2023年中考数学第11章《函数基础知识、一次函数》知识点归纳总结精讲.pdf

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1、专题四图形与坐标、函数及图象第十一章函数基础知识、一次函数及反比例函数考勤分析高频考点考查频率所占分值1.点的坐标特点2.函数自变量的取值范围3.由函数图象获取信息4.一次函数的图象与性质5.待定系数法求一次函数解析式6.一次函数与方程、不等式之间的关系7.反比例函数的图象与性质8.反比例函数中比例系数k的几何意义9.反比例函数与一次函数的综合10.反比例函数的应用710 分知能图谱000,0kyxkyxkbk b有序数对平面直角坐标系点的对称用坐标确定位置图形与坐标图形的运动与坐标函数基础知识函解析式法数函数的表示列表法函数基图象法：函数的图象础自变量的取值范围知，随 增大而增大一次函数的增

2、减性识，随 增大而减小、图象过第一、二、三象限一次一函数一次函数图象与,的关系函数及反比例函数0,00,00,000kbkbkbkyxk 图象过第一、三、四象限图象过第一、二、四象限图象过第二、三、四象限一次函数解析式的确定：待定系数法反比例函数图象及画法：列表、描点、连线，双曲线，中心对称图形，轴对称图形反当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个比象限内，随 的增大而减小例反比例函数图象性质当时，函数图象的两个分支函数yx分别位于第二、四象限，在每个、象限，随 的增大而增大待定系数法：先设出函数解析式，然后根据所给条件确定解析反比例函数解析式的确定式中未知系数的方法第 23 讲函

3、数基础知识知识能力解读知能解读(一)有序数对我们把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫作有序数对，记作,a b.注意对“有序”要理解准确，即两个数的位置不能随意交换，,a b与,b a中字母顺序不同，含义就不同，表示的位置也就不同知能解读(二)平面直角坐标系(1)如图所示，在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为横轴或x轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴称为纵轴或y轴，取向上方向为正方向.两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(2)建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成四个部分，每个部分称为象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、

4、第四象限，如图1-23-1 所示注意(1)两条坐标轴上的点不属于任何一个象限(2)如果平面直角坐标系具有实际意义，那么要在表示横轴、纵轴的字母后附上单位知能解读(三)点的坐标如图所示，在平面直角坐标系中，从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为点M和点N.这时，点M在x轴上对应的数为3，称为点P的横坐标；点N在y轴上对应的数为2，称为点P的纵坐标，依次写出点P的横坐标和纵坐标得到一对有序实数对3,2，该有序实数对称为点P的坐标，这时点P可记作3,2P.注意(1)在建立了平面直角坐标系后，平面内的点便可与有序实数对对应.也就是说，对于坐标平面内的一个点，总能找到一个有序实数对与之对应；反之，对于

5、任意一个有序实数对，总可以在坐标平面内找出一个点与之对应(2)在表示点的坐标时，横坐标应写在纵坐标的前面，中间用逗号隔开，横、纵坐标的顺序不能颠倒，如3,2与2,3是两个不同点的坐标知能解读(四)不同位置的点的坐标特征1 各象限内点的坐标的符号特征坐标象限横坐标纵坐标第一象限+第二象限-+第三象限-第四象限+-2 坐标轴上点的坐标特征(1)点在x轴上，则点的纵坐标为0，横坐标为任意实数；(2)点在y轴上，则点的横坐标为0，纵坐标为任意实数3 象限角的平分线上的点的坐标特征设,P x y为象限角的平分线上一点，则当点P在第一、三象限角平分线上时，xy；当点P在第二、四象限角平分线上时，xy.4

6、与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同5 关于x轴，y轴、原点对称的点的坐标特征一般地，若点P与点1P关于x轴(横轴)对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；若点P与点2P关于y轴(纵轴)对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数；若点P与点3P关于原点对称，则横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”.知能解读(五)平面直角坐标系内的点到x轴、y轴、原点的距离(拓展）如图所示，(1)点,P a b到x轴的距离为b，到y轴的距离为a，到原点的距离为22ab；(2)同一坐标轴上的12,0,0A xB x

