2023年中考二次函数的综合题及应用超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、1 2015 湖南中考复习 二次函数的综合题及应用 考点一：确定二次函数关系式 例 1 1如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 过点 A1，0，C0，-3 1求此二次函数的解析式；2在抛物线上存在一点 P使ABP的面积为 10，请直接写出点 P的坐标 思路分析：1利用待定系数法把 A1，0，C0，-3代入二次函数 y=x2+bx+c 中，即可算出 b、c的值，进而得到函数解析式是 y=x2+2x-3；2首先求出 A、B两点坐标，再算出 AB的长，再设 Pm，n，根据ABP的面积为 10 可以计算出 n的值，然后再利用二次函数解析式计算出 m的值即可得到 P点坐标 解：1二次函数 y=x2+b

2、x+c 过点 A1，0，C0，-3，103bcc ，解得23bc，二次函数的解析式为 y=x2+2x-3；2当 y=0 时，x2+2x-3=0，解得：x1=-3，x2=1；A1，0，B-3，0，AB=4，设 Pm，n，ABP的面积为 10，12AB|n|=10，解得：n=5，当 n=5 时，m2+2m-3=5，解得：m=-4或 2，P-4，52，5；当 n=-5时，m2+2m-3=-5，方程无解，故 P-4，52，5；点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握但凡函数图象经过的点必能满足解析式 2在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2yxbxc的图象与 x

3、 轴的负半轴相交于点 C，如图 3-3，点 C 的坐标为0，3，且 BOCO 2 （1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数的图象的顶点为 M，求 AM 的长.【考点要求】此题考查二次函数解析式确实定。【思路点拨】由题目条件，可用待定系数法求解析式 1(0,3),|3|3,3COCc ，OCBO又，9330,630,2bbb 。223yxx。221,(1)1234,(1,0),(1,4)22bfAMa ，22242 5AM.【答案】1223yxx；22 5AM。点二：二次函数与 x 轴的交点问题 例 2 1已知二次函数 y=x2-3x+m m为常数的图象与 x 轴的一个交点为1，0，则

4、关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0的两实数根是 Ax1=1，x2=-1 Bx1=1，x2=2 Cx1=1，x2=0 Dx1=1，x2=3 点评：此题考查了抛物线与 x 轴的交点解答该题时，也可以利用代入法求得 m的值，然后来求关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0的两实数根 对应训练 2二次函数 y=2x2+mx+8的图象如下列图，则 m的值是 A-8 B8 C8 D6 3假设二次函数 y=ax2+bx+ca0的图象与 x 轴有两个交点，坐标分别为x1，0，x2，0，且 x1x2，图象上有一点 M x0，y0 在 x 轴下方，则以下判断正确的选项是 Aa0 Bb2-4ac0 C

5、x1x0 x2 Dax0-x1x0-x20 考点三：二次函数的实际应用 例 3 1为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调查发现，该产品每天的销售量 y千克与销售价 x元/千克有如下关系：y=-2x+80设这种产品每天的销售利润为 w元 xyCBA-6-4-28642-6-4-2642O 图 3-3 3 1求 w与 x 之间的函数关系式 2该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？3如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元，该农户想要每

6、天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？思路分析：1根据销售额=销售量销售价单 x，列出函数关系式；2用配方法将2的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；3把 y=150 代入2的函数关系式中，解一元二次方程求 x，根据 x 的取值范围求 x 的值 解：1由题意得出：w=x-20 y=x-20-2x+80=-2x2+120 x-1600，故 w与 x 的函数关系式为：w=-2x2+120 x-1600；2w=-2x2+120 x-1600=-2x-302+200，-20，当 x=30 时，w有最大值w最大值为 200 答：该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最

7、大，最大销售利润 200 元 3当 w=150时，可得方程-2x-302+200=150解得 x=25，x2=35 3528，x2=35 不符合题意，应舍去 答：该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克 25 元 2科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况如下表：温度 x/-4-2 0 2 4 植物每天高度增长量 y/mm 41 49 49 41 25 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度 x 的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种 1请你选择一种适

8、当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；2温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？3如果实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果 2解：1选择二次函数，设 y=ax2+bx+ca0，x=-2 时，y=49，x=0 时，y=49，x=2 时，y=41，4249494241abccabc ，解得1249abc ，所以，y 关于 x 的函数关系式为 y=-x2-2x+49；不选另外两个函数的理由：点0，49不可能在反比例函数图象上，y 不是 x 的反比例函数，点-4，41-2，4

9、92，41不在同一直线上，y 不是 x 的一次函数；2由1得，y=-x2-2x+49=-x+12+50，a=-10，当 x=-1 时，y 有最大值为 50，即当温度为-1时，这种作物每天高度增长量最大；310 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，平均每天该植物高度增长量超过 25mm，当 y=25 时，-x2-2x+49=25，整理得，x2+2x-24=0，解得 x1=-6，x2=4，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，实验室的温度应保持在-6x4 3某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为 180cm，高为 20cm请通过

10、计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？材质及其厚度等暂忽略不计 4 4解：已知抽屉底面宽为 x cm，则底面长为 1802-x=90-xcm 由题意得：y=x90-x20=-20 x2-90 x=-20 x-452+40500 当 x=45 时，y 有最大值，最大值为 40500 答：当抽屉底面宽为 45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为 40500cm3 考点四：二次函数综合性题目 例 4 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca0的图象过点 C0，1，顶点为 Q 2，3，点 D在 x 轴正半轴上，且 OD=OC 1求直线 CD的解析式；2求抛物线的解析式；3将直

11、线 CD绕点 C逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：CEQ CDO；4在3的条件下，假设点 P是线段 QE上的动点，点 F是线段 OD上的动点，问：在 P点和 F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？假设存在，求出这个最小值；假设不存在，请说明理由 例 4解：1C0，1，OD=OC，D点坐标为1，0设直线 CD的解析式为 y=kx+bk0，将 C0，1，D1，0代入得：10bkb，解得：b=1，k=-1，直线 CD的解析式为：y=-x+1 2设抛物线的解析式为 y=ax-22+3，将 C0，1代入得：1=a-22+3，解得 a=-12y=-12x-22+3=-12x

12、2+2x+1 3证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且 OC OD，OCD为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx 轴，则点 C、E关于对称轴直线 x=2对称，点 E的坐标为4，1 如答图所示，设对称轴直线 x=2与 CE交于点 F，则 F2，1，ME=CM=QM=2，QME 与QMC 均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45 又OCD 为等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=ODC=OCD=45，CEQ CDO 5 4存在 如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x 轴的对称点C，连接 CC，交OD于点 F，交 QE于点 P，则PCF即为符合

13、题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段 CC的长度 证明如下：不妨在线段 OD上取异于点 F的任一点 F，在线段QE上取异于点 P的任一点 P，连接FC，FP，PC 由轴对称的性质可知，PCF的周长=FC+FP+PC；而 FC+FP+PC是点 C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周长大于 PCE的周长 如答图所示，连接 CE，C，C关于直线QE对称，QCE为等腰直角三角形，QCE为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点 C的坐标为4，5；C，C关于x 轴对称，点 C的坐标为-1，0 过点 C作CN y 轴于点 N，则 NC=4，NC=4+1+1=6，在 RtCNC中，由勾股定理得：CC=2222462 13NCNC 综上所述，在 P点和 F点移动过程中，PCF的周长存在最小值，最小值为 213