2023年《数字信号处理》第三版课后习题超详细解析超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、 1 数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1.用单位脉冲序列()n及其加权和表示题 1 图所示的序列。解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)0.5(4)2(6)x nnnnnnnnnn 2.给定信号：25,41()6,040,nnx nn 其它 （1）画出()x n序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n序列；（3）令1()2(2)x nx n，试画出1()x n波形；（4）令2()2(2)x nx n，试画出2()x n波形；（5）令3()2(2)x nxn，试画出3()x n波形。解：（1）x(n)的波形如题 2 解图（

2、一）所示。（2）()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x nnnnnnnnnn （3）1()x n的波形是 x(n)的波形右移 2 位，在乘以 2，画出图形如题 2 解图（二）所示。（4）2()x n的波形是 x(n)的波形左移 2 位，在乘以 2，画出图形如 2 题 2 解图（三）所示。（5）画3()x n时，先画 x(-n)的波形，然后再右移 2 位，3()x n波形如题 2 解图（四）所示。3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1）3()cos()78x nAn，A 是常数；（2）1()8()jnx ne。解：（1）3214,73ww，

3、这是有理数，因此是周期序列，周期是 T=14；（2）1 2,168ww，这是无理数，因此是非周期序列。5.设系统分别用下面的差分方程描述，()x n与()y n分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）()()2(1)3(2)y nx nx nx n；（3）0()()y nx nn，0n为整常数；（5）2()()y nxn；（7）0()()nmy nx m。解：（1）令：输入为0()x nn，输出为0000000()()2(1)3(2)()()2(1)3(2)()y nx nnx nnx nny nnx nnx nnx nny n 故该系统是时不变系统。12121212()()

4、()()()2(1)(1)3(2)(2)y nT ax nbx nax nbx nax nbx nax nbx n 1111()()2(1)3(2)T ax nax nax nax n 3 2222()()2(1)3(2)T bx nbx nbx nbx n 1212()()()()T ax nbx naT x nbT x n 故该系统是线性系统。（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。令输入为1()x nn，输出为10()()y nx nnn，因为 110()()()y nnx nnny n 故延时器是一个时不变系统。又因为 12102012()()()()()()T

5、 ax nbx nax nnbx nnaT x nbT x n 故延时器是线性系统。（5）2()()y nxn 令：输入为0()x nn，输出为20()()y nxnn，因为 200()()()y nnxnny n 故系统是时不变系统。又因为 21212122212()()()()()()()()T ax nbx nax nbx naT x nbT x naxnbxn 因此系统是非线性系统。（7）0()()nmy nx m 令：输入为0()x nn，输出为00()()nmy nx mn，因为 000()()()n nmy nnx my n 故该系统是时变系统。又因为 4 1212120()()

6、()()()()nmT ax nbx nax mbx maT x nbT x n 故系统是线性系统。6.给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）101()()Nky nx nkN；（3）00()()n nk n ny nx k；（5）()()x ny ne。解：（1）只要1N，该系统就是因果系统，因为输出只与 n 时刻的和 n时刻以前的输入有关。如果()x nM，则()y nM，因此系统是稳定系统。（3）如果()x nM，000()()21n nk n ny nx knM，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和 x(n)的将来值有关.（5）系统是因果系统

7、，因为系统的输出不取决于 x(n)的未来值。如果()x nM，则()()()x nx nMy neee，因此系统是稳定的。7.设线性时不变系统的单位脉冲响应()h n和输入序列()x n如题7图所示，要求画出输出输出()y n的波形。解：解法（1）:采用图解法 0()()()()()my nx nh nx m h nm 5 图解法的过程如题 7 解图所示。解法（2）:采用解析法。按照题 7 图写出 x(n)和 h(n)的表达式:()(2)(1)2(3)1()2()(1)(2)2x nnnnh nnnn 因为 ()*()()()*()()x nnx nx nAnkA x nk 所以 1()()*

