2023年数列通项公式的常用解法全面汇总归纳整理学生.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 数列通项公式的求法集锦 一、观察法 例 1 写出数列的一个通项公式，使它的前5 项分别是下列各数（1）3,5,9,17,33（2）-1/2,1/2,-3/8,1/4,-5/32(3)2,22,222,2222,22222 注：在平时学习中要牢记常见的一些数列通项公式，如 n,1/n,2n,2n+1,n!,(1)n,n(n+1)等，其他数列往往由这些基本数列和其他常数进行四则运算得到的。二、公式法 1.利用等差数列的通项公式 2.利用等比数列的通项公式 3.利用数列前 n 项和nS和通项公式na的关系式：11,1,2nnnSnaSSn 有些数列给出na的前 n 项和nS与na

2、的关系式nS=()nf a，利用该式写出11()nnSf a，两式做差，再利用11nnnaSS导出1na与na的递推式，从而求出na。例 2.数列na的前 n 项和为nS=n31,求na的通项公式。例 3.已知各项均为正数的数列na的前 n 项和为nS满足1S1 且 6nS=(1)(2)nnaa,nN 求na的通项公式。学习必备 欢迎下载 例 4.数列na的前 n 项和为nS，1a=1，12nnaS(nN),求na的通项公式。三、累加法 形如1()nnaaf n(n=2、3、4.)且(1)(2).(1)fff n 可求，则用累加法求na。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

3、例 5.在数列na中，1a=1，11nnaan (n=2、3、4)，求na的通项公式。例 6【2014全国大纲卷（文 17）】数列an满足 a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.（1）设 bn=an+1-an，证明bn是等差数列；（2）求数列an的通项公式.式法利用等差数列的通项公式利用等比数列的通项公式利用数列前项和正数的数列的前项和为满足且求的通项公式例数列的前项和为求的通项列满足设证明是等差数列求数列的通项公式四累乘法学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 四、累乘法 形如1()nnaf na(n=2、3、4)，且(1)(2).(1)fff n 可求，则用累乘法求na。有时若不

4、能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例 7在数列na中，1a=1，1nnana，求na。例 8已知数列na满足1a=23，11nnnaan，求na。五、构造法 类型 1.1na=(,1)npaqp qp其中均为常数，且 先用待定系数法把原递推公式转化为1nnap a 其中1qp，这样构造了等比数列na，下面利用等比数列的知识即可求解。例 9、已知数列na满足1a=1，1na=21na (nN)，求数列na的通项公式。式法利用等差数列的通项公式利用等比数列的通项公式利用数列前项和正数的数列的前项和为满足且求的通项公式例数列的前项和为求的通项列满足设证明是等差数列求数列的通项公式四累乘

5、法学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 例 10、设数列na的首项1(0,1)a，na=132na，n=2、3、4（）求na的通项公式。例 11、已知数列 na中，1a=2，1na=(21)(2)na nN（）求na的通项公式。类型 2.1na=(,1)nnpaqp qp其中均为常数，且 法一：在递推公式两边同时除以+1nq，得111nnnnaapqq qq ，将nnaq看成一个新数列，则可用类型一的方法解决；法二：在递推公式两边同时除以+1np，得111nnnnnaaqpppp ，将nnap看成一个新数列，则可用累加法求解。例 12、已知数列na中，1a=1，1na=23nna，求数列的通项公

6、式。式法利用等差数列的通项公式利用等比数列的通项公式利用数列前项和正数的数列的前项和为满足且求的通项公式例数列的前项和为求的通项列满足设证明是等差数列求数列的通项公式四累乘法学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 例 13.已知数列na中，1a=56 111132nnnaa ，求数列的通项公式。类型 3.110,0nnapaanb ppa且 这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令 11nnax nyp axny 然后与已知递推公式比较，解出,x y，从而得到naxny是公比为 p 的等比数列。例 14.设数列na中，1a=4，13212nnaann，求数列的通项公式。式法利用等差数列

7、的通项公式利用等比数列的通项公式利用数列前项和正数的数列的前项和为满足且求的通项公式例数列的前项和为求的通项列满足设证明是等差数列求数列的通项公式四累乘法学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 类型 4.10,0rnnnapapa 这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为类型 1，用待定系数法求解.例 15.已知数列na中，1a=1，2110nnaaaa，求数列na的通项公式。类型 5.1nnaaf n 将原递推公式改写成 211nnaaf n，两式相减即得 21nnaaf nf n，然后按奇偶分类讨论即可.例 16.已知数列na中，1a=1，12nnaan，求数列na的通项公式。类型 6.1

8、=nnaaf n 将原递推公式改写成 211nnaaf n，两式做商即得 21nnf naaf n，然后按奇偶分类讨论即可.例 17.已知数列na中，1a=1，12nnnaa，求数列na的通项公式。式法利用等差数列的通项公式利用等比数列的通项公式利用数列前项和正数的数列的前项和为满足且求的通项公式例数列的前项和为求的通项列满足设证明是等差数列求数列的通项公式四累乘法学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 六 取倒数法：类型 1.1,0,00nnnnnpaap q raqarqar 且，类型 2.有些关于通项的递推关系式变形后含有1nna a项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以1nna a后

9、，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出na。例 18、已知数列na，1a=1，11nnnaaa nN，求na=？例 19、已知数列na满足132a，且11321nnnnaaan（2n nN）()求数列na的通项公式。例 20已知各项均为正数的数列na满足:13a，且11122nnnnnnaaa aaa nN求数列na的通项公式。式法利用等差数列的通项公式利用等比数列的通项公式利用数列前项和正数的数列的前项和为满足且求的通项公式例数列的前项和为求的通项列满足设证明是等差数列求数列的通项公式四累乘法学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 七重新构造新方程组求通项法 有时数列na和nb的通项以方程

10、组的形式给出，要想求出na与nb必须得重新构造关于na和nb的方程组，然后解新方程组求得na和nb。例 21.已知数列na，nb满足1a=2，1b=1 且11113114413144nnnnnnaabbab（2n）,求数列na，nb的通项公式。分析 该题条件新颖,给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数列，从而 再通过解方程组很顺利求出na、nb的通项公式。若改变一下数据，又该怎样解呢？下面给出一种通法。例 22.在数列na、nb中1a=2，1b=1，且11267nnnnnnaabbab（nN）求数列na和nb的通项公式。式法利用等差数列的通项公式利用等比数列的通项公式利用数列前项和正数的数列的前项和为满足且求的通项公式例数列的前项和为求的通项列满足设证明是等差数列求数列的通项公式四累乘法学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 例 23.在数列na、nb中，111ab，且115157nnnnnnaabbab（nN），求na、nb的通项公式。式法利用等差数列的通项公式利用等比数列的通项公式利用数列前项和正数的数列的前项和为满足且求的通项公式例数列的前项和为求的通项列满足设证明是等差数列求数列的通项公式四累乘法学习必备欢迎下载