2023年教师版中考数学专题复习第一轮第二讲代数式.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 中考数学专题复习第一轮第二讲 代数式 重点代数式的有关概念及性质，代数式的运算 一、重要概念 分类：1.代数式、有理式、无理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。有根号的代数式叫无理式，如：a、22ab。没有根号的代数式叫有理式。如：a、22ab。2.整式和分式 分母中含有字母的代数式叫做分式。如：1a。分母中不含有字母的代数式叫做整式。整式和分式统称有理式，或含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。3.单项式与多项式 数字和字母之间，字母和字母之间只有乘除运算的代数式叫单项式。如：23a bc，213a bc。单

2、独的一个数或字母也是单项式。如：a、0、-3。几个单项式的和或差，叫做多项式。说明：根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如xx为分式。4.系数与指数 区别与联系：从位置上看;从表示的意义上看 5.同类项及其合并 条件：字母相同;相同字母的指数相同。合并依据：乘法分配律 6.根式 表示方根的代数式叫做根式。含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。注意：从外形上判断;区别：3、7是根式，但不是无理式，是无理数。7.各种方根的概念 1.平方根:如果

3、一个数的平方等于另一个数,那么这个数叫另一个数的平方根.即:2,aaa叫 的平方根 记作 2.算术平方根：一个正数的平方等于另一个数，这个正数叫另个一数的算术平方根。a的算术根记作：a 正数 a 的正的平方根（aa 0与“平方根”的区别）;单项式 多项式 整式 分有理式 无理式 代数式 学习必备 欢迎下载 算术平方根与绝对值 联系：都是非负数，2a=a 区别：a中，a 为一切实数;a中，a 为非负数。3.立方根：一个数的立方等于另一个数，这个数叫另个一数的立方根。如：33,aaa叫 的立方根 记作 8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化 化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类

4、二次根式。把分母中的根号划去叫做分母有理化。9.指数(na幂，乘方运算)a0 时，na0;a0 时，na0（n 是偶数），na0（n 是奇数）零指数公式：0a=1（a0）负整指数公式：1(0,)ppaapa是正整数 二、运算定律、性质、法则 1分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 2分式的性质 基本性质：ab=ambm（m 0）符号法则：ababab 繁分式：定义：当分式 B分之 A的分子、分母中至少有一个是分式的式子。化简方法（两种）：（1）利用除法法则;(2)利用分式的基本性质 3整式运算法则（去括号、添括号法则）4幂的运算性质：同底数幂相乘：mana=nma;同底数幂相除：mana=nm

5、a;幂的乘方：nma)(=mna;积的乘方：nab)(=nanb;分式乘方：nnnbaba)(（注意：凡是公式都可以倒用）技巧：ppbaab)()(5乘法法则：单单;单多;多多。6乘法公式：2222)(bababa ;（a+b）（a-b）=22ba (ab)(22baba=33ba （注意：凡是公式都可以倒用）7除法法则：单单;多单。aaa=na n 个 叫做代数式单独的一个数或字母也是代数式有根号的代数式叫无理式如运算的代数式叫做有理式单项式与多项式数字和字母之间字母和字母之中有否加减运算把单项式多项式区分开进行代数式分类时是以所给的代学习必备 欢迎下载 8 因式分解：定义;方法：A.提公因

6、式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。9算术根的性质：2aa;)0()(2 aaa;baab(a 0,b 0);baba(a 0,b 0)（注意：凡是公式都可以倒用）10根式运算法则：加法法则（合并同类二次根式）;乘、除法法则;分母有理化：A.a1;B.aabab;C.bnam1.考点解读 例 1.分解因式：解：说明：在解题前应先观察题目特征，灵活选取分解方法，往往一题有几种解法或一题需要综合运用几种方法。分解因式一定要分解到不能分解为止。例 2.已知的值。解：（）（）（）；1216123xax（）（）；2164222xx（）。38162234x yxyy（）（）（

7、）1216123xax211312133122（）（）（）（）xaxxaxa（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）2164444444444422222222222222xxxxxxxxxxxxxx（）（）（）（）3816816844223422222222x yxyyyxxyyyxxyyyxyxxxx 12 3144，求xxxx44222112（）叫做代数式单独的一个数或字母也是代数式有根号的代数式叫无理式如运算的代数式叫做有理式单项式与多项式数字和字母之间字母和字母之中有否加减运算把单项式多项式区分开进行代数式分类时是以所给的代学习必备 欢迎下载 说明：此题是反复运用完全平方公式，把变形