8、2()(1)(2)21 2()(1)(2)2y nx nnnnx nx nx n 将 x(n)的表达式代入上式，得到()2(2)(1)0.5()2(1)(2)4.5(3)2(4)(5)y nnnnnnnnn 8.设线性时不变系统的单位取样响应()h n和输入()x n分别有以下三种情况，分别求出输出()y n。（1）45()(),()()h nR n x nR n；（2）4()2(),()()(2)h nR n x nnn；（3）5()0.5(),()nnh nu n xR n。解：（1）45()()*()()()my nx nh nR m R nm 先确定求和域，由4()R m和5()R n

9、m确定对于 m 的非零区间如下：03,4mnmn 根据非零区间，将 n 分成四种情况求解：0,()0ny n 6 003,()11nmny nn 3447,()18m nny nn 7,()0n y n 最后结果为 0,0,7()1,038,47nny nnnnn y(n)的波形如题 8 解图（一）所示。（2）444()2()*()(2)2()2(2)2()(1)(4)(5)y nR nnnR nR nnnnn y(n)的波形如题 8 解图（二）所示.（3）55()()*()()0.5()0.5()0.5()n mnmmmy nx nh nR mu nmR mu nm y(n)对于 m 的非零

10、区间为04,mmn。0,()0ny n 111010.504,()0.50.50.5(10.5)0.520.510.5nnnmnnnnmny n 54101 0.55,()0.50.50.531 0.51 0.5nmnnmn y n 最后写成统一表达式：5()(20.5)()31 0.5(5)nny nR nu n 11.设系统由下面差分方程描述：7 11()(1)()(1)22y ny nx nx n；设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。解：令：()()x nn 11()(1)()(1)22h nh nnn 2110,(0)(1)(0)(1)122111,(1)(0)(1)(0)

11、122112,(2)(1)22113,(3)(2)()22nhhnhhnhhnhh 归纳起来，结果为 11()()(1)()2nh nu nn 12.有一连续信号()cos(2),ax tft式中，20,2fHz（1）求出()ax t的周期。（2）用采样间隔0.02Ts对()ax t进行采样，试写出采样信号()ax t的表达式。（3）画出对应()ax t的时域离散信号(序列)()x n的波形，并求出()x n的周期。第二章 教材第二章习题解答 8 1.设()jwX e和()jwY e分别是()x n和()y n的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：（1）0()x nn；（2）()xn；（3）

12、()()x n y n；（4）(2)xn。解：（1）00()()jwnnFT x nnx nn e 令00,nnn nnn ，则 00()0()()()jw nnjwnjwnFT x nnx n eeX e（2）*()()()()jwnjwnjwnnFT x nx n ex n eXe（3）()()jwnnFT xnxn e 令nn，则 ()()()jwnjwnFT xnx n eX e（4）()*()()()jwjwFT x ny nX eY e 证明：()*()()()mx ny nx m y nm ()*()()()jwnnmFT x ny nx m y nm e 令 k=n-m，则 9

13、 ()*()()()()()()()jwkjwnkmjwkjwnkmjwjwFT x ny nx m y k eey k ex m eX eY e 2.已知001,()0,jwwwX eww 求()jwX e的傅里叶反变换()x n。解：000sin1()2wjwnww nx nedwn 3.线性时不变系统的频率响应(传输函数)()()(),jwjwjwH eH ee如果单位脉冲响应()h n为实序列，试证明输入0()cos()x nAw n的稳态响应为 00()()cos()jwy nA H ew nw 。解：假设输入信号0()jw nx ne，系统单位脉冲相应为 h(n)，系统输出为 00

14、000()()()*()()()()jw njwnmjw njw mjwmmy nh nx nh m eeh m eH ee上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。0000000000000()()1()cos()21()()()21 ()()2jw njw njjjw njwjw njwjjjw njwjwjw njwjwjjx nAw nA eeeey nA e eH eeeH eA e eH eeeeH ee 上式中()jwH e是 w 的偶函数，相位函数是 w 的奇函数，10 000000()()00()

15、(),()()1()()2 ()cos()jwjwjwjw njwjw njwjjjwH eH ewwy nA H ee eeeeeA H ew nw 4.设1,0,1()0,nx n其它将()x n以 4 为周期进行周期延拓，形成周期序列()x n，画出()x n和()x n的波形，求出()x n的离散傅里叶级数()X k和傅里叶变换。解：画出 x(n)和()x n的波形如题 4 解图所示。231422004444()()()1 ()2cos()4jknjknjknnjkjkjkjkX kDFS x nx n eeeeeeke,()X k以 4 为周期，或者 1111122224111024

