2023年常微分方程期中考试卷(最新版).pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 常微分方程期中测试试卷(1)一、填空 1 微分方程0)(22xydxdydxdyn的阶数是_ 2 若),(yxM和),(yxN在矩形区域R内是),(yx的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方 程0),(),(dyyxNdxyxM有 只 与y有 关 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 _ 3 _ 称为齐次方程.4 如果),(yxf_,则),(yxfdxdy存在唯一的解)(xy,定义于区间hxx0上,连续且满足初始条件)(00 xy,其中 h _.5 对于任意的),(1yx,),(2yxR(R为某一矩形区域),若存在常数)0(NN使 _,则称),(yxf在R上关于y

2、满足利普希兹条件.6 方程22yxdxdy定义在矩形区域R:22,22yx上,则经过点)0,0(的解的存在区间是 _ 7 若),.2,1)(nitxi是齐次线性方程的n个解,)(tw为其伏朗斯基行列式,则)(tw满足一阶线性方程 _ 8 若),.2,1)(nitxi为齐次线性方程的一个基本解组,)(tx为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _ 9 若)(x为毕卡逼近序列)(xn的极限，则有)()(xxn _ 10 _ 称为黎卡提方程，若它有一个特解)(xy，则经过变换 _，可化为伯努利方程 二 求下列方程的解 3yxydxdy 求方程2yxdxdy经过)0,0(的第三次近

3、似解 讨论方程2ydxdy，1)1(y的解的存在区间 4 求方程01)(22ydxdy的奇解 优秀学习资料 欢迎下载 5 0)1()1(cos2dyyxydxyx 6 xxxyyy22sincossin2 7 0)37()32(232dyxydxyxy 三 证明题 1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解 2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程)()(xQyxPdxdy,当)(xP,)(xQ在,上连续时,其解存在唯一 参考答案 一 填空题 1 1 2 )()1)(yMxNyM 3 形如)(xygdxdy的方程 4 在R上连续且关于y满足利普希兹条件 )

4、,min(mbah 5 2121),(),(yyNyxfyxf 6 4141x 7 0)(1wtaw 8 xxcxniii 1 9 1)!1(nnhnML 10 形如)()()(2xryxqyxpdxdy的方程 yzy 二 求下列方程的解 1 解：23yyxyyxdydx，则)(121cdyeyexdyydyy 所以 cyyx23 另外 0y 也是方程的解 2 解：0)(0 x 2020121)()(xdxxxxx 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若

5、已知黎优秀学习资料 欢迎下载 52021220121)()(xxdxxxxx 81152022316014400120121)()(xxxxdxxxxx 3 解：dxydy2 两边积分 cxy1 所以 方程的通解为 cxy1 故 过1)1(y的解为 21xy 通过点)1,1(的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到，所以解的存在区间为)2,(4 解:利用p判别曲线得 020122pyp 消去p得 12y 即 1y 所以方程的通解为)sin(cxy,所以 1y是方程的奇解 5 解:yM=2y,xN=2y ,yM=xN,所以方程是恰当方程.211cosyxyyvyxxu 得)(sinyyxxu)(2y

6、xyyu 所以yyln)(故原方程的解为 cyyxxlnsin 6 解:xxxyyy22sincossin2 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 xysin,令xzysin,则方程可化为2zdxdz,cxz1 即 cxxy1sin,故 cxxy1sin 7 解:两边同除以2y得 037322xdydyyydxxdx 0732ydxyddx 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 所以 cyxyx732,另外 0y 也是方程的解

7、 三 证明题 1 证明:设黎卡提方程的一个特解为 yy 令 yzy,dxyddxdzdxdy 又 )()()(2xryxqyxpdxdy dxydxryzxqyzxpdxdz)()()(2 由假设 )()()(2xryxqyxpdxyd 得 zxqyxpzxpdxdz)()(2)(2 此方程是一个2n的伯努利方程,可用初等积分法求解 2 证明:令R:x,Ry)(xP,)(xQ在,上连续,则)()(),(xQyxPyxf 显然在R上连续,因为)(xP 为,上的连续函数,故)(xP在,上也连续且存在最大植,记为 L 即)(xPL,x,1y,Ry 2 2121)()(),(),(yxPyxPyxfy