8、为关于的代数式，从而使问题得到解决。这是利用条件求值问题的一个基本思路。例 3.当 x 取何值时，分式223223xxxx有意义？分式的值等于零？简析：当分母等于零时，分式没有意义，此外分式都有意义；当分子等于零时，并且分母不等于零时，分式的值等于零。解：当分母，即时，分式有意义。根据题意，得 所以，当 x=2 时，分式的值等于零。说明：（1）讨论分式有无意义时，一定对原分式进行讨论，而不能先化简，再对化简后的分式讨论。（2）讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行。（3）在解分式的有关问题时，应特别注意分母不为零这个隐含条件。例 4.化简：，其中。解：（）（）xx1222 32210

9、29822222xx441xx1xx2230 xx13且xxxx223223xxxx2232012302 由解得或 112xx由解得且 213xxxxxx223223aaa2694|34 aaaa2694|（）aaaa34342|因为34 a所以 aaa2694|aaaa34341叫做代数式单独的一个数或字母也是代数式有根号的代数式叫无理式如运算的代数式叫做有理式单项式与多项式数字和字母之间字母和字母之中有否加减运算把单项式多项式区分开进行代数式分类时是以所给的代学习必备 欢迎下载 说明：化简二次根式，往往把被开方数化为完全平方式，根据二次根式性质化去根号，转化为绝对值问题，然后再根据绝对值定

10、义化去绝对值符号。例 5.已知实数 a 满足，求的值。说明：对于分式条件求值问题，要特别注意求得的未知数的值应使原分式有意义。聚焦中考：一：选择题 1、(广州）下列函数中，自变量的取值范围是3 的是（）（A）（B）（C）（D）2、（荆门）若=(xy)2，则 xy 的值为()(A)1 (B)1 (C)2 (D)3 3、（包头）化简，其结果是（）A B C D 4、(青海)在函数中，自变量的取值范围是（）A且 B且 C D 5、（山东济宁，）若，则的值为（）A1 B1 C7 D7 aa2|aa220 11312143222aaaaaaa由，解得，aaaa2122012 因为当时，所以舍去aaa 1

11、101211312143222aaaaaaa11311131111121222aaaaaaaaaaa（）（）（）（）（）（）（）当时，原式（）a 222122xx31xy31xy3xy3 xy11xx 22424422xxxxxxx82x82x82x82x32xyxx3x0 x 3x0 x 0 x 3x0)3(12yyxyx叫做代数式单独的一个数或字母也是代数式有根号的代数式叫无理式如运算的代数式叫做有理式单项式与多项式数字和字母之间字母和字母之中有否加减运算把单项式多项式区分开进行代数式分类时是以所给的代学习必备 欢迎下载 6、（茂名）已知：一个正数的两个平方根分别 是和，则的值是 7、（广

12、州）下面的计算正确的是（）A3x24x2=12x2 Bx3x5=x15 Cx4x=x3 D(x5)2=x7 8、（聊城）如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（）A5n B5n1 C6n1 D2n21 9、（河池）化简的结果为 【】A B C D1 10、（襄樊）化简：211()(3)31xxxx 的结果是（）A2 B21x C23x D41xx 11.若 x2mx25 是一个完全平方式，则 m的值是（）。A20 B10 20 10 12.如果(2 x)2 (x 3)2（x2）（3x），那么 x 的取值范围是（）。Ax3 B x 2 x3 2x3 13.二：填空题

13、1、（广州）定义新运算“”，规定：ab=13a4b，则 12()2、（肇庆）如图 5 所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第（是大于 0 的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 3、（内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆.（用含 n 的代数式表示）22 a4aa29333aaaaaaa 23a nn第 1 个图形第 2 个图形 第 3 个图形 第 4 个图形 第 3 题图 叫做代数式单独的一个数或字母也是代数式有根号的代数式叫无理式如运算的代数式叫做有理式单项式与多项式数字和字母之间字母和字母之中有否加

14、减运算把单项式多项式区分开进行代数式分类时是以所给的代学习必备 欢迎下载 4、（1 甘肃）观察：1234111111113243546aaaa ，则na (n=1，2，3，).5、（湘西）对于任意不相等的两个数 a，b，定义一种运算如下：ab=，如 32=那么 124=6、（鄂尔多斯）已知关于x的方程232xmx的解是正数，则m的取值范围为_.7、（凉山州）若03 ba，则 =8、（凉山州）已知：442 xx与1y互为相反数，则式子)()(yxxyyx的值等于 9、求和：.三：解答题 1、（广东）先简，求值 xxxxx224422，其中=2 2、（梅州）解方程：122122xxxx（2010，