16、441sin1()2()1sin1()4jkjkjkj kjknjkjkjkjkjknkeeeeX keekeeee,()X k以 4 为周期 422()()()()44 ()()22 cos()()42jwkkjkkX eFT x nX kwkX kwkk ewk 5.设如图所示的序列()x n的 FT 用()jwX e表示，不直接求出()jwX e，完成下列运算：（1）0()jX e；（2）()jwX edw；11（5）2()jwX edw 解：（1）703()()6jnX ex n（2）()(0)24jwX edwx（5）7223()2()28jwnX edwx n 6.试求如下序列的傅

17、里叶变换:（2）211()(1)()(1)22x nnnn；（3）3()(),01nx na u na 解：（2）2211()()1221 1()1cos2jwjwnjwjwnjwjwXex n eeeeew （3）301()()1jwnjwnnjwnjwnnX ea u n ea eae 7.设:（1）()x n是实偶函数，（2）()x n是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，()x n的傅里叶变换性质。解：令()()jwjwnnX ex n e 12（1）x(n)是实、偶函数，()()jwjwnnX ex n e 两边取共轭，得到*()()()()()jwjwnjw njwnnXex n

18、 ex n eX e 因此*()()jwjwX eXe 上式说明 x(n)是实序列，()jwX e具有共轭对称性质。()()()cossinjwjwnnnX ex n ex nwnjwn 由于 x(n)是偶函数，x(n)sinwn 是奇函数，那么()sin0nx nwn 因此()()cosjwnX ex nwn 该式说明()jwX e是实函数，且是 w 的偶函数。总结以上 x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换()jwX e是实、偶函数。（2）x(n)是实、奇函数。上面已推出，由于 x(n)是实序列，()jwX e具有共轭对称性质，即*()()jwjwX eXe()()()cossinjwj

19、wnnnX ex n ex nwnjwn 由于 x(n)是奇函数，上式中()cosx nwn是奇函数，那么()cos0nx nwn 因此()()sinjwnX ejx nwn 13 这说明()jwX e是纯虚数，且是 w 的奇函数。10.若序列()h n是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:()1cosjwRHew 求序列()h n及其傅里叶变换()jwH e。解：/211()1 cos1()()221,12()1,01,120,01,0()(),01,12(),00,()()12cos2jwjwjwjwnReeneeejwjwnjwjwnHeweeFT h nh n enh nnnnnh

20、nh n nnh n nwH eh n eee 其它n 12.设 系 统 的 单 位 取 样 响 应()(),01nh na u na，输 入 序 列 为()()2(2)x nnn，完成下面各题：（1）求出系统输出序列()y n；（2）分别求出()x n、()h n和()y n的傅里叶变换。解：（1）2()()*()()*()2(2)()2(2)nnny nh nx na u nnna u nau n（2）14 202()()2(2)121()()112()()()1jwjwnj wnjwnjwnnjwnjwnnj wjwjwjwjwX enneeH ea u n ea eaeeY eH eX

21、 eae 13.已知0()2cos(2)ax tf t，式中0100fHz，以采样频率400sfHz对()ax t进行采样，得到采样信号()ax t和时域离散信号()x n，试完成下面各题：（1）写出()ax t的傅里叶变换表示式()aXj；（2）写出()ax t和()x n的表达式；（3）分别求出()ax t的傅里叶变换和()x n序列的傅里叶变换。解：（1）000()()2cos()()j tj taajtjtj tXjx t edtt edteeedt 上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以 表示成：00()2 ()()aXj （2）0()()()2cos

22、()()aannx tx ttnTnTtnT 0()2cos(),x nnTn 0012200,2.5sfrad Tmsf （3）15 001()()2 ()()aasksskXjXjjkTkkT 式中2800/ssfrads 000000()()2cos()2cos()2(2)(2)jwjwnjwnjwnnnnjw njw njwnnkX ex n enT ew n eeeewwkwwk 式中000.5wTrad 上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。14.求以下序列的 Z 变换及收敛域：（2）2(1)nun；（3）2()nun；

