2023年平面向量精选试卷(最新版).pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 平面向量精选试题 1、在矩形 ABCD中，O 是对角线的交点，若，则=（）A、B、C、D、分析：在矩形 ABCD中，=，=，=，由向量加法公式可得答案 解：矩形 ABCD中，O 是对角线的交点，=（+）=（+）=（3+5），故选 A 2、对于菱形 ABCD，给出下列各式：；=；+=4|2 其中正确的个数为（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 分析：由菱形图象可知这两个向量不相等错误，与两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到正确，把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，正确，有菱形的定义知正确 解答：解：由菱形图象可

2、知错误，这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到正确，把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，正确，有菱形的定义知正确 故选 C 点评：大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化 3、在 ABCD中，设=，则下列等式中不正确的是（）A、B、C、D、分析：由题意知本题是一个向量加减的运算，根据平行四边形法则和三角形法则知，以同一个顶点为起点的两条边和对角线所成的向量，对角线所在的向量等于两条边所在的向量之和，另一条对角所在的向量等于两条对角线所在的向量之差，注意方向 解答：解：根据向量加

3、法的平行四边形法则知，即，得到，故选 B 点评：用一组为基底向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题是一个简单的向量加减的问题，是一个基础题 4、已知向量 与 反向，下列等式中成立的是（）A、=|B、|=|C、|+|=|D、|+|=|分析：由于向量方向相反，那么向量和的模的等于向量模的差的绝对值，向量差的模等于向量模的和，可以找出正确的答案 解答：解：由已知：向量 与 反向，故选 C点评：本题主要是考查平行向量和共线向量的及相应模的运算 5、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0），（3，0），（1，5），则第四个点的坐标为（）A、（1，5）

4、或（5，5）B、（1，5）或（3，5）C、（5，5）或（3，5）D、（1，5）或（3，5）或（5，5）分析：利用平行四边形的对角线相交且被交点平方；通过对与哪一个点是对顶点分类讨论；利用中点坐标公式求出 解答：解：设第四个顶点为（x，y）当第四个顶点与（1，0）对顶点则 x1=4；y=5 解得 x=5，y=5 优秀学习资料 欢迎下载 当第四个顶点与（3，0）为对顶点则 x+3=0，y=5 解得 x=3，y=5 当第四个顶点与（1，5）为对顶点则 x+1=2；y5=0 解得 x=1，y=5 故选 D 点评：本题考查平行四边形的对角线相交且平分、考查中点坐标公式 6、与向量=（12，5）平行的单位

5、向量为（）A、B、C、或 D、或 分析：设出与向量=（12，5）平行的单位向量，求出 的模，利用，求出 解答：解：设与向量=（12，5）平行的单位向量，所以 =，或 故选 C 点评：本题考查向量共线，考查学生计算能力，是基础题 7、若|=，|=4，|=5，则 与 的数量积为（）A、10 B、10 C、10 D、10 分析：利用向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方；将已知条件中的三个等式平方求出两个向量的数量积 解答：解：故选 A 点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方，利用此性质常解决与向量模有关的问题 8、若将向量围绕原点按逆时针旋转得到向量，则 的坐标为（）A、B、C、

6、D、分析：由已知条件知 与 模相等，夹角为；利用向量的模的坐标公式及向量的数量积公式列出方程组，求出 解答：解：设，据题意知 x2+y2=5，解组成的方程组得，故选 B 点评：本题考查向量的模的坐标公式、考查利用向量的数量积公式求向量的夹角 9，设 kR,下列向量中，与向量 a=(1,-1)一定不平行的向量是（）Ab=(k,k)Bc=(-k,-k)Cd=(k2+2,k2+1)De=(k2-1,k2-1)C 解析：A、B、D都有可能为 0，而 0a,而 C中 d=(k2+2,k2+1),故 d 不平行 10；已知 e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是(