8、xf=)(xP21yy 21yyL 因此 一阶线性方程当)(xP,)(xQ在,上连续时,其解存在唯一 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 常微分方程期中测试卷(2)1辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）22ddxyxy （2）yxxxysindd （3）0dddd2dd223344xyxyxy（4）txxxx （5）223dd1)dd(srsr （6）0dd22xyyx 2、填空题(8%)（1）方程

9、yxxytandd的所有常数解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为_.（3）.若方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 是全微分方程，同它的通积分是_.（4）.设M(x0,y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_.3、单选题(14%)（1）方程0d)ln(dlnyyxxyy是（）.(A)可分离变量方程 （B）线性方程(C)全微分方程 （D）贝努利方程（2）方程)0(ddyyxy，过点（0，0）有（）.(A)一个解 （B）两个解 (C)无数个解 （D）三个解（3）方程x(y21)d

10、x+y(x21)dy=0 的所有常数解是（）.(A)y=1,x=1,(B)y=1(C)x=1 (D)y=1,x=1（4）若函数y(x)满足方程0ln2xyyyx，且在x=1 时，y=1,则在x=e 时y=().(A)e1 (B)21 (C)2 (D)e（5）n阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间（A）n维 （B）1n维 （C）1n维 （D）2n维 （6）.方程2ddyxxy（）奇解 （A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D）有两个（7）方程323ddyxy过点)0,0(（）（A）有无数个解 （B）只有三个解 （C）只有解0y （D）只有两个解 4.计算题(40%)常数在上关于满足利普希

11、兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 求下列方程的通解或通积分：（1）.21ddxxyxy （2）.xyxy2e3dd（3）.0)d(d)(3223yyyxxxyx （4）.2)(ddxyxyxy （5）.1)ln(yxy 5.计算题(10%)求方程xyy5sin5的通解 6证明题（16%）设),(yxf在整个xoy平面上连续可微，且0),(0yxf求证：方程 ),(ddyxfxy 的非常数解)(xyy，当0 xx 时，有0)(yxy，那么0 x

12、必为或 参考答案：1辨别题（1）一阶，非线性 （2）一阶，非线性 （3）四阶，线性（4）三阶，非线性 （5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性 2填空题 （1）,2,1,0,kky （2）)()()(1211xyxyxyC（3）yyxxyyxNxyxM000d),(d),(0 （4）yxyyyx0000,3单选题（1）B （2）C （3）A （4）B （5）.A （6）.B 7.A 4.计算题（1）解 当0y时，分离变量得 xxxyyd1d2 等式两端积分得 Cxyln)1ln(21ln2 即通解为 21xCy （2）解 齐次方程的通解为 xCy3e 令非齐次方程的特解为 xxCy3e)(代入原

13、方程，确定出 CxCx5e51)(常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 原方程的通解为 xCy3e+x2e51 （3）解 由于xNxyyM2，所以原方程是全微分方程 取)0,0(),(00yx，原方程的通积分为 103023dd)(Cyyxxyxyx 即 Cyyxx42242 （4）.令xuy，则xuxuydd，代入原方程，得 2dduuxuxu，2dduxux 当0u时，分离变量，再积分，得 Cxxuudd2 Cxuln1

14、，Cxuln1 即：Cxxyln 5.计算题 令py，则原方程的参数形式为 pyppxln1 由基本关系式 yxydd，有 ppppxyy)d11(dd2pp)d11(积分得 Cppyln 得原方程参数形式通解为 Cppyppxlnln1 5计算题 解 方程的特征根为01，52 齐次方程的通解为 xCCy521e 因为ii5不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 xBxAxy5cos5s

15、in)(1 代入原方程，比较系数得 0252512525BABA 确定出 501A，501B 原方程的通解为 )5sin5(cos501e521xxCCyx 6.证明题 证明 由已知条件，方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。（2 分）又由已知条件，知0yy 是方程的一个解。（4 分）假如方程的非常数解)(xyy 对有限值0 x有0)(lim0yxyxx，那么由已知条件，该解在点),(00yx处可向0 x的右侧（或左侧）延展 这样，过点),(00yx就有两个不同解0yy 和)(xyy 这与解的唯一性矛盾，因此0 x不能是有限值 常数在