23、（6）2 ()(10)nu nu n 解：（2）110112()2()2,122nnnnnnnZTu nu n zzzz（3）1111 2(1)2(1)22211 ,12122nnnnnnnnnnZTununzzzzzzz （6）901010112()(10)21 2 ,01 2nnnnZTu nu nzzzz 16 16.已知:1132()11 212X zzz 求出对应()X z的各种可能的序列的表达式。解：有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）当收敛域0.5z 时，11()()2ncx nX Z zdzj 令11111575

24、7()()(10.5)(12)(0.5)(2)nnnzzF zX z zzzzzzz 0n，因为 c 内无极点，x(n)=0；1n ，C 内有极点 0，但 z=0 是一个 n 阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有120.5,2zz，那么 0.52()Re(),0.5Re(),2(57)(57)(0.5)(2)(0.5)(2)(0.5)(2)1 3()2 2 (1)2nnzznnx ns F zs F zzzzzzzzzzzun （2）当收敛域0.52z 时，(57)()(0.5)(2)nzzF zzz 0n，C 内有极点 0.5；1()Re(),0.53()2nx ns F z 17 0n，

25、C 内有极点 0.5，0，但 0 是一个 n 阶极点，改成求 c 外极点留数，c 外极点只有一个，即 2，()Re(),22 2(1)nx ns F zun 最后得到1()3()()2 2(1)2nnx nu nun （3）当收敛域2z时，(57)()(0.5)(2)nzzF zzz 0n，C 内有极点 0.5，2；1()Re(),0.5Re(),23()2 22nnx ns F zs F z n0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此 x(n)=0。或者这样分析，C 内有极点 0.5，2，0，但 0 是一个 n 阶极点，改成求 c 外极点留数，c 外无极点，所以 x(n)=0。最后得到 1(

26、)3()2 2 ()2nnx nu n 17.已知()(),01nx na u na，分别求：（1）()x n的 Z 变换；（2）()nx n的 Z 变换；（3）()naun的 z 变换。解：（1）11()()(),1nnnnX zZT a u na u n zzaaz（2）11 2()(),(1)dazZT nx nzX zzadzaz 18（3）1001(),1nnnnnnnZT aunaza zzaaz 18.已知1123()252zX zzz，分别求：（1）收敛域0.52z 对应的原序列()x n；（2）收敛域2z 对应的原序列()x n。解：11()()2ncx nX z zdzj

27、1111233()()2522(0.5)(2)nnnzzF zX z zzzzzz（1）当收敛域0.52z 时，0n，c内有极点 0.5，()Re(),0.50.52nnx ns F z,0,n c 内有极点 0.5,0,但 0 是一个 n 阶极点,改求 c 外极点留数,c 外极点只有 2,()Re(),22nx ns F z,最后得到()2()2(1)2nnnx nu nun （2（当收敛域2z 时，0,n c 内有极点 0.5,2,()Re(),0.5Re(),2x ns F zs F z 30.5(2)22(0.5)(2)0.52nnnnzzzzz 0,n c 内有极点 0.5,2,0,

28、但极点 0 是一个 n 阶极点,改成求 c 外极点留 19 数,可是 c 外没有极点,因此()0 x n,最后得到()(0.52)()nnx nu n 25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为()(),()(),01,01nnx na u n h nb u nab ，试：（1）用卷积法求网络输出()y n；（2）用 ZT 法求网络输出()y n。解：（1）用卷积法求()y n()()()()()mn mmy nh nx nb u m au nm，0n,11111001()1nnnnnnn mmnmmnmmababy nabaabaa bab，0n，()0y n 最后得到 11()()nnaby

29、 nu nab（2）用 ZT 法求()y n 1111(),()11X zH zazbz 111()()()11Y zX z H zazbz 11()()2ncy nY z zdzj 令 11111()()()()11nnnzzF zY z zzazbazbz 0n,c 内有极点,a b 20 1111()Re(),Re(),nnnnababy ns F z as F z babbaab 因为系统是因果系统，0n,()0y n，最后得到 11()()nnaby nu nab 28.若序列()h n是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：21cos(),112 cosjwRawHeaaaw 求序列

