2023年数字信号处理知识点总结归纳整理Chapter.pdf

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1、第四章 功率谱估计 4.1 引言 分析信号的两种方法：时域分析法和频域分析法 随机信号傅里叶变换不存在，转向研究功率谱 功率谱的估计方法大致分两类：经典谱估计法和现代谱估计法 经典谱估计法：BT法、周期图法 现代谱估计法：4.2 经典谱估计 给定观测数据：0,1,1nNL 4.2.1 BT法 先估计(有偏)自相关函数，再根据自相关函数与功率谱的关系估计功率谱 1*01Nmxxnrmxn x nmN jjmBTxxmPerm e 为减小谱估计的方差，常用窗函数加权，下式称为加权协方差谱估计 11MjjmBTxxmMPerm w m e 4.2.2 周期图法 1.周期图法的定义 2101Njjnx

2、xnPex n eN 可表示为：观测信号FFT 取模的平方除以N 周期图法与 BT 法是等价关系 2.估计质量分析 1）周期图的偏移 12jjjxxBxxE PeWePed 其中 2sin/21sin/2jBBNWeFTwmN称为三角谱窗函数。说明，周期图的统计平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此周期图是有偏估计。但是渐近无偏估计。2）周期图的方差 周期图法估计功率谱不是一致估计，均方误差很大，使估计出来的功率谱不可靠。由于观测数据只有一段，分辨率低是其根本缺点，BT法和周期图法等价，具有相同的问题。4.2.3 经典谱估计法的改进 经典谱估计法的改进方法有三种：平均周期图法、窗函数法和修正

3、的周期图平均法。1.平均周期图法 即通过多次观测，先求基于每次观测的周期图，再将各组周期图取平均得到平均周期图。平均周期图期望表达式和周期图一样，由于数据量一定，每次观测的数据必然减少，导致每次的周期图偏移量更大，表现为三角谱主瓣宽度比周期图主瓣宽度宽，偏移量的大小反映了分辨率的高低。由于求平均，平均周期图的方差是周期图方差的1/L。因此，通过降低分辨率来减小方差，二者是相互矛盾的。第i组周期图表示为：2101MjniinIxn eM 平均周期图：11LjxxiiPeIL 2.窗函数法 用一适当的功率谱窗函数jW e与周期图卷积来达到平滑周期图的目的。12jjxxNPeIW ed 式中 11N

4、jmNxxmNIrm e 12jjnw nW eed 那么 11MjjmxxxxmMPerm w m e 由此可得，周期图的窗函数法实际上就是 BT法中的加权协方差谱估计。3.修正的周期图求平均法 先把数据长度为N的信号 x n分成L段，每一段长度为M，然后把窗函数加到每一个数据段上，求每一段的周期图，形成修正的周期图，然后对每一个修正的周期图进行平均。传统的功率谱估计方法无论采用哪一种改进方法，总是以减小分辨率为代价，换取估计方差的减小，提高分辨率的问题无法根本解决。在利用 DFT（FFT）进行谱分析时，经常在数据后面加 0，使分析的点数加多，这样可以对信号的频谱观察得更细，但是不能增加分辨

5、率。观测数据法先估计有偏自相关函数再根据自相关函数与功率谱的关系估估计质量分析周期图的偏移其中称为三角谱窗函数说明周期图的统计平谱不可靠由于观测数据只有一段分辨率低是其根本缺点法和周期图法等4.3 现代谱估计的参数建模 基本思想源于第一章的信号模型，模型系统函数 Hz，输入白噪声方差为2w，信号的功率谱计算如下：2*1xxwPzHz Hz 因此，要估计信号的功率谱，先估计模型参数。1.选择合适的信号模型 2.根据有限的观测数据，或者它的有限个自相关函数估计值，估计模型的参数 3.计算模型算出功率谱 其中，前两步最为关键。4.3.1 模型选择 选择模型主要考虑的是模型能够表示谱峰、谱谷和滚降的能

6、力。尽量减少模型的参数。4.3.2 模型参数和自相关函数之间的关系 系统函数可以表示为:1111qiiipiiib zB zHzA za z Anhna,Bnhnb 1.ARMA 模型系数与信号自相关函数之间的关系 信号频谱 *1xxwwPzPz Hz Hz ，B zHzA z 由此可得 *1xxwwPz A zPz B z Hz ，两边 Z 反变换可得自相关函数与模型参数之间的关系。2*1010,1,pqmAxxwBllxxpAxxlhl rmlhl hlmmqrmhl rmlmqL ARMA 模型输出自相关函数和模型参数之间是非线性关系。AR模型和 MA模型都可以看成是 ARMA 模型的特

7、例。2.AR模型系数与信号自相关函数之间的关系 观测数据法先估计有偏自相关函数再根据自相关函数与功率谱的关系估估计质量分析周期图的偏移其中称为三角谱窗函数说明周期图的统计平谱不可靠由于观测数据只有一段分辨率低是其根本缺点法和周期图法等AR模型相当于 1B z的 ARMA 模型。1BBB zhnnhlmlm带入到 ARMA 模型的关系中可以得到 12110pAxxlxxpAxxwlhl rmlmrmhl rlm 写成矩阵形式 210111010010 xxxxxxwxxxxxxpxxxxxxrrrparrrparprpr LLMMMMML 显然 AR模型输出自相关函数与模型参数为线性关系。3.M

