2023年平面解析几何知识点总结归纳全面汇总归纳.pdf

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1、学习必备 精品知识点 平面解析几何知识点归纳 知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角的取值范围为),0 2.斜率：)2(tanak，Rk 斜率公式：经过两点),(111yxP，),(222yxP)(21xx 的直线的斜率公式为121221xxyykPP 3.直线方程的几种形式 名称 方程 说明 适用条件 斜截式 bkxy k是斜率 b是纵截距 与x轴不垂直的直线 点斜式)(00 xxkyy),(00yx是直线上的已知点 两点式 121121xxxxyyyy),(2121yyxx),(),(2211yxyx是直线上的两个已知

2、点 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 1byax a是直线的横截距 b是直线的纵截距 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 0CByAx)0(22 BA 当0B时，直线的横截距为AC 当0B时，BCACBA,分别为直线的斜率、横截距，纵截距 所有直线 能力提升 斜率应用 例 1.已知函数)1(log)(2xxf且0cba，则ccfbbfaaf)(,)(,)(的大小关系 学习必备 精品知识点 例 2.已知实数yx,满足)11(222xxxy，试求23xy的最大值和最小值 两直线位置关系 两条直线的位置关系 位置关系 222111:bxkylbxkyl 0:0:22221111CyBxAlC

3、yBxAl 平行 21kk，且21bb 212121CCBBAA(A1B2-A2B1=0)重合 21kk，且21bb 212121CCBBAA 相交 21kk 2121BBAA 垂直 121 kk 02121 BBAA 设两直线的方程分别为：222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl；当21kk 或1221BABA时它们相交，交点坐标为方程组2211bxkybxky或00222111CyBxACyBxA 直线间的夹角：若为1l到2l的角，12121tankkkk或21211221tanBBAABABA；若为1l和2l的夹角，则12121tankkkk或

4、21211221tanBBAABABA；当0121 kk或02121 BBAA时，o90；直线1l到2l的角与1l和2l的夹角：)2(方程说明适用条件斜截式是斜率是纵截距与轴不垂直的直线点斜式是直时直线的横截距为时当分别为直线的斜率横截距纵截距所有直线能力提相交垂直设两直线的方程分别为或当或时它们相交交点坐标为方程组或学习必备 精品知识点 或)2(；距离问题 1.平面上两点间的距离公式),(),(222111yxPyxP 则 )()(121221yyxxPP 2.点到直线距离公式 点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd 3.两平行线间的距离公式 已知两条平行

5、线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd 4.直线系方程:若两条直线1l：0111CyBxA，2l：0222CyBxA有交点，则过1l与2l交点的直线系方程为)(111CyBxA0)(222CyBxA或)(222CyBxA+0)(111CyBxA(为常数)对称问题 1.中点坐标公式：已知点),(),(2211yxByxA，则BA,中点),(yxH的坐标公式为222121yyyxxx 点),(00yxP关于),(baA的对称点为)2,2(00ybxaQ，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。2.轴 对 称：点),(ba

6、P 关 于 直 线)0(0BcByAx的 对 称 点 为),(nmP，则 有0221)(a-mb-nCnbBmaABA，直线关于直线对称问题可转化 为点关于直线对称问题。（1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(baA关于),(dcC的对称点)2,2(bdac 方程说明适用条件斜截式是斜率是纵截距与轴不垂直的直线点斜式是直时直线的横截距为时当分别为直线的斜率横截距纵截距所有直线能力提相交垂直设两直线的方程分别为或当或时它们相交交点坐标为方程组或学习必备 精品知识点 直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，

7、再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用21/ll由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线0632:1 yxl关于点)1,1(P对称的直线2l的方程。点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点)5,3(A关于直线0443:yxl对称的坐标。直线关于直线对称：（设ba,关于l对称）、若ba,相交，则a到l的角等于b到l的角；若la/，则lb/，且ba,与l的距离相等。、求出a上两个点BA,关于l的对称点，在