30、()h n及其傅里叶变换()jwH e。解：221cos10.5()()12 cos1()jwjwjwRjwjwawa eeHeaawaa ee 121110.5()10.5()()1()(1)(1)jwjwRa zza eeHzaa zzazaz 求上式 IZT，得到序列()h n的共轭对称序列()eh n。11()()2neRch nHz zdzj 21110.50.5()()()()nnRazzaF zHz zza zaza 因为()h n是因果序列，()eh n必定是双边序列，收敛域取：1aza。1n 时，c 内有极点a,2110.50.51()Re(),()()()2nneazzah

31、 ns F z azzaazaa zaza n=0 时，c 内有极点a,0，21110.50.5()()()()nRazzaF zHz zza zaza 所以 21()Re(),Re(),01eh ns F z as F z 又因为()()eeh nhn 所以 1,0()0.5,00.5,0nennh nanan 1,0(),0()2(),0,0()0,00,0ennenh n nh nh n nana u nnn 01()1jwnjwnjwnH ea eae 3.2 教材第三章习题解答 1.计算以下诸序列的 N 点 DFT,在变换区间01nN 内,序列定义为（2）()()x nn；（4）()

32、(),0mx nRnmN；（6）2()cos(),0 x nnmmNN；（8）0()sin()()Nx nw nRn；（10）()()Nx nnRn。解：（2）1,1,0,1)()()(1010NknWnkXNnNnknN 22（4）1,1,0,)sin()sin(11)()1(10NkmNmkNeWWWkXmkNjkNkmNNnknN 10,0,11111212121)(2)(2)(2)(210)(210)(2NkmNkmkmNkmkNeeeeeekmNjNkmNjkmNjNkmNjNnnkmNjNnnkmNj或且（6）knNjmnNjNnmnNjNnknNeeeWmnNkX2210210)

33、(212cos)(（8）解法 1 直接计算)(21)()sin()(0008nReejnRnwnxNnjwnjwN 1021080021)()(NnknNjnjwnjwNnknNeeejWnxkX)2()2(102200000011112121kNwjNjwkNwjNjwNnnNwjnNwjeeeejeej）（）（解法 2 由 DFT 的共轭对称性求解 因为)()sin()cos()()(0070nRnwjnwnRenxNNnjw)(Im)()sin()(708nxnRnwnxN 所以)()(Im)(7078kXnxjDFTnjxDFT 即 23)()(21)()(77708kNXkXjkjX

34、kX)11(1121)11(1121)2()2()(2()2(00000000kNwjNjwkNwjNjwkNNwjNjwkNwjNjweeeejeeeej结果与解法 1 所得结果相同。此题验证了共轭对称性。（10）解法 1 1,1,0)(10NknWkXNnknN 上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解 X(k)。因为 )()(nnRnxN 所以 )()()()1()(nRnNnRnxnxNNN 等式两边进行 DFT 得到)()()(kNNWkXkXkN 故 1,2,1,1 1)()(NkWkNkXkN 当0k时，可直接计算得出 X（0）2)1()0(10100NNnWnXNnNnN 这

35、样，X（k）可写成如下形式：1,2,1,10,2)1()(NkWNkNNkXkN 解法 2 0k时，2)1()(10NNnkXNn 24 0k时，NNWNWkXWkXNWNWWWkXWWNWWWkXNnknNNnknNknNkNNkNkNkNknNkNNkNkNkN1011)1(432)1(32)1(1)1()()()1()2(320)()1(320)(所以，0,1)(kWNkXkN 即 1,2,1,10,2)1()(NkWNkNNkXkN 2.已知下列()X k，求()();x nIDFT X k（1）,2(),20,jjNekmNX kekNmk 其它;（2）,2(),20,jjNjekm