16、上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 常微分方程期中测试卷(3)一、填空 1.形如_称为变量可分离方程，它有积分因子 。2.当_时，方程 0,dyyxNdxyxM称为恰当方程，或全微分方程。且它只含x的积分因子的充要条件是_。有只含y的积分因子的充要条件是_。3._称为伯努利方程，它有积分因子_ 。4.方程,222111xcxbxaxcxbxadxdy当01111dcba时，通过_，可化为奇次方程；当01111dcba时，令u_，

17、化为变量分离方程。5._ 称为黎卡提方程，若它有一个特解 xy，则经过变换_，可化为伯努利方程。6.函数 yxf,称为在矩形域 R 上关于y满足利普希兹条件，如果存在常数 L0,使 Ryxyx21,，使不等式_。7.如果 yxf,_，则 yxfdxdy,存在唯一解,xy定义于区间hxx0上，连续且满足初始条件,00 xy其中h _。8.设 xy是方程 yxfdxdy,的定义于区间hxxx00上，满足初始条件,00 xy的解，则 xy是积分方程_的定义于hxxx00上的连续解 9.微分方程的某一个解称为奇解，如果_,也就是说奇解是这样的一个解，在它上面的每一点唯一性都不成立。10.方程xdxdy

18、ln1满足条件 01 y的解的存在区间是_。二、求解下列方程的通解 1、3112xxydxdy 2、dxxyxydy222 3、01xdydxxyy 4、2221yyy 5、0422xdxdyydxdyx 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 6、26xyxydxdy 三、计算 求初值问题 1,11:0122yxRyyxdxdy 四、证明 1、假设方程 0,dyyxNdxyxM中函数 yxM,，yxN,yM-xN=yMgxN

19、f,其中 f(x)，g(y)分别为yx,的连续函数，试证：此方程有积分因子edyygdxxf)()(答案 一、填空 1、yxfdxdy的方程 y1 2、xyxNyyxM,xNxyxNyyxM,yMxyxNyyxM,3、nyxqyxpdxdy dxxpnneyu11 4、坐标平移 ybxa11 5、xryxqyxpdxdy2 zxyy 6、2121,yyLyxfyxf 7、在 R上连续且关于y利普希兹条件 mba,min 8、dxyxfyyxx0,0 9、在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解存在 10、x0 二、通求解 1、解：3122xyxdxdy为一阶线性方程 22xxp 31xxq

20、代入公式，得 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 方程的通解为 cxxxy22211 2、解：122222yxxxydxdy 为一阶线性方程 xxp2 1xq 代入公式，得 cdxedxxdxxey222=cxxcdxxx1222 所以方程的通解为22xcxy 3、解：01xdydxxyy两边同时乘以xe，方程为恰当方程 00001xxxxxxxxxxxdedxyedexydedxyedyxedxxyedxeydxedyx

21、edxxyye 所以方程的通解为0cexyexx 4、解：令yty 2则原方程消去y后，有 2221tyyty 由此，得tty1dttdy112 21ty dttydydx21 所以ctcdttx112 故原方程的通解为ttyctx11 5、解：令py，得到pxpxy22两边对x求导，得 xdppdxxdppdxpxdppdxdpxpdxp444223 当0 xdppdx时 42p 2p 则xy2 当0 xdppdx时 即02pxdppdx0pxd 积分，得 cpx 把cxp 代入，得ccxy2222242cxcy 6、解：这是2n时的伯努利方程。令1yz 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一

22、的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 得dxdyydxdz2 代入原方程得到 xzxdxdz6 这是线性方程，求得它的通解为826xxcz 代回原来的变量y，得到 cxyx886 这就是原方程的通解 此外，方程还有解0y 三、计算 解：4,maxyxfM则 Mbahmin 1ba 所以41h 所以解的存在区间为411 x 421191181611311911816313131313131131047347312322313210 xxxxxxxxxdxxxxx

23、xxdxxxxxx Lyyf22 24141*!122*43202xx 误差估计为241 四、2.证明：由于yMyMyMyMedyygdxxf)()(yMedyygdxxf)()(=edyygdxxf)()(（yMMg(y)）同理xNxNxNXNedyygdxxf)()(+Nxedyygdxxf)()(=edyygdxxf)()(（xN+Nf(x)）故yM-xN=edyygdxxf)()(yM+Mg(y)-xN-Nf(x)常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题

