2023年指数函数典型例题详细解析.pdf

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1、优秀教案 欢迎下载 指数函数例题解析 第一课时 【例 1】（基础题）求下列函数的定义域与值域：(1)y3(2)y(3)y12 x213321xx 解 (1)定义域为x|x R 且 x2值域y|y 0 且 y1(2)由 2x+210，得定义域x|x 2，值域为|y|y 0(3)由 33x-10，得定义域是x|x 2，033x13，值域是 0y3 1.指数函数 Y=ax（a0 且 a1）的定义域是 R，值域是（0，+）2.求定义域的几个原则：含根式（被开方数不为负）含分式，分母不为形如 a0,(a 0)3.求函数的值域:利用函数 Y=ax 单调性函数的有界性(x20;ax0)换元法.如:y=4x+

2、6 2x-8(1x2)先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)【例 2】（基础题）指数函数 yax，ybx，ycx，ydx的图像如图 262 所示，则 a、b、c、d、1 之间的大小关系是 Aab1cd Bab1dc C ba1dc Dcd1ab 优秀教案 欢迎下载 解 选(c)，在 x 轴上任取一点(x，0)，则得 ba1dc 【例 3】（基础题）比较大小：(1)2(2)0.6、的大小关系是：248163235894512()(3)4.54.1_3.73.6 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助

3、不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 解(1)y221()x，函数，该函数在，上是增函数，又，222242821621338254912284162123135258389493859 解 (2)0.6110.6，451245123232()()解 (3)借助数 4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.14.53.6，作函数 y14.5x，y23.7x的图像如图 263，取 x3.6，得 4.53.63.73.6 4.54.13.73.6 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例 2 中的(1

4、)若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助 1 作桥梁，如例 2 中的(2)其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与 4.54.1同底与 3.73.6同指数的特点，即为 4.53.6(或3.74.1)，如例 2 中的(3)例题 4（中档题）不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载【例4】解比较大小与 且 ，当 ，aaaaan nnnnnnnnnn n11111111(a0a1n1)0a1n10()()，当 时

5、，aaan naaan nnnnnn nnnnn1111111111()()()1a1n101 【例 5】（中档题）作出下列函数的图像：图像变换法 (1)y(2)y22x，()121x(3)y2|x-1|(4)y|13x|解 (1)y(264)(0)(11)y1的图像 如图 ，过点，及 ，是把函数 的图像向左平移 个单位得到的()()1212121xx 解 (2)y2x2 的图像(如图 265)是把函数 y2x的图像向下平移 2 个单位得到的 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大

6、小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 解 (3)利用翻折变换，先作 y2|x|的图像，再把 y2|x|的图像向右平移 1 个单位，就得 y2|x-1|的图像(如图 266)解 (4)作函数 y3x的图像关于 x 轴的对称图像得 y3x的图像，再把 y3x的图像向上平移 1 个单位，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到(如图 267)例 6（中档题）：用函数单调性定义证明：当a1 时，y=ax是增函数.不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数

7、又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载【解析】设 x1，x2R 且 x1x2，并令x2=x1+h(h 0，hR)，很独特的方式 则有)1(11112hxxhxxxaaaaaa，a1，h0，1,01hxaa，012xxaa，即 故 y=ax(a1)为 R 上的增函数，同理可证 0a1 时，y=ax21xxaa是 R 上的减函数.【例6】解求函数 的单调区间及值域令 ，则 是关于 的减函数，而 y ux5x6yuux5xx25x622()()3434u 在，上是减函数，在，上是增函数函数的单调增区间是，单调减区间是，6xxyx25x6()()()

8、5252345252 又，函数，在，上是减函数，所以函数的值域是，ux5x6yuy2x25x6()()()(xu5214143414340108324 例题 7 中档题）指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析）二次函数为内层函数，指数函数为外层函数 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 变式 1 求函数 y=（21）xx22的单调区间，并证明之.解法一（在解答题）：在 R 上任取 x1、x2，且 x1x2，则12yy=121