36、NX kjekNmk 其它 解：（1）=25 1,1,0),2cos(212211)()()2()2()(2210NnmnNeeeeNeeNNWNkXIDFTnxmnNjmnNjnmNNjjmnNjjNnknN（2）nmNNjmnNjWeNWjeNNnx)(221)(1,1,0),2sin(21)2()2(NnmnNeejmnNjmnNj 3.长度为 N=10 的两个有限长序列 11,04()0,59nx nn 21,04()1,59nx nn 作图表示1()x n、2()x n和12()()()y nx nx n。解：1()x n、2()x n和12()()()y nx nx n分别如题 3

37、 解图（a）、（b）、（c）所示。14.两个有限长序列()x n和()y n的零值区间为:()0,0,8()0,0,20 x nnny nnn 对每个序列作 20 点 DFT,即()(),0,1,19()(),0,1,19X kDFT x nkY kDFT y nk 如果()()(),0,1,19()(),0,1,19F kX kY k kf nIDFT F kk 试问在哪些点上()()*()f nx ny n，为什么？解：26 如前所示，记()()*()f nx ny n，而)()()()(nynxkFIDFTnf。)(nfl 长度为 27，)(nf长度为 20。已推出二者的关系为 mlnR

38、mnfnf)()20()(20 只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足)()(nfnfl所以 197),()()()(nnynxnfnfl 15.用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率50FHz，信号最高频率为 1kHZ，试确定以下各参数：（1）最小记录时间minpT；（2）最大取样间隔maxT；（3）最少采样点数minN；（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的 N 值。解：（1）已知HZF50 sFTp02.05011min（2）msffT5.010212113maxminmax（3）40105.002.03minsTTNp（4）频带宽度不变就意味着采样间隔 T 不变

39、，应该使记录时间扩大一倍为 0.04s 实现频率分辨率提高一倍（F 变为原来的 1/2）805.004.0minmssN 18.我们希望利用()h n长度为 N=50 的 FIR 滤波器对一段很长的数据 27 序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过 DFT 来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为 M=100 个采样点），但相邻两段必须重叠 V 个点，然后计算各段与()h n的 L 点（本题取 L=128）循环卷积，得到输出序列()myn，m 表示第 m 段计算输出。最后，从()myn中取出个，使每段取出的个采样点连接得到滤波输出()y n。（1）求 V；（2）求 B

40、；（3）确定取出的 B 个采样应为()myn中的哪些采样点。解：为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列()myn的序列标号为 0，1，2，,127。先以()h n与各段输入的线性卷积)(nylm考虑，)(nylm中，第 0 点到48 点（共 49 个点）不正确，不能作为滤波输出，第 49 点到第 99 点（共 51 个点）为正确的滤波输出序列)(ny的一段，即 B=51。所以，为了去除前面 49 个不正确点，取出 51 个正确的点连续得到不间断又无多余点的)(ny，必须重叠 100-51=49个点，即 V=49。下面说明，对 128 点的循环卷积()myn，上述结果也是正确的。我们知道 rlmm

41、nRrnyny)()128()(128 因为)(nylm长度为 N+M-1=50+100-1=149 28 所以从 n=20 到 127 区域，)()(nynylmm，当然，第 49 点到第 99 点二者亦相等，所以，所取出的第 51 点为从第 49 到 99 点的()myn。综上所述，总结所得结论 V=49,B=51 选取()myn中第 4999 点作为滤波输出。5.2 教材第五章习题解答 1.设系统用下面的差分方程描述：311()(1)(2)()(1)483y ny ny nx nx n ，试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。解：311()(1)(2)()(1)483y ny ny n

42、x nx n 将上式进行 Z 变换 121311()()()()()483Y zY z zY z zX zX z z 112113()31148zH zzz（1）按照系统函数()H z，根据 Masson 公式，画出直接型结构如题1 解图（一）所示。（2）将()H z的分母进行因式分解 112113()31148zH zzz 29 11111311(1)(1)24zzz 按照上式可以有两种级联型结构：(a)1111113()11(1)(1)24zH zzz 画出级联型结构如题 1 解图（二）（a）所示(b)1111113()11(1)(1)24zH zzz 画出级联型结构如题 1 解图（二）（