24、试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 又已知yM-xN=Nf(x)-Mg(y)所以yM-xN=edyygdxxf)()(0=0 即yM=xN，故此题中edyygdxxf)()(是方程 0,dyyxNdxyxM 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 常微分方程期中考试试卷(4)一、填空题 1方程yxxytandd2的所有常数解是 2方程0d)1(1)d(22yxyxyx的常数解是 3一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条

25、曲线 4方程0 yy的基本解组是 二、选择题 1n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个 （A）n （B）n-1 （C）n+1 （D）n+2 2李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分 3.方程21ddyxy过点)1,2(共有（）个解 （A）一 （B）无数 （C）两 （D）三 4方程xxyxydd（）奇解（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 5方程yxydd的奇解是（）（A）xy （B）1y （C）1y （D）0y 三、计算题 1.xy=22yx+y 2.tgydx-ctydy=0 3.0dd)2(

26、yxxyx 4.1ddxyxy 5.0d)ln(d3yxyxxy 四、求下列方程的通解或通积分 1.)1(dd2yxxyy 2.2)(ddxyxyxy 3.xyxy2e3dd 试卷答案 一、填空题 1.ky，,2,1,0k 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 2.1y，1x 3.2 4.xcos，xsin 二、选择题 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 三、计算题 1 解：将方程改写为y=21xy+xy（*）令 u=x

27、y,得到 y=xu+u,则(*)变为xdxdu=u1,变量分离并两边积分得 arcsinu=lnu+lnC,故方程的解为arcsinxy=lnCx。2 解：变量分离 ctgxdy=tgydx,两边积分得 ln(siny)=-lnxcos+C或sinycosx=C (*)另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k(k=0、1)，x=t+2(t=0、1)也是方程的解。tgy=0或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0时的特殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C。3.方程化为 xyxy21dd 令xuy，则xuxuxydddd，代入上式，得 uxux 1dd 分量变量，积分，通解为 1

28、Cxu 原方程通解为 xCxy2 4解 齐次方程的通解为 Cxy 令非齐次方程的特解为 xxCy)(代入原方程，确定出 CxxC ln)(原方程的通解为 Cxy+xxln 5解 因为xNxyM1，所以原方程是全微分方程 取)0,1(),(00yx，原方程的通积分为 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 Cyyxxyyx031dd即Cyxy441ln 四、求下列方程的通解或通积分 1解 当1y时，分离变量得 xxyyydd12

29、 等式两端积分得 12dd1Cxxyyy 122211ln21Cxy 1222e,e1CxCCy 方程的通积分为 2e12xCy 2解 令xuy，则xuxuydd，代入原方程，得 2dduuxuxu，2dduxux 当0u时，分离变量，再积分，得 Cxxuudd2 Cxuln1，Cxuln1 即通积分为：Cxxyln 3解 齐次方程的通解为 xCy3e 令非齐次方程的特解为 xxCy3e)(代入原方程，确定出 CxCx5e51)(原方程的通解为 xCy3e+x2e51 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的

30、存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 常微分方程期中考试试卷(5)一.解下列方程 1.1.xy=22yx+y 2.2.tgydx-ctydy=0 3.3.y-x(2x+2y)dx-xdy=0 4.4.2xylnydx+2x+2y21ydy=0 5.dxdy=6xy-x2y 6.y=22)12(yxy 7.已知 f(x)xdttf0)(=1,x0,试求函数 f(x)的一般表达式。8 一质量为 m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为1k）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为2k）。试求

31、此质点的速度与时间的关系。二 证明题 1.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。2 试证：在微分方程 Mdx+Ndy=0中，如果 M、N试同齐次函数，且 xM+yN0,则)(1yNxM 是该方程的一个积分因子。试题答案：一.解下列方程 1 解：将方程改写为 y=21xy+xy（*）令 u=xy,得到 xy=xu+u,则(*)变为 x dxdu=u1,变量分离并两边积分得 arcsinu=lnu+lnC,故方程的解为arcsinxy=lnCx。2 解：变 量 分 离 ctgxdy=tgydx,两 边 积 分 得 ln(siny)=lnxcos+C 或常数在上关于满足利普

