2023年数列知识点总结归纳大全及经典测试卷(最新版).pdf
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1、学习必备 精品知识点 数列知识点回顾 第一部分:数列的基本概念 1理解数列定义的四个要点 数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规律”因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列 在数列中同一个数可以重复出现 项 an与项数 n 是两个根本不同的概念 数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列 2数列的通项公式 一个数列 an的第 n 项 an与项数 n 之间的函数关系,如果用一个公式 an=)(nf来表示,就把这个公式叫做数列 an的通项公式。若给出数列 an的通
2、项公式,则这个数列是已知的。若数列 an的前 n 项和记为 Sn,则 Sn与 an的关系是:an=2.1,11nSSnSnn。第二部分:等差数列 1等差数列定义的几个特点:公差是从第一项起,每一项减去它前一项的差(同一常数),即 d=ana1n(n 2)或 d=a1nan(nN)要证明一个数列是等差数列,必须对任意 nN,ana1n=d(n 2)或 d=a1nan都成立 一般采用的形式为:当 n 2 时,有 ana1n=d(d 为常数)当 nN时,有 a1nan=d(d 为常数)当 n 2 时,有 a1nan=ana1n成立 学习必备 精品知识点 若判断数列 an不是等差数列,只需有 a3a2
3、 a2a1即可 2等差中项 若 a、A、b 成等差数列,即 A=2ba,则 A 是 a 与 b 的等差中项;若 A=2ba,则 a、A、b 成等差数列,故 A=2ba 是 a、A、b 成等差数列,的充要条件。由于 an=211nnaa,所以,等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。3等差数列的基本性质 公差为 d 的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为 d 公差为 d 的等差数列,各项同乘以常数 k 所得数列仍是等差数列,其公差为 kd 若 an、bn为等差数列,则 an bn与kanb(k、b 为非零常数)也是等差数列 对任何 m、nN,在等差数列 an中有:an=
4、am+(nm)d,特别地,当 m=1 时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性 、一般地,如果 l,k,p,m,n,r,皆为自然数,且 l+k+p+=m+n+r+(两边的自然数个数相等),那么当an为等差数列时,有:al+ak+ap+=am+an+ap+公差为 d 的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为 kd(k 为取出项数之差)如果 an是等差数列,公差为 d,那么,an,a1n,a2、a1也是等差数列,其公差为d;在等差数列 an中,alm al=akm ak=md(其中 m、k、lN)在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列
5、末项除外)都是它前后两项的等差中项 当公差 d0 时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当 d0 时,等差数列中的数随项数的减少而减小;d0 时,等差数列中的数等于一个常数 设 al,am,an为等差数列中的三项,且 al与 am,am与 an的项距差之比nmml=(1),则 am=1nlaa 数列中同一个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点 4等差数列前 n 项和公式 Sn=2)(1naan与 Sn=na1dnn2)1(的比较 前 n
6、项和公式 公式适用范围 相同点 Sn=2)(1naan 用于已知等差数列的首项和末项 都是等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1dnn2)1(用于已知等差数列的首项和公差 5等差数列前 n 项和公式 Sn的基本性质 数列 an为等差数列的充要条件是:数列 an的前 n 项和 Sn可以写成 Sn=an2+bn 的形式(其中 a、b 为常数)在等差数列 an中,当项数为 2n(nN*)时,S偶S奇=nd,偶奇SS=1nnaa;当项数为(2n1)(nN)时,S偶S奇=an,偶奇SS=1nn 若数列 an为等差数列,则 Sn,Sn2Sn,Sn3Sn2,仍然成等差数列,公差为dn2 若两个等差数列 a
7、n、bn的前 n 项和分别是 Sn、Tn(n 为奇数),则nnTS=2121nnba 在等差数列 an中,Sn=a,Sm=b(nm),则 Snm=mnmn(ab)等差数列an中,nSn是 n 的一次函数,且点(n,nSn)均在直线 y=2dx+(a12d)上 记等差数列an的前 n 项和为 Sn若 a10,公差 d0,则当 an 0 且 a1n 0 时,Sn最大;若 a10,公差 d0,则当 an 0 且 a1n 0 时,Sn最小 第三部分:等比数列 1正确理解等比数列的含义 q 是指从第 2 项起每一项与前一项的比,顺序不要错,即 q=nnaa1(nN)或 q=1nnaa(n 2)数列中同一