15、中山）化简：11222yxyxyx=_ 3、（深圳）化简分式a29a26a9 a3a23a aa2a21 然后在 0，1，2，3 中选一个你认为合适的 a 值，代入求值 baba52323211321431201020091x222242)21(babababab叫做代数式单独的一个数或字母也是代数式有根号的代数式叫无理式如运算的代数式叫做有理式单项式与多项式数字和字母之间字母和字母之中有否加减运算把单项式多项式区分开进行代数式分类时是以所给的代学习必备 欢迎下载 4、(桂林）先化简，再求值：22211()x yxyxyxy，其中31,31xy 5、（武汉）先化简，再求值：(x 225x)42

16、3xx，其中 x=2 3。6、（黄石）先化简，再求值：ab1b-a1baab.其中 a21,b2.7、（湘潭）先化简，再求值：2121()()，其中，xyxyy xyx xy 8、（肇庆）化简求值：1 1 x2 x22x1 x24其中 x5.9、（广州）分解因式 8(x22y2)x(7xy)xy 10、（东营）先化简，再求值：，其中.11、（中山）计算(1)(2)22112()2yxyxyxxyy,23 x23 y002(20111)18sin 452001(20111)18sin452叫做代数式单独的一个数或字母也是代数式有根号的代数式叫无理式如运算的代数式叫做有理式单项式与多项式数字和字母

17、之间字母和字母之中有否加减运算把单项式多项式区分开进行代数式分类时是以所给的代学习必备 欢迎下载 (3)12.已知 Aa 2，B a 2a5，Ca 25a19，其中 a2（1）求证：BA0，并指出 A 与 B 的大小关系；（2）指出 A 与 C 哪个大？说明理由（1）BA（a1）2+2 0 所以 BA （2）解一：C-A=a 25a19-a-2=a2+4a-21=(a+2)2-25 分析：当(a+2)2-25=0时 a=3；当(a+2)2-250 时 2 a3；当(a+2)2-250 时 a 3 解二：CA=a 25a19-a-2=a2+4a-21=（a7）（a3）因为 a2，所以 a70 从

18、而当 2a3 时，AC，当 a2 时，AC，当 a3 时，AC 13.已知：a+b=8，ab=16+c2，求（a-b+c）2002的值。分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c）2002的值，可利用（a-b）2=（a+b）2-4ab确定a-b与c的关系，再计算（a-b+c）2002的值。解：（a-b）2=（a+b）2-4ab=82-4（16+c2）=-4c2。即：（a-b）2+4c2=0。a-b=0，c=0。（a-b+c）2002=0。14.已知：a、b、c、d为正有理数，且满足a4+b4+C4+D4=4abcd。求证：a=b=c=d。证明：a4+b4+C4+D4=4abcd，a4-2a2b2

19、+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0，（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0。a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0 又a、b、c、d为正有理数，a=b，c=d。代入ab-cd=0，得a2=c2，即a=c。所以有a=b=c=d。15.试确定的个位数字 解：32003=34500+3=（34）50033=（81）50027 32003的个位数字是7 01(3)271232 32003叫做代数式单独的一个数或字母也是代数式有根号的代数式叫无理式如运算的代数式叫做有理式单项式与多项式数字和字母之间字母和字母之中有否加减运算把单项式多项式区

20、分开进行代数式分类时是以所给的代学习必备 欢迎下载 16.已知，试求的值。剖析：欲求1173xy的值，只有先求得x、y的值。为此必须逆用幂的运算法则，把已知等式化为同底数幂，由指数相等列出方程组求解。解：把已知等式化为同底数幂，得：解之得：原式=11216573 17.已知x、y都为正数，且，求x+y的值。解：因为只有同类二次根式才能合并，而 又 所以设（a、b为正整数），则有 即得a+b=3。所以a=1，b=2或a=2，b=1。x=222，y=888 或x=888，y=222。x+y=1110。18.若a、b、c为有理数，且等式 解：而 因此，2a+999b+1001c=2000。19.(本

21、题满分7分)方程 解：考虑到x，y的对称性得所求整数对为（0，336），（336，0），（21，189），（189，21），（84，84）。共有5对。289319xyyx，1713xy22333329xyyx，xyyx3329xy216xy 1998xyxy 19981998，说明、都与是同类二次根式。19983 222，xayb222222,ab2222223 222,abcabc2352 629991001,则的值是 52 623232（）。abc2352 6,abcabcabc2323011.,.、为有理数，比较系数得xyx y 336的整数解（）的组数是（）,3364 2104 21213 212 212 21，叫做代数式单独的一个数或字母也是代数式有根号的代数式叫无理式如运算的代数式叫做有理式单项式与多项式数字和字母之间字母和字母之中有否加减运算把单项式多项式区分开进行代数式分类时是以所给的代