7、两点之间的距离为21ABxx；(3)在不同坐标轴上的,0,0,A xBy两点之间的距离为22ABxy.知能解读(六)函数的相关概念1 变量与常量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量注意常量与变量不是绝对的，而是对“某一变化过程”而言的，同一个量在某一个变化过程中是常量，而在另一个变化过程中可能是变量.如在汽车：行驶的过程中，有路程s、行驶时间t、速度v三个量，当速度v定时，路程s与时间t是变量，速度v是常量；当汽车行驶的时间t一定时，路程s与速度v是变量，时间t为常量；当路程s定时，速度v与时间t是变量，路程s为常量2 自变量与函数一般地，在一个变化过程中，如

8、果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数注意函数体现的是一个变化的过程，在这一变化过程中，要着重把握以下两点：(1)只能有两个变量；(2)对于自变量的每一个确定的值，都有唯一的函数值与之对应知能解读(七)函数的解析式像500.1yx这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式知能解读(八)函数自变量的取值范围及函数值函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值的全体.求自变量的取值范围通常从两个方面考虑:一是要使函数的解析式有意义；二是要符合客观实际.下面给出

9、一些简单函数解析式中自变量取值范围的确定方法：(1)当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数(即全体实数)；(2)当函数的解析式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数；(3)当函数的解析式是二次根式时，自变量取值是使被开方式为非负数；(4)当函数解析式中自变量出现在零次幂或负整数次幕的底数中时，自变量取值是使底数不为零的实数对于自变量在取值范围内的每一个值，如当xa时，函数有唯一确定的值与之对应，这个值就是当xa时的函数值知能解读(九)函数的图象一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象描点法画函数图象

10、的一般步骤如下：第一步，列表在表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表中数值对应的各点；第三步，连线按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来知能解读(十)函数的表示方法写函数解析式、列表格、画函数图象，都可以表示具体的函数.这三种表示函数的方法，分别称为解析式法、列表法和图象法表示方法优点缺点总结解析式法简单明了，能准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系不直观，有些函数关系不一定能用解析式法表示出来表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为解决问题，需要同时使用几种方法列表法一目了然，使用

11、方便对应值不限，不易看出自变量与函数的对应规律图象法形象直观，能明显表示变化趋势不易看出自变量和函数的对应值方法技巧归纳方法技巧(一)利用平面直角坐标系相关知识解决问题的方法1 由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置根据平面直角坐标系内点的坐标与点的位置的关系，我们可以根据点的坐标确定点的位置，反过来，也可以根据点的位置确定点的坐标2 建立适当的平面直角坐标系，解决数学问题根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，在建立平面直角坐标系时，我们一般以图形的某边所在直线为坐标轴，或使图形的顶点大部分在坐标轴上方法技巧(二)求函数自变量的取值范围的方法函数自变量的取值

12、范围首先要使函数解析式有意义，当函数解析式表示实际问题或几何问题时，自变量的取值范围还必须符合实际意义或几何意义方法技巧(三)列函数解析式(建立函数模型)的方法1 求几何图形问题中的函数解析式2 求实际问题中的函数解析式方法技巧(四)用图象法表示函数关系的方法1 实际问题的函数图象2 动点问题的函数图象易混易错辨析易混易错知识1.由点到坐标轴的距离确定点的坐标时，因考虑不周而出错由点求坐标时，容易将横、纵坐标的位置弄错，还容易忽略坐标的符号而出现漏解的情况，如点,P x y到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，此时点P的坐标不只是一种情况，求解时考虑问题要全面2.由实际问题的函数解析式画图象时，

