2023年中考数学第12章《二次函数》知识点归纳总结精讲.pdf

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1、第十二章二次函数考情分析高频考点考查频率所占分值1.二次函数的图象和性质2.二次函数图象的平移3.二次函数图象位置与字母系数的关系4.二次函数解析式的确定5.二次函数与一元二次方程的关系6.二次函数的最值问题7.二次函数的实际问题中的应用1520 分知能图谱222,0004,242,20yaxbxc a b cay axbxc aaabacbaabxabxyxaax一般地，形如是常数且的函数叫做二次函数二次函数的定义一般形式：=上下平移“上加下减”图象的平移规律左右平移“左加右减”开口方向：0，开口向上；，开口向下顶点坐标：对称轴：直线=-二次函数的图象与随 的增大而增大性质图象与性质增减性二

2、次函数2212,2,20,200:0byxabxyxaabxyxayaxhk ayaxbxc ayaxxxxa随 的增大而减小随 的增大而减小随 的增大而增大数学规律及关系二次函数顶点式：解析式的待定系数法一般式：确定交点式拓展2222240440404ybacxbacxbacxbacxxxbac二次函数在实际问题中的应用顶点二次函数图象中的特殊点与 轴的交点与x轴的交点实当时，抛物线与轴有两个交点践利用判与断抛物线与轴当时，抛物线与轴有一个交点探二次函数图象抛物线的交点个数当时，抛物线与轴没有交点索与 轴交点的判断根据抛物线与轴的交点个数，利用求字母系数的取值或取值范20yaxbxc a围二

3、次函数的最大值或最小值第 26 讲二次函数的定义、图象及性质知识能力解读知能解读(一)二次函数的定义一般地，形如2yaxbxc(,a b c是常数，且0a)的函数叫作二次函数.其中x是自变 量，,a b c分 别 是 函 数 解 析 式 的 二 次 项 系 数、一 次 项 系 数 和 常 数 项例 如，22213,32,223yxyxyxx等都是二次函数注意(1)任何一个二次函数的解析式都可以化成2yaxbxc(,a b c是常数，且0a)的形式，因此，把2yaxbxc(,a b c是常数，且0a)叫作二次函数的一般式(2)二次函数20yaxbxc a中，,x y都是变量，,a b c是常量，

4、自变量x的取值是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不为 0 的实数，所以二次函数还有如下特殊形式:：2yax(当0,0,0abc时)；2yaxbx(当0,0,0abc时)；2yaxc(当0,0,0abc时).(3)二次函数20yaxbxc a的结构特征:等号右边是关于自变量x的二次整式知能解读(二)二次函数20yaxa的图象和性质二次函数20yaxa的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点20yaxa0a0a图象开口方向向上向下顶点坐标0,00,0对称轴y轴x轴增减性当0 x时，y随x的增大而减小；当0 x时，y随x的增大而增大当0 x时，y随x的增大而增大；当0 x时，y随x的增大

5、而减小最值当0 x时，=0y最小值当0 x时，0y最大值注意(1)(供参考)抛物线20yaxa的开口大小由a决定，a越大，抛物线的开口越小；a越小，抛物线的开口越大(2)画20yaxa的图象时，描点法画出的只是整个图象的一部分，是近似的，由于x可取一切实数，所以图象应向两方无限延伸(3)选取自变量x的值时，为了计算方便，x一般取整数知能解读(三)二次函数2220,0,yaxk aya xhaya xhk0a的图象和性质1 二次函数20yaxk a的图象和性质二次函数20yaxk a的图象是一条拋物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是0,k.二次函数20yaxk a的图象和性质a的符号0a0a图象0

6、k0k开口方向向上向下对称轴y轴(直线0 x)y轴(直线0 x)顶点坐标0,k0,k增减性当0 x时，y随x的增大而减小；当0 x时，y随x的增大而增大当0 x时，y随x的增大而增大；当0 x时，y随x的增大而减小最值当0 x时，yk最小值当0 x时，yk最大值2 二次函数20ya xha的图象和性质二次函数20ya xha的图象是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线xh，顶点坐标是,0h.函数20ya xha20ya xha图象顶点最低点,0h最高,0h对称轴直线xh，当0h时，对称轴在y轴的右侧；当0h时，对称轴在y轴的左侧开口方向向上向下增减性当xh时，y随x的增大而减小