8、由两点式求出直线的方程。、设),(yxP为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点P的坐标适合a的方程。如：求直线042:yxa关于0143:yxl对称的直线b的方程。能力提升 例 1.点)1,2(P到直线)(03Rmymx的最大距离为 例 2.已知点)1,3(A，在直线xy 和0y上各找一点M和N，使AMN的周长最短，并求出周长。线性规划问题：（1）设点),(00yxP和直线0:CByAxl，若点P在直线l上，则000CByAx；若点P在直线l的上方，则0)(00CByAxB；若点P在直线l的下方，则0)(00CByAxB；（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式)0(

9、0 CByAx，方程说明适用条件斜截式是斜率是纵截距与轴不垂直的直线点斜式是直时直线的横截距为时当分别为直线的斜率横截距纵截距所有直线能力提相交垂直设两直线的方程分别为或当或时它们相交交点坐标为方程组或学习必备 精品知识点 当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线CByAx中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值

10、的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解),(yx叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越大；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越小；当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越小；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ayxz取得最小值的最优解有无数个，则a为 ；（1）设点),(00yxP和直线0:CByAxl，若点P在直线l上，则000CByAx；若点P在直线l的上方

11、，则0)(00CByAxB；若点P在直线l的下方，则0)(00CByAxB；（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式)0(0 CByAx，当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；x y O A(1,1)B(5,1)C(4,2)方程说明适用条件斜截式是斜率是纵截距与轴不垂直的直线点斜式是直时直线的横截距为时当分别为直线的斜率横截距纵截距所有直线能力提相交垂直设两直线的方程分别为或当或时它们相交交点坐标为方程组或学习必备 精品知识点 0CByAx表示直线

12、0:CByAxl上方的区域；注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线CByAx中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解),(yx叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越大；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越小；当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越小；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域

13、内（阴影部分且包括周界），目标函数ayxz取得最小值的最优解有无数个，则a为 ；圆与方程 2.1 圆的标准方程：222)()(rbyax圆心),(baC，半径r 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.2.2 点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r：(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 dr；(3)点在圆内 dr 2.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.M在圆C内22020)()(rbyax M在圆C上22020)()rbyax（M在圆C外22020)()(rbyax 2.3 圆的一般方程：022FEyDxyx.x y O A(1,1

14、)B(5,1)C(4,2)方程说明适用条件斜截式是斜率是纵截距与轴不垂直的直线点斜式是直时直线的横截距为时当分别为直线的斜率横截距纵截距所有直线能力提相交垂直设两直线的方程分别为或当或时它们相交交点坐标为方程组或学习必备 精品知识点 当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.当0422FED时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0 CA且0422AFED.圆的直径系方程：已知 AB是圆的直径 0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxBy

15、xA 2.4 直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种，d 是圆心到直线的距离，(22BACBbAad（1）rd 相离0；(2)rd 相切0；（3）rd 相交0 2.5 两圆的位置关系 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21。（1）条公切线外离421rrd；（2）条公切线外切321rrd；（3）条公切线相交22121rrdrr；（4）条公切线内切121rrd；（5）无公切线内含 210rrd；外离 外切 相交 内切 内含 圆的切线方程：1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径 r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为

16、负倒数）2.圆222ryx的斜率为k的切线方程是rkkxy21过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx.一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2.特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.方程说明适用条件斜截式是斜率是纵截距与轴不垂直的直线点斜式是直时直线的横截距为时当分别为直线的斜率横截距纵截距所有直线能力提相交垂直设两直线的方程分别为或当或时它们相交交点坐标为方程组或学习必备 精品知识点 若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程.3.圆的弦长问题：1.半弦2L、半径 r、弦心距 d 构成直角三角形，满足勾股定理：2222dRL 2、弦长公式（设而不求）：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxAB）（）（方程说明适用条件斜截式是斜率是纵截距与轴不垂直的直线点斜式是直时直线的横截距为时当分别为直线的斜率横截距纵截距所有直线能力提相交垂直设两直线的方程分别为或当或时它们相交交点坐标为方程组或