32、希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 sinycosx=C (*)另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k(k=0、1)，x=t+2(t=0、1)也是方程的解。tgy=0或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0时的特殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C。3 解：ydx-xdy-x(2x+2y)dx=0,两边同除以2x+2y得 22ydxxdyyxxdx=0,即 d(arctgxy)12d2x=0,故原方程的解为 arctgxy

33、122x=C。4 解：My=2xlny+2x,Ny=2x,则 MNyxM=2 ln2lnxyxyy=1y,故方 程 有 积 分 因 子 y=1dyye=1y，原 方 程 两 边 同 乘 以1y得2lnxyyydx+2221yyyxdy=0 是恰当方程.d(2xlny)+y21ydy=0,两边积分得方程的解为2xlny+321231 y=C。5 解：1）y=0 是方程的特解。2）当 y0 时，令 z=1y得 dzdx=6xz+x.这是线性方程，解得它的通解为 z=268cxx 代回原来的变量 y 得方程解为1y=268cxx；y=0.6 解：令 x=u+3,y=v2,可将原方程变为dvdu=22

34、vu v，再令 z=vu，得到 z+dzuu=221zz，即dzuu=2211zzz，分离变量并两端积分得2121dzzz=duu+lnC 即 lnz+2arctgz=ln u+lnC，lnzu=2arctgz+lnC 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 代回原变量得 v=C2varctgue 所以，原方程的解为 y+2=C223yarctgxe.7 解：令 f(x)=y，1()f x=0()xf t dt，两边求导得1y

35、=y，即1yy=y，即31dyy=dx，两边求积得21y=2x+C，从而 y=12xC，故 f(x)=12xC.8 解：因为 F=ma=mdvdt，又 F=1F2F=12tvkk，即 mdvdt=12tvkk(v(0)=0)，即dvdt=12tvkk(v(0)=0)，解得 v=122mkk2tmke+12kk(t2mk).二、证明题 1.解：1）先找到一个特解 y=y。2）令 y=y+z，化为 n=2 的伯努利方程。证明：因为 y=y为方程的解，所以d ydx=P(x)2y+Q(x)y+R(x)(1)令 y=y+z，则有 d ydx+dzdx=P(x)2()y z+Q(x)()y z+R(x)

36、(2)(2)(1)得dzdx=P(x)2(2)yz z+Q(x)z 即dzdx=2P(x)y+Q(x)z+P(x)2z 此为 n=2 的伯努利方程。2.证明：如 M、N都是 n 次齐次函数，则因为 xxM+yyM=nM，xxN+yyN=nN，故有 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 MNy xMyNx xMyN=2()()()yyyxMyNM xNyxMyNNMM 2()()()xxxxMyNN xMyxMyNNNM=2(

37、)()()xxyM xyNN xyxMyNNNM=2()()()M nNN nMxMyN=0.故命题成立。常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎优秀学习资料 欢迎下载 常微分方程期中考试试卷(6)一、计算题.求下列方程的通解或通积分 1.0dd)2(yxxyx 2.0d)ln(d3yxyxxy 3.)1(dd2yxxyy 4.xyxy2e3dd 50dd)e(2yxxyxy 60)d1(d)cos2(2yxxxxy 72)(yyxy 二、证明题 8

38、.在方程)()(ddyyfxy中，已知)(yf，)(x在),(上连续，且0)1(求证：对任意0 x和10y，满足初值条件00)(yxy的解)(xy的存在区间必为),(9.设)(x在区间),(上连续试证明方程 yxxysin)(dd 的所有解的存在区间必为),(10.假设方程),(ddyxfxy在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且)(1xy，)(2xy是定义在区间I上的两个解求证：若)(01xy)(02xy，Ix 0，则在区间I上必有)(1xy)(2xy（)(1xy=)(2xy不可能出现，否则与解惟一矛盾 令)(xy=)(1xy-)(2xy，那么 )(0 xy=)(01xy-)(02xy 0 由连续函数介值定理，存在),(0*xxx，使得 )(*xy=)(*1xy-)(*2xy=0 即 )(*1xy=)(*2xy 这与解惟一矛盾 常数在上关于满足利普希兹条件存在唯一的解上连续且满足初始条件其若为齐次线性方程的一个基本解组一个特解则非齐次线性方程的所有解的存在区间求方程的奇解优秀学习资料欢迎下载三证明题试证若已知黎