7、；当xh时，y随x的增大而增大当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小最值当xh时，0y最小值当xh时，0y最大值3 二次函数20ya xhk a的图象和性质二次函数20ya xhk a的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线xh，顶点坐标为,h k.函数20ya xhk a0a0a图象开口方向向上向下对称轴经过点,0h且平行于y轴的直线xh经过点,0h且平行于y轴的直线xh顶点坐标顶点是图象的最低点，坐标是,h k顶点是图象的最高点，坐标是,h k增减性当xh时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大（简记为“左减右增”）当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x

8、的增大而减小（简记为“左增右减”）最值当xh时，yk最小值当xh时，yk最大值注意(1)由2yaxhk可直接看出抛物线的顶点坐标,h k(2)a决定抛物线的形状、大小，,h k决定抛物线的位置具体的平移操作如图所示点拨(1)对于函数20ya xhk a的性质，要注意与2220,0,0yaxayaxk aya xha对比学习，通过图象得出函数20ya xhk a的性质(2)二次函数2ya xhk的图象可由抛物线2yax的图象平移得到，h与k的符号分别确定左右平移和上下平移的方向，h与k的绝对值确定平移的距离.抛物线平移规律是“左右平移，左加右减：上下平移.上加下减”知能解读(四)二次函数20ya

9、xbxc a的图象与性质关系式一般式20yaxbxc a顶点式20ya xhk a图象形状抛物线开口方向当0a时，开口向上；到那个0a时，开口向下顶点坐标24,24bacbaa,h k对称轴2bxaxh增减性0a对称轴左侧，即2bxa或,xh y随x增大而减小；对称轴右侧，即2bxa或,xh y随x增大而增大0a对称轴左侧，即2bxa或,xh y随x增大而增大；对称轴右侧，即2bxa或,xh y随x增大而减小最大值0a当2bxa时，244acbya最小值当xh时，yh最小值0a当2bxa时，244acbya最大值当xh时，yk最大值知能解读(五)二次函数20yaxbxa a图象的画法(1)描点

10、法，其步骤如下：把二次函数解析式20yaxbxa a化成20yaxhk a的形式；确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图注意若抛物线与x轴有交点，最好选取交点描点，特别是作抛物线草图时，应抓住以下五点:开口方向；对称轴；顶点；与x轴交点；与y轴交点(2)平移法，其步骤如下：利用配方法把二次函数解析式化成20ya xhk a的形式，确定其顶点坐标,h k；作出20yaxa的图象；将20yaxa的图象平移，使其顶点移到,h k.知能解读(六)待定系数法求二次函数的解析式二次函数解析式有三种常见形式：(1)般式(或三点式)：2yaxbxa(,a b c为

11、常数，0a)；(2)顶点式(或配方式)：2ya xhk(,a h k为常数，0a)；(3)交点式(或两根式)：12ya xxxx(12,a xx是常数，0a拓展点).注意(a)任何一个二次函数解析式通过配方都可以化成顶点式2ya xhk，抛物线顶点坐标为,h k.当0h时，抛物线顶点在y轴上；当0k时，抛物线顶点在x轴上；当0,0hk时，抛物线顶点在原点处(2)两根式又叫交点式，12,xx是抛物线与x轴的交点的横坐标，即交点1,0A x，交点2,0B x.(3)确定二次函数解析式时，根据所给的条件；合理地选择恰当的表达式.一般地，已知抛物线上；任意三点时，通常设函数解析式为一般式；当已知顶点坐

12、标时，通常设函数解析式为顶点式；当已知抛物线与x轴的两个交点时，通常设函数解析式为交点式知能解读(七)二次函数20yaxbxc a的图象特征与,a b c的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征a0a0a开口向上开口向下b0ab0ab（,a b同号）0ab（,a b异号）对称轴为y轴对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧c0c0c0c图象过原点与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交注意(1)由抛物线的开口方向可确定a的符号，简记为“上正下负”.(2)由a的符号及对称轴2bxa的位置可确定b的符号.特殊地，对称轴为y轴时，0b；般情况可简记为“左同右异”，即对称轴在y轴左侧，,a b同号，对称轴在y轴右

