213xy+y3)的计算结果是()A.2x2y46x3y2+x2y B.x2y+2x2y4 C.2x2y4+x2y6x3y2 D.6x3y2+2x2y4 10下列计算中正确的是()A.3b22b3=6b6 B.(2104)(6102)=1.2 106 C.5x2y(2xy2)2=20 x4y5 D.(

11、am+1)2(a)2m=a4m+2(m为正整数)11计算 4m(m2+3n+1)=_;(23y22y5)(2y)=_;5x3(x2+2x1)=_.12式子()(3a2b)=12a5b2c成立时，括号内应填上的代数式是 。13.(教材课内练习第 3 题变式)计算：（1）(a2b3c)2(2a3b2c4)（2）(32ab22ab+34b)(21ab)（3）(34a2n+1bn1)(2.25an2bn+1)14.(一题多解)已知ab2=6,求ab(a2b5ab3b)的值.25、（4 分）（1）据统计，全球每分钟约有 8500000 t 污水排入江河湖海，这个排污量用科学记数法表示应为多少？（2）自从

12、扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”.已知 52 个纳米长为 0.000000052 m，用科学记数法表示此数为多少米？多项式乘多项式 知识点：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。练习 一、选择题 1.计算(2a3b)(2a3b)的正确结果是()A4a29b2 B4a29b2 C4a212ab9b2 D4a212ab9b2 2.若(xa)(xb)x2kxab，则k的值为()Aab Bab Cab Dba 3.计算(2x3y)(4x26xy9y2)的正确结果是()A(2x3y)2 B(2x3y)2 C8x327y3

13、 D8x327y3 4.(x2px3)(xq)的乘积中不含x2项，则()Apq Bpq Cpq D无法确定 5.若 0 x1，那么代数式(1 x)(2 x)的值是()A一定为正 B一定为负 C一定为非负数 D不能确定 6.计算(a22)(a42a24)(a22)(a42a24)的正确结果是()A2(a22)B2(a22)C2a3 D2a6 7.方程(x4)(x5)x220 的解是()Ax0 Bx4 Cx5 Dx40 8.若 2x25x1a(x1)2b(x1)c，那么a，b，c应为()Aa2，b2，c1 Ba2，b2，c1 Ca2，b1，c2 Da2，b1，c2 9.若 6x219x15(axb

14、)(cxd)，则acbd等于()A36 B15 C19 D21 10.(x1)(x1)与(x4x21)的积是()Ax61 Bx62x31 Cx61 Dx62x31 二、填空题 1.(3x1)(4x5)_ 2.(4xy)(5x2y)_ 3.(x3)(x4)(x1)(x2)_ 4.(y1)(y2)(y3)_ 5.(x33x24x1)(x22x3)的展开式中，x4的系数是_ 6.若(xa)(x2)x25xb，则a_，b_ 7.若a2a12，则(5 a)(6 a)_ 8.当k_时，多项式x1 与 2kx的乘积不含一次项 9.若(x2ax8)(x23xb)的乘积中不含x2和x3项，则a_，b_ 10.如

15、果三角形的底边为(3a2b)，高为(9a26ab4b2)，则面积_ 三、解答题 1、计算下列各式(1)(2x3y)(3x2y)(2)(x2)(x3)(x6)(x1)(3)(3x22x1)(2x23x1)(4)(3x2y)(2x3y)(x3y)(3x4y)2、求(ab)2(ab)24ab的值，其中a2009，b2010 3、求值：2(2x1)(2x1)5x(x3y)4x(4x252y)，其中x1，y2 4、解方程组(x1)(2y1)2(x1)(y1)x(2 y)6y(x4)四、探究创新乐园 1、若(x2axb)(2x23x1)的积中，x3的系数为 5，x2的系数为6，求a，b 2、根据(xa)(

16、xb)x2(ab)xab，直接计算下列题(1)(x4)(x9)(2)(xy8a)(xy2a).五、数学生活实践 一块长acm，宽bcm的玻璃，长、宽各裁掉 1 cm后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少?六、思考题：请你来计算：若 1xx2x30，求xx2x3x2012的值 乘法公式的复习 一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：位置变化，xyyxx2y2 符号变化，xyx

