2023年必修三数学知识点总结归纳全面汇总归纳--.pdf

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1、学习必备 精品知识点 必修 5 第一章 解三角形 1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC 2、正弦定理的变形公式：2 sinaR，2 sinbR，2 sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形 ABC中，已知 a、b、A（

2、A为锐角）求 B。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把 a 扰着 C点旋转，看所得轨迹以 AD有无交点：当无交点则 B无解、当有一个交点则 B有一解、当有两个交点则 B有两个解。法二：是算出 CD=bsinA,看 a 的情况：当 absinA，则 B无解 当 bsinAb 时，B有一解 注：当 A为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac 4、余弦定理：在C中，有2222 cosabcbc ，2222cosbacac ，2222coscababC 5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos

3、2abcCab(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90C；若222abc，则90C；若222abc，则90C 正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标 A、B,但不能到达，在岸边选取相距3千米的 C、D两点，并测得ACB=75O,BCD=45O,ADC=30O,ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标 A、B之间的距离。本题解答过程略 附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点

4、.垂心：三角形三边上的高相交于一点 D bsinA A b a C C A B D 学习必备 精品知识点 第二章 数列 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数 2、数列的项：数列中的每一个数 3、有穷数列：项数有限的数列 4、无穷数列：项数无限的数列 5、递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an）6、递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+10,d0 时，满足001mmaa的项数 m使得ms取最大值.(2)当1a0 时，满足001mmaa的项数 m使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。边和其中边一所对的角

5、题型要注意解所对情况两无要注三解如个法二是二算出看当则有或时看为钝形设况若正余要注设弦定理综有当则有或时合应用图设况当示隔设况设?况二?中?形?钝?学习必备 精品知识点 附：数列求和的常用方法 1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于 1nnaac其中 na是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。例题：已知数列an的通项为 an=1(1)n n,求这个数列的前 n 项和 Sn.解：观察后发现：an=111nn 1211111(1)()()2231111nnsaaannn 3.错位相减法:适用于 nnba其中 na是等差

6、数列，nb是各项不为 0 的等比数列。例题：已知数列an的通项公式为2nnan，求这个数列的前 n 项之和ns。解：由题设得：123nnsaaaa =1231 22 23 22nn 即ns=1231 22 23 22nn 把式两边同乘 2 后得 2ns=23411 22 23 22nn 用-，即：ns=1231 22 23 22nn 2ns=23411 22 23 22nn 得 23111111 222222(12)212222(1)22nnnnnnnnsnnnn 1(1)22nnsn 4.倒序相加法:类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.边和其中边一所对的角题型要注意解所对情况两无要注三

7、解如个法二是二算出看当则有或时看为钝形设况若正余要注设弦定理综有当则有或时合应用图设况当示隔设况设?况二?中?形?钝?学习必备 精品知识点 5.常用结论 1）:1+2+3+.+n=2)1(nn 2）1+3+5+.+(2n-1)=2n 3）2333)1(2121nnn 4）)12)(1(613212222nnnn 5）111)1(1nnnn )211(21)2(1nnnn 6）)()11(11qpqppqpq 第三章 不等式 1、0abab ；0abab ；0abab 2、不等式的性质：abba；,ab bcac；abacbc ；,0ab cacbc，,0ab cacbc；,ab cdacbd

8、；0,0abcdacbd ；0,1nnababnn ；0,1nnabab nn 3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 4、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 （1）整式不等式（高次不等式）的解法 穿根法（零点分段法）求解不等式：)0)(0(0022110aaxaxaxannnn 解法：将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.0 0 0 二次函数 cbxaxy2（0a）的图象 +-2 1 4 x 边和其中边一所对的角题型要

9、注意解所对情况两无要注三解如个法二是二算出看当则有或时看为钝形设况若正余要注设弦定理综有当则有或时合应用图设况当示隔设况设?况二?中?形?钝?学习必备 精品知识点 一元二次方程 的根002acbxax 有两相异实根)(,2121xxxx 有两相等实根 abxx221 无实根 的解集)0(02acbxax 21xxxxx 或abxx2 R 的解集)0(02acbxax 21xxxx 对于 a0(或)()(xgxf0)；)()(xgxf 0(或)()(xgxf 0)的形式，2）转化为整式不等式（组）0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf 例题：求解不等