8、个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点 由定义可知,等比数列的任意一项都不为 0,因而公比 q 也不为 0 要证明一个数列是等比数列,必须对任意 nN,nnaa1=q;或1nnaa=q(n 2)都成立 2等比中项与等差中项的主要区别 如果 G 是 a 与 b 的等比中项,那么aG=Gb,即 G2=ab,G=ab所以,只要两个同号的数才有等比中项,而且等比中项有两个,它们互为相反数;如果 A 是 a 与 b 的等差中项,那么等差中项 A唯一
9、地表示为 A=2ba,其中,a 与 b 没有同号的限制在这里,等差中项与等比中项既有数量上的差异,又有限制条件的不同 3等比数列的基本性质 公比为 q 的等比数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等比数列,其公比为 qm(m 为等距离的项数之差)对任何 m、nN,在等比数列 an中有:an=am qmn,特别地,当 m=1 时,便得等比数列的通项公式,此式较等比数列的通项公式更具有普遍性 一般地,如果 t,k,p,m,n,r,皆为自然数,且 t+k,p,m+=m+n+r+(两边的自然数个数相等),那么当an为等比数列时,有:atakap=amanap 若 an是公比为 q 的等比
10、数列,则|an|、a2n、kan、na1也是等比数列,其公比分别为|q|、q2、q、q1 如果 an是等比数列,公比为 q,那么,a1,a3,a5,a12n,是以 q2为公比的等比数列 如果 an是等比数列,那么对任意在 nN,都有 an a2n=a2n q20 两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列,且公比等于这两个数列的公比的积 当 q1 且 a10 或 0q1 且 a10 时,等比数列为递增数列;当 a10 且 0q1 或 a1数列中同一个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个
11、数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点 0 且 q1 时,等比数列为递减数列;当 q=1 时,等比数列为常数列;当 q0 时,等比数列为摆动数列 4等比数列前 n 项和公式 Sn的基本性质 如果数列an是公比为 q 的等比数列,那么,它的前 n 项和公式是 Sn=.1,1)1(,1,11时当时当qqqaqnan 也就是说,公比为 q 的等比数列的前 n 项和公式是 q 的分段函数的一系列函数值,分段的界限是在 q=1 处因此,使用等比数列的前 n 项和公式,必须要弄清公比 q 是可能等于 1 还是必不等于 1,如果 q 可能等于 1,则需分 q=1 和 q 1 进行讨论 当已知
12、a1,q,n 时,用公式 Sn=qqan1)1(1;当已知 a1,q,an时,用公式 Sn=qqaan11 若 Sn是以 q 为公比的等比数列,则有 Smn=SmqSn 若数列 an为等比数列,则 Sn,Sn2Sn,Sn3Sn2,仍然成等比数列 若项数为 3n 的等比数列(q 1)前 n 项和与前 n 项积分别为 S1与 T1,次 n 项和与次 n 项积分别为 S2与 T2,最后 n 项和与 n 项积分别为 S3与 T3,则 S1,S2,S3成等比数列,T1,T2,T3亦成等比数列 二、难点突破 1并不是所有的数列都有通项公式,一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一已知一个数列的前几项,这个数
13、列的通项公式更不是唯一的 2等差(比)数列的定义中有两个要点:一是“从第 2 项起”,二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”这里的“从第 2 项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在,而“同一个常数”则是保证至少含有 3 项所以,一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有 3 项 3 数列的表示方法应注意的两个问题:an与 an是不同的,前者表示数列 a1,a2,an,而后者仅表示这个数列的第 n 项;数列 a1,a2,an,与集合 a1,a2,an,不同,差别有两点:数列是一列有序排布的数,而集合是一个有确定范围的整体;数列的项有明确的顺数列中同一个数可以重复出现
14、项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点 序性,而集合的元素间没有顺序性 4注意设元的技巧时,等比数列的奇数个项与偶数个项有区别,即:对连续奇数个项的等比数列,若已知其积为 S,则通常设,aq2,aq1,a,aq,aq2,;对连续偶数个项同号的等比数列,若已知其积为 S,则通常设,aq3,aq1,aq,aq3,5一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为 0,因此,在研究等比数列时,要注意an 0,因为当 an=0 时,虽有 a2n=a1n a1n成立
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