17、yx2y2 x2y2 指数变化，x2y2x2y2x4y4 系数变化，2ab2ab4a2b2 换式变化，xyzmxyzm xy2zm2 x2y2zmzm x2y2z2zmzmm2 x2y2z2 2zmm2 增项变化，xyzxyz xy2z2 xyxyz2 x2xyxyy2z2 x2 2xyy2z2 连用公式变化，xyxyx2y2 x2y2x2y2 x4y4 逆用公式变化，xyz2xyz2 xyzxyzxyzxyz 2x2y 2z 4xy 4xz 例 1已知2 ba，1ab，求22ba 的值。例 2已知8 ba，2ab，求2)(ba 的值。例 3：计算 19992-20001998 例 4：已知

18、a+b=2，ab=1，求 a2+b2和(a-b)2的值。例 5：已知 x-y=2，y-z=2，x+z=14。求 x2-z2的值。整数时应用拓展计算先完成以下填空你能借鉴以上方法计算下列各题吗律吗试一试幂的乘方知识盘点若均为正整数则即幂的乘方底数指数应用项式或多项式强调的必要性练习一填空题计算在横线上填入适当的代数学习必备 精品知识点 例 6：判断（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1 的个位数字是几？例 7运用公式简便计算（1）1032 （2）1982 例 8计算（1）a 4b 3ca 4b 3c （2）3xy 23xy 2 例 9解下列各式（1）已知a2b2 13，ab 6

19、，求ab2，ab2的值。（2）已知ab2 7，ab2 4，求a2b2，ab的值。（3）已知aa 1a2b2，求222abab的值。（4）已知13xx，求441xx的值。例 10 四个连续自然数的乘积加上 1，一定是平方数吗？为什么？。例 11计算 （1）x2x 12 （2）3mnp2 二、乘法公式的用法(一)、套用:例 1.计算：53532222xyxy (二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例 2.计算：111124a aaa 例 3.计算：32513251xyzxyz 三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问

20、题。例 4.计算：57857822abcabc 四、变用:题目变形后运用公式解题。例 5.计算：xyz xyz 26 五、活用:把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：12223244222222222222.abababababababababababab 灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例 6.已知abab 45，求ab22的值。例 7.计算：abcdbcda 22 例 8.已知实数 x、y、z 满足xyzxyy 592，那么xyz23（）三、学习乘法公式应注意的问题 （一）、注意

21、掌握公式的特征，认清公式中的“两数”例 1 计算(-2x2-5)(2x2-5)例 2 计算(-a2+4b)2 （二）、注意为使用公式创造条件 例 3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)例 4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2 例 5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)（三）、注意公式的推广 计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的 2 倍 例 6 计算(2x+y-3)2 下列各题，难不倒你吧？！1、若a+

22、a1=5，求（1）a2+21a，（2）（aa1）2的值 2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1 的末位数字 五、乘法公式应用的五个层次 乘法公式：(a b)(a b)=a2b2，(a b)=a22abb2，(a b)(a2abb2)=a3b3 第一层次正用 即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用 例 1 计算 (2)(2xy)(2x y)第二层次逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用 例 2 计算(1)199821998399419972；第三层次活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件

23、，灵活应用公式 例 3 化简：(2 1)(221)(241)(281)1 例 4 计算：(2x 3y1)(2x3y5)第四层次变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如 a2b2=(a b)22ab，a3b3=(a b)33ab(a b)等，则求解十分简单、明快 例 5 已知 ab=9，ab=14，求 2a22b2和 a3b3的值 第五层次综合后用：将(a b)2=a22abb2和(a b)2=a22abb2综合，可得(a b)2(a b)2=2(a2b2)；(a b)2(a b)2=4ab；等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷 例 6 计算：(2x yz5)(

24、2x yz5)因式分解的常用方法 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b)=a2-b2-a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(ab)2=a22ab+b2 a22ab+b2=(a b)2；整数时应用拓展计算先完成以下填空你能借鉴以上方法计算下列各题吗律吗试一试幂的乘方知识盘点若均为正整数则即幂的乘方底数指数应用项式或多项式强调的必要性练习一填空题计算在横线上填入适当的代数学习必备 精品知识点 (3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3-a3+b

25、3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3-a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知abc，是ABC的三边，且222abcabbcca，则ABC的形状是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式：bnbmanam 解：原式=)()(bnbmanam =)()(nmbnma 每组