13、易忽视自变量的取值范围而导致图象错误实际问题中自变量的取值范围大部分都是非负数，画图象时应加以注意易混易错(一)求自变量的取值范围时，因考虑不周而出错易混易错(二)由点到坐标轴的距离求点的坐标时出错中考试题研究中考命题规律函数自变量的取值范围、函数的图象及平面直角坐标系的应用、确定物体位置的方法是近几年中考的常见考点.特别是根据提供的图象解决实际问题的一类信息题因具有时代气息、贴近生活，是中考热点之一.题型有选择题、填空题和解答题中考试题(一)确定点的位置中考试题(二)确定点的坐标中考试题(三)利用函数自变量的取值范围解决问题中考试题(四)根据情景描述函数图象中考试题(五)由函数图象获取信息第

14、 24 讲一次函数知识能力解读知能解读(一)正比例函数和一次函数的概念(1)正比例函数:一般地，形如ykx(k是常数，0k)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数(2)一次函数:一般地，形如ykxb(,k b是常数，0k)的函数，叫作一次函数.当0b时，ykxb即ykx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数注意(1)一次函数的表达式0ykxb k是一个等式，其左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式(2)自变量的次数为1，且系数不等于0.(3)自变量的取值范围：一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数知能解读(二)正比例函数和一次函数的图象(1)一般地，正比例函数ykx(k是常数，

15、0k)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线ykx，当0k时，直线ykx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当0k时，直线ykx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.一般地，过原点和点1,k(k是常数，0k)的直线，即正比例函数0ykx k的图象(2)一次函数ykxb(,k b是常数，0k)的图象可以由直线ykx平移b个单位长度得到(当0b时，向上平移；当0b时，向下平移).一次函数ykxb(,k b是常数，0k)的图象也是一条直线，我们称它为直线ykxb.次函数0ykxb k具有如下性质:当0k时，y随x的增大而增大；当0k时，y随x的增大而减小点

16、拨为了方便，我们通常利用一次函数0ykxb k的图象与坐标轴的交点0,b和,0bk来画图象知能解读(三)对一次函数ykxb中的系数,k b的理解(拓展点）(1)直线ykxb中k表示直线向上的方向与x轴正方向夹角的大小程度，即直线的倾斜程度，b是直线与y轴交点的纵坐标.当0b时，直线与y轴交于正半轴；当0b时，直线过原点；当0b时，直线与y轴交于负半轴.如下表：,k b的符号函数图象图象的位置性质0k0b图象过第一、二、三象限y随x的增大而增大0b图象过第一、三象限0b图象过第一、三、四象限0k0b图象过第一、二、四象限y随x的增大而减小0b图象过第二、四象限0b图象过第二、三、四象限(2)两直

17、线1110yk xbk与2220yk xbk的位置关系：当1212,kkbb时，两直线平行；当1212,kkbb时，两直线重合；当1212,kkbb时，两直线交于y轴上一点；(供参考)当121kk时，两直线垂直知能解读(四)待定系数法先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：(1)设出含有待定系数的函数解析式ykxb(,k b为常数，0k)；(2)把已知条件(自变量与对应的函数值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)将求出的待定系数的值代回所设的函数解析式，即得出所求的函

18、数解析式知能解读(五)一次函数与方程(组)、不等式之间的关系1 一次函数与一元一次方程一般地，因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为00axba的形式，所以解一元一次方程相当于求与之对应的一次函数0yaxb a的函数值为0 时，自变量x的值点拨求 直 线0ykxb k与x轴 的 交 点，可 令0y得 方 程0kxb，解 方 程 得,bbxkk是直线0ykxb k与x轴交点的横坐标.反之，由函数的图象也能求出与之对应的一元一次方程的解2 一次函数与二元一次方程(组）一般地因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以变为ykxb（,k b是常数，0k）的形式，所以每个这样的方程都对应

19、一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标,x y都是这个二元一次方程的解由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解3次函数与一元一次不等式一 般 地，因 为 任 何 一 个 以x为 未 知 数 的 一 元 一 次，不 等 式 都 可 以 变 为0axb或00axba的 形 式，所 以 解 一 元