7、)A.e1+e2和 e1-e2 B.3e1-2 e2和 4e2-6 e1 C.e1+2e2和 e2+2 e1 D.e2和 e1+e2 等错误与两个向量的方向不同但是由菱形的定义可知他们的模长相等得的定义可知他们的模长相等得到正确把第三个结果中的向量减法变为加问题与几何问题的相互转化在中设则下列等式中不正确的是分析由题意优秀学习资料 欢迎下载 解析:4e1-6e1=-2(3 e1-2 e2),3e1-2 e2与 4e2-6 e1共线,不能为基底.答案:B 11、设 kR，下列向量中，与向量=（1，1）一定不平行的向量是（）A、B、C、D、分析：根据条件中所给的向量的坐标，代入两个向量平行的充要条

8、件进行验证，整理出充要条件是2k22，一定不等于零，一次得到这两个向量一定不平行 解答：解：=（k2+1）（k2+1）=2k22 2 这两个向量一定不平行，故选 C 点评：本题考查两个向量平行的充要条件，这个充要条件有两种表示形式，坐标形式是最直接的一种形式，解题时只要进行数字的运算，是一个基础题 12、已知向量|=10，|=12，且=60，则向量 与 的夹角为（）A、60 B、120 C、135 D、150 分析：利用向量的模、夹角形式的数量积公式，列出方程，求出两个向量的夹角余弦，求出夹角 解答：解：设向量的夹角为 则有：，所以 1012cos=60，解得 0，180 所以=120 故选

9、B 点评：本题考查利用向量的数量积公式解决两个向量的夹角问题注意两个向量夹角的范围是0，13、已知|=|=1，=，则平面向量 与 夹角的大小为（）A、B、C、D、分析：利用两个向量的数量积的定义求出 cos=，从而求得的值 解答：解：由两个向量的数量积的定义可得 =11cos，cos=，由于的范围为0，=，故选：C 点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题 14、已知向量|=|=，|+|=，则向量、夹角为（）A、B、C、D、分析：设向量、夹角为 ，根据条件可得=2+2cos+2=6，解得 cos=，可得 的值 解答：解：设向量、夹角为 ，向量|=|=，|+|=

10、，=2+2cos+2=6，解得 cos=，=，故选 D 点评：本题考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，求得 cos=，是解题的关键 等错误与两个向量的方向不同但是由菱形的定义可知他们的模长相等得的定义可知他们的模长相等得到正确把第三个结果中的向量减法变为加问题与几何问题的相互转化在中设则下列等式中不正确的是分析由题意优秀学习资料 欢迎下载 15、已知，且，则向量 与向量 的夹角是（）A、30 B、45 C、90 D、135 分析：欲求向量 与向量 的夹角，根据题目所给条件有：以及求出所求角的余弦值，再根据余弦值即可求出向量之间的夹角 解答：解：，所以 11cos=0，解得 cos

11、=，即=45，故选 B 点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角和数量积的相关运算 16、在 ABC中，D、E、F分别 BC、CA、AB的中点，点 M 是 ABC的重心，则等于（）A、B、C、D、分析：先用向量加法的平行四边形法则化简，再用三角形重心的性质：重心分中线为 求值 解答：解：设 AB的中点为 F 点 M 是 ABC的重心 故选 C 点评：考查向量在几何中的应用、向量加法法则及三角形重心的性质：重心分中线为，属于基础题 17、（2010 重庆）已知向量 a，b 满足 ab=0，|a|=1，|b|=2，则|2a b|=（）A、0 B、C、4 D、8 分析：利用题中条件，把所求|2|平方再

12、开方即可 解答：解：=0，|=1，|=2，|2|=2 故选 B 点评：本题考查向量模的求法，考查计算能力，是基础题 18、已知向量、满足，且，则=（）A、10 B、20 C、21 D、30 分析：先根据，两边平方得到；再结合响亮的模长计算公式，把其放到根号内先平方，再开方即可得到结论 解答：解：因为，所以：|=10 故选：A 点评：本题主要考查向量的模长计算解决问题的关键在于根据，两边平方得到 19、已知向量，满足=（2，0），ABC，=2+2，6，D为 BC边的中点，则=（）A、2 B、4 C、6 D、8 等错误与两个向量的方向不同但是由菱形的定义可知他们的模长相等得的定义可知他们的模长相等