13、侧，,a b异号.(3)当抛物线与y轴交于原点时，0c，否则可简记为“上正下负”，即抛物线与y轴交于x轴上方，c为正；交于x轴下方，c为负方法技巧归纳方法技巧(一)识别二次函数的方法判断一个函数是否为二次函数，主要依据有三条：(1)数解析式的右边必须是整式；化筒后的自变量最高次数是2；(3)二次项系数必须不为零方法技巧(二)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴的方法(1)公 式 法：2224024bacbyaxbxcaxaaa，所 以 顶 点 坐 标 为24,24bacbaa，对称轴是直线2bxa.(2)配方法:运用配方法，将拋物线的关系式化为20ya xhk a的形式，得到顶点为,h k，对称轴

14、是直线xh.(3)对称点法：由于抛物线是轴对称图形，所以连接对称点所得线段的垂直平分线是对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点方法技巧(三)二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质主要有二次函数图象的顶点坐标，二次函数的增减性以及函数与坐标轴的交点等问题方法技巧(四)根据二次函数图象获取相关信息的方法(1)由抛物线的开口方向判断a的符号，开口向上，0a；开口向下，0a.(2)由抛物线对称轴的位置判断b的符号，即对称轴为y轴，0b；对称轴在y轴左侧，则,a b同号；对称轴在y轴右侧，则,a b异号.(3)由抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，当交点在y轴的正半轴上时，0c；当交点为原点时，0c；当交

15、点在y轴的负半轴上时，0c.方法技巧(五)用待定系数法求二次函数解析式的技巧由于二次函数有多种表达形式，所以我们在求二次函数解析式时，首先要根据已知条件的特点，灵活选择合适的表达形式，然后用“待定系数法”求解，可以达到简便、快捷的效果1 一般式这 是 最 基 本 的 方 法，若 已 知 函 数 图 象 上 的 三 个 点 的 坐 标，可 设 函 数 解 析 式 为20yaxbxc a.2 顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴，则设函数解析式为顶点式20yaxhk a，顶点的坐标为,h k，对称轴为直线xh.3 交点式若已知抛物线与x轴的两交点坐标或已知抛物线与x轴的一交点坐标与对称轴，可通过设交点

16、式12ya xxxx来求解方法技巧(六)抛物线的平移技巧抛物线20ya xhk a在平移时，a的值不变，改变的只是顶点的位置，即只是h或k的值发生变化，因此解决抛物线平移问题，要把抛物线解析式化为顶点式，并准确求出抛物线的顶点坐标，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律，即可确定平移后的二次函数解析式方法技巧(七)解决二次函数综合题的技巧当问题的条件不确定时，需要对可能的情况分别讨论，这是二次函数中常用的思想方法易混易错辨析易混易错知识由已知二次函数图象平移得到另一个二次函数图象时，易将平移方向以及,h k的符号混淆易混易错(一)对二次函数的定义理解不透，忽视“0a”这一隐含条件易混易错(二

17、)忽视隐含条件致错易混易错(三)平移时混淆2ya xhk中h的符号而出错中考试题研究中考命题规律二次函数的图象和性质是中考考查的重点内容，主要考查二次函数的平移、图象与性质，二次函数图象位置与表达式中字母系数的关系以及二次函数的综合应用.主要以填空题、选择题或解答题的形式出现.用待定系数法求二次函数的解析式是中考的热点之一中考试题(一)二次函数图象的平移中考试题(二)二次函数的性质中考试题(三)二次函数的图象位置与系数关系中考试题(四)二次函数的综合应用中考试题(五)二次函数性质的综合应用第 27 讲二次函数的实践与探索知识能力解读知能解读(一)抛物线与直线的交点直 线0ykxb k与 抛 物

18、 线20yaxbxc a的 交 点 坐 标 即 方 程 组2,ykxbyaxbxc的解当方程组有两个不同解时两函数图象有两个交点；当方程组只有一个解时两函数图象只有一个交点；当方程组无解时两函数图象没有交点知能解读(二)二次函数与一元二次方程的关系函数20yaxbxc a，当0y时，得到一次方程200axbxca，那么一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图象与x 轴的交点情况决定相应一元二次方程根的情况(1)当二次函数20yaxbxc a的图象与x轴有两个交点时，240bac，方程200axbxca有两个不相等的实数根；(2)当二次函数的图象与20yaxbxc