20、 一 次 不 等 式 相 当 于 求 与 之 对 应 的 一 次 函 数0yaxb a的函数值大于0 或小于 0 时，自变量x的取值范围注意通常我们可用解方程组的方法求两直线的交点坐标，也可以通过画图象，利用两直线的交点坐标得出方程组的解，即:既可以用“数”的方法解决；“形”的问题，也可以用“形的方蜂解决“数”的问题，这种方法上的互通性体现了数形结合的思想方法技巧归纳方法技巧(一)一次函数的判别方法一次函数的判别依据有如下三点：(1)关于自变量的表达式是整式；(2)自变量的次数是1；(3)自变量的系数不为零.特别地，当常数项为零时，是正比例函数方法技巧(二)一次函数0ykxb k图象位置的确定

21、方法k的符号决定直线的倾斜方向：当0k时，直线自左向右上升；当是0k时，直线自左向右下降b的符号决定直线与y轴的交点位置：当0b时，直线与y轴交于正半轴；当0b时，直线过原点；当0b时，直线与y轴交于负半轴方法技巧(三)利用一次函数的性质解决问题的方法一次函数0ykxb k的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只和k的符号有关，与b的符号无关.若0k，则y随x的增大而增大；若0k，则y随x的增大而减小，反之，若y随x的增大而增大，则0k；若y随x的增大而减小，则0k.方法技巧(四)用待定系数法求一次函数解析式的方法由于一次函数的解析式0ykxb k中有k和b两个待定系数，因此用待定

22、系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以k和b为未知数)，解方程组后便可求得这个一次函数的解析式方法技巧(五)利用一次函数求方程(组)的解、不等式(组)的解或解集的方法一次函数的图象与方程(组)、不等式(组)有着密切的联系：(1)关于x的一元一次方程00kxbk的解是直线ykxb与x轴交点的横坐标(2)关于x的一元一次不等式00kxb的解集是以直线ykxb和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x值的集合(3)关于,x y的二元一次方程组1122,k xbyk xby的解是直线11yk xb和22yk xb的交点坐标方法技巧(六)用一次函数解决实际问题的方法在研究一个实际问题时，

23、应首先从问题中抽象出特定的函数关系，将其转化为“函数模型”，然后再利用函数的性质得出结论，最后把结论应用到实际问题中去，从而得到实际问题的研究结果易混易错辨析易混易错知识正比例函数和一次函数的区别正比例函数是一种特殊的一次函数，一次函数包括正比例函数.也就是说，如果一个函数是正比例函数，那么它一定是一次函数.但是，如果一个函数是一次函数，那么它不一定是正比例函数易混易错(一)因忽视隐含条性而致错易混易错(二)因考虑问题不全面而致错易混易错(三)因对图象表示的实际意义理解错误而致错中考试题研究中考命题规律一次函数解析式的确定，一次函数的图象与性质，一次函数与方程、不等式的联系，以及运用一次函数的

24、知识解决实际问题都是近年来中考的热点内容，特别是根据提供的图象解决有关的实际问题更是中考的热点.题型有选择题、填空题、解答题中考试题(一)对一次函数的图象和性质的理解中考试题(二)用待定系数法求函数解析式中考试题(三)一次函数与方程(组)、不等式的关系中考试题(四)利用一次函数解决实际问题中考试题(五)利用图象获取信息第 25 讲反比例函数知识能力解读知能解读(一)反比例函数的定义一般地，形如kyx(k是常数，0k)的函数叫作反比例函数，其中k叫作比例系数注意(1)反比例函数0kykx的左边是函数y，右边是分母为自变量x的分式.也就是说，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式.如13,12yy

25、xx等都是关于x的反比例函数，但21yx就不是关于x的反比例函数(2)反比例函数0kykx可以写成1ykx或0 xyk k的形式(3)反比例函数中，两个变量成反比例关系(4)反比例函数0kykx的自变量x是不等于 0 的任意实数知能解读(二)反比例函数的图象反比例函数0kykx的图象是双曲线注意(1)反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的两个分支是断开的(2)当0k时，两个分支分别位于第一、三象限；当0k时，两个分支分别位于第二、四象限(3)反比例函数0kykx的图象的两个分支关于原点对称(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即图象的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，

26、这是因为0,0 xy.知能解读(三)反比例函数的性质反比例函数的性质如下表所示：反比例函数0kykxk的符号0k0k图象性质当0k时，函数的图象分别在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内y随x的增大而减小当0k时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大注意(1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲：线所在的位置或函数的增减性也可以判断出k的符号(2)反比例函数的增减性只能在其图象所在的某个象限内讨论.不能说当0k时，y随x的增大而减小；当0k时，y随x的增大而增大.)