13、得到正确把第三个结果中的向量减法变为加问题与几何问题的相互转化在中设则下列等式中不正确的是分析由题意优秀学习资料 欢迎下载 分析：表示出，代入向量，然后求出，即可 解答：解：因为 D为 BC边的中点，所以=（）=2 2=（1，）=故选 A 点评：本题考查平面向量的坐标运算，向量的模，考查计算能力，是基础题 20、已知，则向量 与向量 的夹角是 分析：据题意可得，=进一步利用向量夹角的范围求出夹角 解答：解：设的夹角为 则 即，=0，故答案为：点评：解决向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式进行解决但要注意向量夹角的范围 21、已知向量 m 与 n 满足|m|=1，|n|=2，且 m（m+n）

14、，则向量 m 与 n 的夹角为 120 分析：设的夹角为 ，由（），可得 （）=0，解出 cos 的值，根据 的范围，求出 的值 解答：解：设的夹角为 ，（），（）=+=1+12cos=0，cos=又 0，=120，故答案为：120 点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求出 cos=，是解题的关键 22、已知向量、的夹角为 60，则=分析：由已知中向量、的夹角为 60，我们易计算出2，2及 的值，进而计算出2，开方后即可得到 解答：解：向量、的夹角为 60，2=4，2=9，=3 2=42+24 =13 =故答案为：点评：本题考查的知识点是向量的模，其中根

15、据已知计算出2的值，是解答本题的关键 23、已知|=10，|=12，且（3）（）=36，则、的夹角为 120 分析：由已知中（3）（）=36，我们易得到 的值，再结合|=10，|=12，代入等错误与两个向量的方向不同但是由菱形的定义可知他们的模长相等得的定义可知他们的模长相等得到正确把第三个结果中的向量减法变为加问题与几何问题的相互转化在中设则下列等式中不正确的是分析由题意优秀学习资料 欢迎下载 即可得到向量、的夹角 解答：解：（3）（）=36，=60 又|=10，|=12 =又0180 =120 故答案为：120 点评：求出两个向量的夹角 时，是向量中求夹角的唯一公式，要求大家熟练掌握 24

16、、已知向量满足且，则实数 m=分析：由，可得=cossin+=0，求得 sin2 的值；据，得到 2=m（sin+cos），求出 m2的值，即可得到 m 的值 解答：解：，=cossin+=0，sin2=，=（sin+cos，），2=m（sin+cos），=m2（1+sin2），m2=，m=，故答案为：点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直、平行的性质，求出 sin2=，是解题的关键 25、已知平面上的向量、满足，=2，设向量，则的最小值是 2 分析：利用勾股定理判断出 PA，与 PB垂直，得到它们的数量积为 0；求的平方，求出范围 解答：解：，=0 =34 故答案为 2 点评

17、：本题考查勾股定理、向量垂直的充要条件、向量模的性质：模的平方等于向量的平方 26（2011 安徽）已知向量，满足（+2）（）=6，|=1，|=2，则 与 的夹角为 60 分析：由已知向量，满足（+2）（）=6，|=1，|=2，我们易求出 的值，代入 cos=，即可求出 与 的夹角 解答：解：（+2）（）=222+=18+=6 =1 cos=又090 =60 故答案为 60 或者 等错误与两个向量的方向不同但是由菱形的定义可知他们的模长相等得的定义可知他们的模长相等得到正确把第三个结果中的向量减法变为加问题与几何问题的相互转化在中设则下列等式中不正确的是分析由题意优秀学习资料 欢迎下载 点评：

18、本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中求夹角的公式 cos=要熟练掌握 27、已知|=1，|=2，与 的夹角为 （）求 ；（）向量+与向量 的夹角为钝角，求实数 的取值范围 分析：求出两个向量的数量积；由向量的数量积公式将两个向量所成的角为钝角转化为数量积小于 0 且不为反向 解答：解：（）=2x1x=1（）（+）（）=2+（21）2=+214=23 1因为+与向量 的夹角为钝角的夹角为钝角，所以（）0，令 23 10，得 28、已知|p|=2，|q|=3，向量 p 与 q 的夹角为，求以向量 a=5p+2q，b=p3q 为邻边的平行四边形两条对角线之长 分析：以，为邻边作平行四边形