8、A模型的系数和信号自相关函数之间的关系 MA模型的系统函数 HzB z，相当于 ARMA 模型中 1A z，Ahnn。2*0,1,0wBBxxhl hlmmqrmmqL 因此，MA模型的参数和信号自相关函数之间也是非线性关系。选定信号模型，按照以上三个关系可以通过估计观测信号的自相关函数求系统参数，最后按下式求出信号的功率谱：22221111qiijjixxwwpiiibePeH ea e 由于 AR模型具有一些优良的特性，着重对 AR模型讨论。4.4 AR模型谱估计的性质 4.4.1 AR模型的线性预测 AR模型输出信号自相关函数与模型参数之间的关系式与 Yuler-Walker 方程相似。

9、一步线性预测器的系统函数可表示为：11piepiiHza z 而 AR模型的系统函数可表示为：观测数据法先估计有偏自相关函数再根据自相关函数与功率谱的关系估估计质量分析周期图的偏移其中称为三角谱窗函数说明周期图的统计平谱不可靠由于观测数据只有一段分辨率低是其根本缺点法和周期图法等 111piiiHza z 当piiaa时，二者互为逆系统，即 1eHzHz 一步线性预测器模型定义为 e nx nx n，将 e n看作是白噪声 AR模型则相应的可以定义为 x nx nw n 对比自相关函数与模型参数之间的关系式与Yuler-Walker 方程，当二者阶数相同时有 piiaa，w ne n，22mi

10、nwE en 因此，AR模型法也称为线性预测 AR模型法。由 AR模型和一步线性预测器的系统函数可知，二者互为逆系统，可以相互用来解卷积。4.4.2 预测误差滤波器的最小相位特性 由于 AR模型必须是因果系统，其所有极点都必须在单位圆内，因此一步线性预测器的所有零点必须在单位圆内，即为最小相位系统。还可以证明，当参数相同时，一步线性预测器的所有极点也在单位圆内。4.4.3 AR模型隐含的自相关函数延拓特性 由自相关函数与模型参数之间的关系式可知，公式本身就是一个递推式，意味着可以由当前已经估计的自相关函数估计下一时刻的自相关函数。4.5 AR谱估计的方法 前面已经介绍谱估计的一般方法，本节讨论

11、具体方法。AR谱估计具体方法包括：自相关法（Levenson 递推）、Burg 递推、协方差法和修正协方差法，这些方法都是基于预测误差最小准则。除了以上基于预测误差准则的 AR谱估计法，还有最大熵谱估计和最大似然谱估计。4.5.1 自相关法Levenson 递推法 该方法出发点是选择适当的模型参数使得预测误差最小 写出预测误差表达式，对模型参数的实部和虚部微分可得满足误差最小的模型参数，实际上就是Yuler-Walker 方程。而 Yuler-Walker 方程的实际解法是 Levenson 递推法，从低阶开始推导各阶参数，直到满足要求的误差。关于 Levenson 递推公式，详见 3.3.1

12、(3)。观测数据法先估计有偏自相关函数再根据自相关函数与功率谱的关系估估计质量分析周期图的偏移其中称为三角谱窗函数说明周期图的统计平谱不可靠由于观测数据只有一段分辨率低是其根本缺点法和周期图法等22111jxxwPj iiiPea e 4.5.2 协方差和修正协方差法 相对于自相关法不同的仅仅是预测误差的表达式不同，同样可以得到基于协方差法参数估计：121,11,21,1,02,12,22,0,1,2,0 xxxxxxxxppxxxxxxxxppxxxxxxxxcccpcaacccpcpacpcpcp pcp LLMMMMML 式中 1*1,Nxxnpcj kxnj x nkNp称为协方差函数

13、。白噪声方差 120,00,Nwxxpkxxkpca ck 对于修正的协方差法，则使用的是前向和后向预测误差平均值最小，即 0.5eefeb 推导得到与协方差法相同的方程组，但是方程组中的协方差变为 11*01,2NpNxxnpncj kxnj x nkx nj xnkNp 白噪声方差 210,00,pwxxpkxxkca ck 4.5.3 Burg 递推法 4.5.4 关于 AR模型阶次的选择 4.6 最大熵谱估计和最大似然谱估计 这两种估计方法基本原理和参数模型法不同，但都和AR模型法有关系。4.6.1 最大熵谱估计 采用最大熵外推自相关函数方法估计信号功率谱。最大熵谱估计和 AR谱估计是

14、等价的，二者都可以得到相同的自相关函数外推结果。观测数据法先估计有偏自相关函数再根据自相关函数与功率谱的关系估估计质量分析周期图的偏移其中称为三角谱窗函数说明周期图的统计平谱不可靠由于观测数据只有一段分辨率低是其根本缺点法和周期图法等4.6.2 最大似然谱估计 用一个 FIR 滤波器实现，只对所关心频率的正弦信号可以无失真通过，对其余频率的信号，其频响尽可能的小，亦即将它们尽可能地滤除。原则一：对于关心的频率，传输函数为1；原则二：中心频率附近的分量尽量衰减掉，此时滤波器输出的均方差最小，将其作为功率谱的估计。因此，最大似然谱估计又称为最小方差谱估计。P 阶最小方差功率谱的倒数等于从 0 阶到 P 阶所有的 AR模型功率谱倒数之和，所以最大似然谱估计相当于低阶（小分辨率）和高阶（高分辨率）的 AR谱估计的并联滤波器的一种平均功率。4.7 特征分解法谱估计 观测数据法先估计有偏自相关函数再根据自相关函数与功率谱的关系估估计质量分析周期图的偏移其中称为三角谱窗函数说明周期图的统计平谱不可靠由于观测数据只有一段分辨率低是其根本缺点法和周期图法等