27、知能解读(四)反比例函数解析式的确定因为在反比例函数的解析式0kykx中，只有一个系数k，所以确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需利用一组,x y的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式知能解读(五)反比例函数0kykx中比例系数k的几何意义反比例函数中比例系数k的几何意义：如图所示，过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线,PN PM，所得矩形PMON的面积SPMPNxyxyk即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积均为k.同时，,PONPOM的面积均为12k.注意(1)应用反比例函数kyx(k为常数，0k)中k的几何意义，可把反比例函数与直角

28、三角形、矩形联系在一起(2)应用面积不变性可以解决一些实际问题，逆用其面积不变性还可以直接求出k值，这样可以简化反比例函数解析式的求法知能解读(六)反比例函数在实际生活中的应用反比例函数模型是实际生活和生产中的一类问题的数学模型，解决这类问题时，需要先列出符合题意的函数解析式，再利用反比例函数的性质、方程、方程组、不等式等相关知识求解根据实际问题，利用反比例函数模型来刻画某些实际问题中变量之间的关系式或利用数形结合来分析实际问题时，要特别注意以下几点：在实际问题的函数解析式中，因变量和自变量都有自己代表的实际意义，不仅要学会利用变量的实际意义解答问题，还要学会把从实际中得到的数据转化为解析式中

29、所需的数据；(2)实际问题中函数图象上的每一点都有自己所代表的实际意义；(3)作实际问题的图象时，要注意两个变量的取值范围；(4)在解决实际问题时，经常要应用数形结合思想方法技巧归纳方法技巧(一)反比例函数概念的应用根据反比例函数的定义:反比例函数的形式主要有10,0,0kykykxkxyk kx.方法技巧(二)反比例函数的图象与性质的应用反比例函数0kykx的图象位置可根据k的符号来确定，当0k时，,x y同号，图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当0k时，,x y异号，图象的两个分支分别位于；第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大方法技巧(三)

30、反比例函数中比例系数k的几何意义的应用利用反比例函数0kykx中比例系数k的几何意义解答即可方法技巧(四)反比例函数与一次函数的综合应用一次函数图象与反比例函数图象的交点的坐标，既适合一次函数的解析式，也适合反比例函数的解析式，可以利用一次函数、反比例函数的图象与性质的综合应用解决一些问题易混易错辨析易混易错知识1.对反比例函数的定义理解不透在识别反比例函数时，(1)容易忽略条件0k导致出错；(2)易忽视等号右边的关于x的分式中分母是关于x的单项式而出错，例如，认为02kykx是反比例函数2.对反比例函数的性质理解出错反比例函数的性质：当0k时，在每一个象限内，y随x的增大而减小.在理解时，易

31、忽视“在每一个象限内”这个条件，而理解为0k时，y随x的增大而减小易混易错(一)因忽视反比例函数kyx中的条件0k而致错易混易错(二)因忽视题目图象中的隐含信息而致错易混易错(三)研究反比例函数性质时，因忽视前提条件而致错中考试题研究中考命题规律反比例函数的定义、性质、解析式的确定方法及结合图象对实际问题进行分析是中考必考点，而利用图象及其性质解决问题是中考的热点，题型设计较新颖，有反映时代特点的应用题、图表信息题及与几何面积有关的综合题中考试题(一)反比例函数的解析式中考试题(二)反比例函数的图象与性质中考试题(三)反比例函数中比例系数的几何意义中考试题(四)反比例函数与一次函数的图象交点问题中考试题(五)反比例函数的综合应用