19、，则此平行四边形的两条对角线分别为+，分别求出他们的模，然后进行比较，即可得到结论 解答：解：以 a、b 为邻边平行四边行的两对角线之长可分别记为|a+b|，|a b|a+b=（5p+2q）+（p3q）=6pqab=（5p+2q）（p3q）=4p+5q|a+b|=|6p q|=15|a b|=|4p+5q|=29、非零向量满足|=|=|，则，的夹角为 120 分 析：要 求，的 夹 角，只 需 将|=|=|平 方 得：，即，cos，=，在根据解三角方程知识即可 解答：解：|=|=|将|=|=|平方得：，即，cos，=cos，=，0，的夹角为 120 故答案为 120 30、在四边形 ABCD中

20、，若，且|=|，则四边形 ABCD的形状是 矩形 分析：利用平面向量加法的平行四边形法则，根据四边形 ABCD中，若，我们易根据 等错误与两个向量的方向不同但是由菱形的定义可知他们的模长相等得的定义可知他们的模长相等得到正确把第三个结果中的向量减法变为加问题与几何问题的相互转化在中设则下列等式中不正确的是分析由题意优秀学习资料 欢迎下载|=|，结合矩形判定定理，判断出四边形 ABCD的形状 解答：解：在四边形 ABCD中，若，向量和分别表示平行四边形 ABCD的两条对角线，若|=|，则表示两条对角线长度相等，根据矩形的判定定理，我们可得四边形 ABCD是矩形 故答案为：矩形 31，已知向量 a

21、=(3,4)，b=(2，-1)，如果向量 a+b 与向量-b互相垂直，则实数 的值为()A.B.C.2 D.-解析：a+b=(3,4)+(2,-1)=(3+2,4-),-b=(-2,1),若(a+b)(-b)，则-2(3+2)+4-=0.=-.故选 D.32、已知向量=（1，3），=（2，1），若+2 与 3+平行，则 的值等于（）A、6 B、6 C、2 D、2 分析：根据=（1，3），=（2，1）求出+2 与 3+然后根据平面向量共线的坐标表示代入计算即可得解 解答：解：=（1，3），=（2，1）+2=（5，5），3+=（3+2，9+）又+2 3+5（9+）5（3+2）=0 =6 故选 B

22、点评：本题主要考查了平面向量线性的坐标计算和平面向量共线的坐标表示解题的关键是要牢记平面向量共线的坐标表示：x1y2x2y1=0，33，给定两个向量平行，则 x 的值等于（）A、1 B、C、2 D、分析：利用向量的先求出两个向量的坐标，再利用向量共线时坐标交叉相乘相等，列出方程，求出 x 的值 解答：解：因为，所以 因为 所以（1+2x）0=4（12x）解得 故选 B 点评：解决两向量共线关系时，常利用向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等 34、已知平面向量，则向量（）A、平行于 x 轴 B、平行于第一、三象限的角平分线 C、平行于 y 轴 D、平行于第二、四象限的角平分线 分析：直

23、接利用平面向量的坐标运算法则计算，然后判断即可 解答：解：，其横坐标恒大于零，纵坐标为零，向量平行于 x 轴，故选 A 35、已知向量=（1，0），=（2，1）若向量 与+3 平行，则实数=分析：利用向量的坐标运算求出两个向量的坐标，然后利用向量共线的充要条件乐驰方程，求出 的值 等错误与两个向量的方向不同但是由菱形的定义可知他们的模长相等得的定义可知他们的模长相等得到正确把第三个结果中的向量减法变为加问题与几何问题的相互转化在中设则下列等式中不正确的是分析由题意优秀学习资料 欢迎下载 解答：解：，3（2）=5 故答案为 36、已知 为单位向量，|=4，与 的夹角为，则 在 方向上的投影为 2 分析：由题意要求 在 方向上的投影，利用投影的定义可知应该为：，而又知|=4，与 的夹角为，代入即可 解答：解：因为利用投影的定义可知 在 方向上的投影为：，又知|=4，与 的夹角为，所以=4=2 故答案为：2 等错误与两个向量的方向不同但是由菱形的定义可知他们的模长相等得的定义可知他们的模长相等得到正确把第三个结果中的向量减法变为加问题与几何问题的相互转化在中设则下列等式中不正确的是分析由题意