43、b）所示（3）将()H z进行部分分式展开 111113()11(1)(1)24zH zzz 1()31111()()2424zH zABzzzzz 11103()11123()()224zAzzzz 1173()11143()()424zBzzzz 107()331124H zzzz 111071073333()1111112424zzH zzzzz 30 根据上式画出并联型结构如题 1 解图（三）所示。2.设数字滤波器的差分方程为()()(1)(2)(2)()(1)()y nab y naby nx nab x nabx n ，试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解：将差分方程进行

44、 Z 变换，得到 1221()()()()()()()()Y zab Y z zabY z zX z zab X z zabX z 1212()()()()1()Y zabab zzH zX zab zabz （1）按照 Massion 公式直接画出直接型结构如题 2 解图（一）所示。（2）将()H z的分子和分母进行因式分解：111211()()()()()(1)(1)azbzH zH z Hzazbz 按照上式可以有两种级联型结构：(a)111()1zaH zaz 121()1zbHzbz 画出级联型结构如题 2 解图（二）（a）所示。(b)111()1zaH zbz 121()1zbHz

45、az 画出级联型结构如题 2 解图（二）（b）所示。3.设系统的系统函数为 31 1121124(1)(11.414)()(10.5)(10.90.18)zzzH zzzz，试画出各种可能的级联型结构。解：由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。12()()()H zHz Hz（1）1114 1()1 0.5zH zz，122121 1.414()1 0.90.81zzHzzz 画出级联型结构如题 3 解图（a）所示。（2）12111 1.414()1 0.5zzH zz,12124 1()1 0.90.81zHzzz 画出级联型结构如题 3 解图（b）所示。4.图中画出了

46、四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图 d 解：(d)12345()()()()()()h nh nh nh nh nh n 121345()()()()()()h nh nh nh nh nh n 121345()()()()()()()H zHz HzHz Hz HzHz 5.写出图中流图的系统函数及差分方程。图 d 解：32(d)111222222sin()1coscossincosrzH zrzrzrzrz 1122sin12 cosrzrzr z 2()2 cos(1)(2)sin(1)y nry nr y nrx n 6.写出图中流

47、图的系统函数。图 f 解：(f)1112121122242()1313114848zzH zzzzz 8已知 FIR 滤波器的单位脉冲响应为()()(1)(4)h nnnn，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数 N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。解：已知频率采样结构的公式为 1101()()(1)1NNkkNH kH zzNWz 式中，N=5 1400()()()()(1)(4)NknknNNnnH kDFT h nh n WnnnW 28551,0,1,2,3,4jkjkeek 它的频率采样结构如题 8 解图所示。6.2 教材第六章习题解答 33 1.设计一个巴

48、特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率6pfkHz，通带最大衰减3padB，阻带截止频率12sfkHz，阻带最小衰减3sadB。求出滤波器归一化传输函数()aHp以及实际的()aHs。解：（1）求阶数 N。lglgspspkN 0.10.30.12.51011010.0562101101psaspak 33212 10226 10sspp 将spk和sp值代入 N 的计算公式得 lg 0.05624.15lg 2N 所以取 N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取 N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）（2）求归一化系统函数()aHp，由阶数 N=5 直接查表得到 5

49、阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()aHp为 54321()3.23615.23615.23613.23611aHpppppp 或 221()(0.6181)(1.6181)(1)aHpppppp 当然，也可以按（6.12）式计算出极点:121()22,0,1,2,3,4kjNkpek 按（6.11）式写出()aHp表达式 34 401()()akkHppp 代入kp值并进行分母展开得到与查表相同的结果。（3）去归一化（即 LP-LP 频率变换），由归一化系统函数()aHp得到实际滤波器系统函数()aHs。由于本题中3padB，即326 10/cprads ，因此()()aacHsHpsp

50、5542332453.23615.23615.23613.2361ccccccsssss 对分母因式形式，则有()()aacHsHpsp 52222(0.6180)(1.6180)()ccccccsssss 如上结果中，c的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB 截止频率对归一化系统函数的改变作用。2.设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率3pfkHz，通带最在衰减速0.2padB，阻带截止频率12sfkHz，阻带最小衰减50sadB。求出归一化传输函数()aHp和实际的()aHs。解：（1）确定滤波器技术指标：0.2padB，32610/ppfrads 35 350,2