9、22222)21()21(xxxx=（21）（x2x1）（x2+x12）【（21）为底数，红色部分为指数】，x1x2，x2x10.当 x1、x2（，1时，x1+x220.这时（x2x1）（x2+x12）0，则12yy1.y2y1，函数在（，1上单调递增.当 x1、x21，+）时，x1+x220，这时（x2x1）（x2+x12）0，即12yy1.（此处点评：上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性）y2y1，函数在1，+上单调递减.综上，函数 y 在（，1上单调递增，在1，+）上单调递减.合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来

10、解题.解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）：设：xxu22 则：uy21 对任意的211xx，有21uu，不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 又uy21是减函数 21yy xxy2221在),1 是减函数 对任意的121xx，有21uu 又uy21是减函数 21yy xxy2221在),1 是增函数 在该问题中先确定内层函数（xxu22）和外层函数（uy21）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.

11、变式 2 已知0a且1a，讨论232)(xxaxf的单调性.【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，指数417)23(2322xxx，当x23时是减函数，x23时是增函数，而)(xf的单调性又与10a和1a两种范围有关，应分类讨论.【解析】设232uxx 2317()24x ，则当x23时，u是减函数，当x23时，u是增函数，又当1a时，uay 是增函数，当10a时，uay 是减函数，不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢

12、迎下载 所以当1a时，原函数232)(xxaxf在),23上是减函数，在23,(上是增函数.当10a时，原函数232)(xxaxf在),23上是增函数，在23,(上是减函数.【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.第二课时 例题 8：（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数 换元法 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元 u 的范围)【例7】解求函数 的单调区间及它的最大值，令，又 是，上的减函数，函数 y1(x0)yux00u1ux0)y()()()()()()()()14121

13、2121121234121212222xxxxxxxu 3401212121212121412在，上为减函数，在，上是增函数但由 得 ，由，得 ，函数 单调增区间是，单调减区间，u1)0 x110 x1y11)01()()()()xxxx 当 x0 时，函数 y 有最大值为 1 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 内层指数函数 u=(1/2)x 为减，当 u 在（0，1/2】时，此时外层二次 f（u)为减函数，即 x 在【1，

14、正无穷大），则复合函数为增（画草图分析法）点评：（1）指数函数的有界性（值域）：x20;ax0 （2）上述证明过程中，在两次求 x 的范围时，逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性，是关键及疑难点。变式：求（3）1241xxy的值域.解1421xxy Rx y22(2)2 21(21),xxx 且1,02yx.故1241xxy的值域为 1|yy.【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.例题 9（中档题）分式型指数函数【例8】已知f(x)(a1)aaxx11 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先

15、换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)求 f(x)的值域；(3)证明 f(x)在区间(，)上是增函数 解 (1)定义域是 R f(x)f(x)，aaaaxxxx1111 函数 f(x)为奇函数(2)yy1a1y1x函数，有 ，aayyyyxx1111110 即 f(x)的值域为(1，1)(3)设任意取两个值 x1、x2(，)且 x1x2 f(x1)f(x2)，故在 上为增函数aaaaaaaaaaaaxlxlxxxlxxlxxxxx1121212212

16、12211()()()a1xx(1)(1)0f(x)f(x)f(x)R1212 变式1 设 a 是实数，)(122)(Rxaxfx 试证明对于任意 a,)(xf为增函数；证明：设21,xxR,且 21xx 则 12()()f xf x 反函数法，用指数函数值域 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 1222()()2121xxaa 1221122(22)22212(21)(21)xxxxxx 由于指数函数 y=x2在 R 上是增

17、函数,且21xx,所以 2122xx 即2122xx 0 得 12x+10,22x+10 所以)()(21xfxf0 即)()(21xfxf 因为此结论与 a 取值无关，所以对于 a 取任意实数，)(xf为增函数 例题 10（中档题）抽象函数 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 例题 10 变式 1（疑难题）不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解

18、借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 第三课时 复合函数 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案

19、欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的

20、大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性

21、换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数

22、单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求

23、函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中优秀教案 欢迎下载 作业课本：课本 P 习题 不为形如求函数的值域利用函数单调性函数的有界性换元法如先换元再的大小关系是优秀教案欢迎下载解函数该函数在上是增函数又解解借助不同底且指数也不同的幂比较大小时有两个技巧其一借助作桥梁如例中