10、式：11x 解：略 例题：求不等式11xx的解集。(3).含绝对值不等式的解法：基本形式：型如：|x|a (a0)的不等式 的解集为：|xaxa 型如：|x|a (a0)的不等式 的解集为：|,x xaxa 或 变型：|(0)|axbc cxcaxbc 型的不等式的解集可以由解得。其中-cax+bc 等价于不等式组axbcaxbc 在解-cax+b0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：设 ax2+bx+c=0 的两根为、，f(x)=ax2+bx+c,那么：若两根都大于 0，即0,0，则有000 对称轴 x=2ba y o x 92 112 5()f x=10 y 3 o 2 x 边和其中边

11、一所对的角题型要注意解所对情况两无要注三解如个法二是二算出看当则有或时看为钝形设况若正余要注设弦定理综有当则有或时合应用图设况当示隔设况设?况二?中?形?钝?学习必备 精品知识点 若两根都小于 0，即0,0，则有002(0)0baf 若两根有一根小于 0 一根大于 0，即0，则有(0)0f 若两根在两实数 m,n 之间，即mn ，则有02()0()0bmnaf mf n 若两个根在三个实数之间，即mtn ，则有()0()0()0fmftfn 常由根的分布情况来求解出现在 a、b、c 位置上的参数 例如：若方程222(1)230 xmxmm 有两个正实数根，求m的取值范围。解：由型得000 22

12、24(1)4(23)02(1)0230mmmmmm111,3mmmm或3m 所以方程有两个正实数根时，3m。又如：方程2210 xxm 的一根大于 1，另一根小于 1，求m的范围。解：因为有两个不同的根，所以由 对称轴 x=2ba o x y o y x X=2ba n x m o y X=2ba y o m t n x 边和其中边一所对的角题型要注意解所对情况两无要注三解如个法二是二算出看当则有或时看为钝形设况若正余要注设弦定理综有当则有或时合应用图设况当示隔设况设?况二?中?形?钝?学习必备 精品知识点 0(1)0f2222(1)4(1)01110mm 552211mm 11m 5、二元一

13、次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式 6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组 7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对,x y，所有这样的有序数对,x y构成的集合 8、在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC ，坐标平面内的点00,xy 若0，000 xyC ，则点00,xy在直线0 xyC 的上方 若0，000 xyC ，则点00,xy在直线0 xyC 的下方 9、在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC （一）由 B确定：若0，则0 xyC 表示直线0 xyC 上方的区域；0 xyC 表示直线0 xyC 下方的区域 若

14、0，则0 xyC 表示直线0 xyC 下方的区域；0 xyC 表示直线0 xyC 上方的区域（二）由 A的符号来确定：先把 x 的系数 A化为正后，看不等号方向：若是“”号，则0 xyC 所表示的区域为直线 l:0 xyC 的右边部分。若是“”号，则0 xyC 所表示的区域为直线 l:0 xyC 的左边部分。（三）确定不等式组所表示区域的步骤：画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线 定测：由上面（一）（二）来确定 求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。例题：画出不等式组25035250 xyyxyx 所表示的平面区域。解：略 10、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等

15、式组，是x，y的线性约束条件 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式 线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题 可行解：满足线性约束条件的解,x y 边和其中边一所对的角题型要注意解所对情况两无要注三解如个法二是二算出看当则有或时看为钝形设况若正余要注设弦定理综有当则有或时合应用图设况当示隔设况设?况二?中?形?钝?学习必备 精品知识点 可行域：所有可行解组成的集合 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解 11、设a、b是两个正数，则2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数 12

16、、均值不等式定理：若0a，0b，则2abab，即2abab 13、常用的基本不等式：222,abab a bR；22,2ababa bR；20,02ababab；222,22ababa bR 14、极值定理：设x、y都为正数，则有：若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值24s 若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2 p 例题：已知54x，求函数1()4245f xxx 的最大值。解：54x，450 x 由原式可以化为：1111()4552(54)3(54)3(54)313245545454f xxxxxxxxx 当15454xx，即2(54)1x31(2xx，或舍去）时取到“=”号 也就是说当1x 时有max()2f x 边和其中边一所对的角题型要注意解所对情况两无要注三解如个法二是二算出看当则有或时看为钝形设况若正余要注设弦定理综有当则有或时合应用图设况当示隔设况设?况二?中?形?钝?