19、 a轴有且只有一个交点时，240bac，方程200axbxca有两个相等的实数根；(3)当 二 次 函 数20yaxbxc a的 图 象 与x轴 无 交 点 时，240bac，方 程200axbxca无实数根综 上，求 一 元 二 次 方 程200axbxca的 根 也 就 是 求 二 次 函 数20yaxbxc a的值为0 时自变量x的值，即抛物线20yaxbxc a与x轴的交点的横坐标.二次函数20yaxbxc a的图象与x轴的交点的三种情况分别对应着一元二次方程AB的根的三种情况，如下表所示：24bac的取值240bac240bac240bac二次函数20yaxbxc a的图象与x轴的交

20、点0a有两个交点有一个交点无交点0a有两个交点有一个交点无交点一元二次方程200axbxca的 实 数根有两个不相等的实数根12,xx有两个相等的实数根12xx没有实数根注意若抛物线20yaxbxc a与x轴的交点为1,0A x和2,0B x，则抛物线的对称轴为直线122xxx，对称轴与x轴的交点恰为线段AB的中点知能解读(三)二次函数与一元二次不等式的关系(拓展点）抛物线20yaxbxc a在x轴上方的部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式200axbxca的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式200axbxca的解集，不等式中如果带有等号其解集也相

21、应带有等号二 次 函 数20yaxbxc a与 一 元 二 次 不 等 式200axbxca及200axbxca之间的关系如下：24bac的取值240bac240bac240bac0a抛物线20yaxbxc a与x轴的交点有两个交点有一个交点无交点不等式200axbxca的解集1xx或2xx1xx（或2xx）全体实数不等式200axbxca的解集12xxx无解无解0a抛物线20yaxbxc a与x轴的交点有两个交点有一个交点无交点不等式200axbxca的解集12xxx无解无解不等式200axbxca的解集1xx或2xx或1xx（或2xx）全体实数知能解读(四)二次函数在实际问题中的应用函数的

22、应用指的是运用函数概念建立函数模型，研究、解决某些实际问题的过程和方法，它包括两个方面：(1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；(2)用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是求函数的最大(小)值注意(1)优化问题，即求二次函数何时达到最大(小)值，此时需注意顶点的横坐标是否在实际问题中x的取值范围内已知函数值，求自变量的对应值.特别地，：求抛物线与x轴交点的横坐标，这些可以通过解一元二次方程解决，但要注意检验方程的解是否符合实际问题的要求方法技巧归纳方法技巧(一)求两函数图象交点问题的方法两函数图象交点的横坐标和纵坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解方法技巧(二)二次函数与一元

23、二次方程关系的综合应用主要依据判别式24bac的符号来判断，即当0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当0时，抛物线与x轴有一个交点；当0时，抛物线与x轴无交点方法技巧(三)利用二次函数图象求不等式解集的方法(拓展）方法技巧(四)利用二次函数解决实际问题的方法利用二次函数解决实际问题通常先要建立变量之间的二次函数解析式，再利用二次函数的相关性质求解方法技巧(五)与二次函数相关的综合题易混易错辨析易混易错知识二次函数配方为顶点式与用配方法解一元二次方程混淆易混易错(一)实际问题中忽视自变量取值范围致错易混易错(二)忽视二次项系数不为0 致错中考试题研究中考命题规律在近几年的中考中，各地对应用函数知识解决生活中的问题及二次函数与方程、一次函数、反比例函数、几何图形的综合运用考查较多.中考中的压轴题多与二次函数相结合，尤其是二次函数的应用题是考查二次函数的主流题目.题型有填空题、选择题、解答题，主要以贴近生产生活、反映时代热点的图象信息题、阅读理解题、开放探究题等为主.利用二次函数最值解决实际问题已成为中考的热点，这也是二次函数知识的创新点，应予以关注中考试题(一)由图象获取信息中考试题(二)二次函数与一元二次方程中考试题(三)应用二次函数知识解决实际问题中考试题(四)解决抛物线型问题