26、之间还有公因式！=)(banm 例 2、分解因式：bxbyayax5102 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=)5()102(bxbyayax 原式=)510()2(byaybxax =)5()5(2yxbyxa =)2(5)2(baybax =)2)(5(bayx =)5)(2(yxba 练习：分解因式1、bcacaba2 2、1yxxy （二）分组后能直接运用公式 例 3、分解因式：ayaxyx22 例 4、分解因式：2222cbaba 练习：分解因式3、yyxx3922 4、yzzyx2222 综合练习：（1）3223yxy

27、yxx （2）baaxbxbxax22（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622（5）92234aaa （6）ybxbyaxa222244（7）222yyzxzxyx （8）122222abbbaa（9）)1)(1()2(mmyy （10）)2()(abbcaca（11）abcbaccabcba2)()()(222（12）abccba3333 四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规

28、律？例.已知 0a5，且a为整数，若223xxa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解 析：凡 是 能 十 字 相 乘 的 二 次 三 项 式 ax2+bx+c，都 要 求24bac 0 而且是一个完全平方数。于是9 8a 为完全平方数，1a 例 5、分解因式：652 xx 分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23 的分解适合，即 2+3=5。1 2 解：652 xx=32)32(2xx 1 3 =)3)(2(xx 12+13=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数

29、的代数和要等于一次项的系数 例 6、分解因式：672 xx 解：原式=)6)(1()6()1(2xx 1 -1 =)6)(1(xx 1 -6 （-1）+（-6）=-7 练习 5、分解因式(1)24142 xx (2)36152 aa (3)542 xx 练习 6、分解因式(1)22xx (2)1522 yy (3)24102 xx （二）二次项系数不为 1 的二次三项式cbxax2 条件：（1）21aaa 1a 1c（2）21ccc 2a 2c（3）1221cacab 1221cacab 分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa 例 7、分解因式：101132 xx 分析：1 -2 3

30、 -5 （-6）+（-5）=-11 练习 7、分解因式：（1）6752 xx （2）2732 xx （3）317102 xx （4）101162yy （三）二次项系数为 1 的齐次多项式 例 8、分解因式：221288baba 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b 1 -16b 8b+(-16b)=-8b 练习 8、分解因式(1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba （四）二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9、22672yxyx 例 10、2322 xyyx 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -

31、2 (-3y)+(-4y)=-7y (-1)+(-2)=-3 解：原式=)32)(2(yxyx 解：原式=)2)(1(xyxy 练习 9、分解因式：（1）224715yxyx （2）8622 axxa 综合练习 10、（1）17836 xx （2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx （4）344)(2baba（5）222265xyxyx （6）2634422nmnmnm（7）3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa（9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx 五、换元法。例 13、分解因式（1）200

32、5)12005(200522xx （2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx 练习 13、分解因式（1）)(4)(22222yxxyyxyx（2）90)384)(23(22xxxx （3）222222)3(4)5()1(aaa 本章练习 一、逆用幂的运算性质 12005200440.25 .2(23)2002(1.5)2003(1)2004_。3若23nx，则6nx .4已知：2,3nmxx，求nmx23、nmx23的值。5已知：am2，bn32，则nm 1032=_。二、式子变形求值 1若10mn，24mn，则22mn .2已知9ab，3ab ，求223aabb的值.3已知0132 xx，求

33、221xx 的值。4已知：212yxxx，则xyyx222=.524(21)(21)(21)的结果为 .6如果（2a2b1）(2a 2b1)=63，那么 ab 的值为_。7已知：20072008 xa，20082008 xb，20092008 xc，整数时应用拓展计算先完成以下填空你能借鉴以上方法计算下列各题吗律吗试一试幂的乘方知识盘点若均为正整数则即幂的乘方底数指数应用项式或多项式强调的必要性练习一填空题计算在横线上填入适当的代数学习必备 精品知识点 求acbcabcba222的值。8若210,nn 则3222008_.nn 9已知：0106222yyxx，则x_，y_。10已知0258622baba，则代数式baab的值是_。整数时应用拓展计算先完成以下填空你能借鉴以上方法计算下列各题吗律吗试一试幂的乘方知识盘点若均为正整数则即幂的乘方底数指数应用项式或多项式强调的必要性练习一填空题计算在横线上填入适当的代数