2023年数学第四章知识点总结归纳+单元测试含超详细解析答案.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 高中数学必修 2圆与方程 知识点总结+习题（含答案）4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程：222()()xaybr 圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点00(,)M xy与圆222()()xaybr的关系的判断方法：（1）2200()()xayb2r，点在圆外 （2）2200()()xayb=2r，点在圆上（3）2200()()xayb2r，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程：022FEyDxyx 2、圆的一般方程的特点：(1)x2和 y2 的系数相同，不等于 0 没有 xy 这样的二次项 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E

2、、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了 (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 设直线l：0cbyax，圆C：022FEyDxyx，圆的半径为r，圆心)2,2(ED到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当rd 时，直线l与圆C相离；（2）当rd 时，直线l与圆C相切；（3）当rd 时，直线l与圆C相交；4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系 设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据

3、有以下几点：（1）当21rrl时，圆1C与圆2C相离；（2）当21rrl时，圆1C与圆2C外切；（3）当|21rr21rrl时，圆1C与圆2C相交；学习必备 欢迎下载（4）当|21rrl时，圆1C与圆2C内切；（5）当|21rrl时，圆1C与圆2C内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论 4.3.1 空间直角坐标系 1、点 M 对应着

4、唯一确定的有序实数组),(zyx，x、y、z分别是 P、Q、R 在x、y、z轴上的坐标 2、有序实数组),(zyx，对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组),(zyx来表示，该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记 M),(zyx，x叫做点 M 的横坐标，y叫做点 M 的纵坐标，z叫做点 M 的竖坐标。4.3.2 空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点),(1111zyxP到点),(2222zyxP之间的距离公式 22122122121)()()(zzyyxxPP OyxMMRPQOyzxMP1P2NM1N2N1M2H相同不等于没有这样的二次项圆

5、的一般方程中有三个特定的系数因之只明显圆与圆的位置关系用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设两圆的位置关系设两圆的连心线长为则判别圆与圆的位置关系的依据有学习必备 欢迎下载 第四章测试(时间：120 分钟 总分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知两圆的方程是 x2y21 和 x2y26x8y90，那么这两个圆的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切 2过点(2,1)的直线中，被圆 x2y22x4y0 截得的最长弦所在的直线方程为()A3xy50 B3xy70 Cx3y50 Dx3y10

6、3若直线(1a)xy10 与圆 x2y22x0 相切，则 a 的值为()A1，1 B2，2 C1 D1 4经过圆 x2y210 上一点 M(2，6)的切线方程是()Ax 6y100 B.6x2y100 Cx 6y100 D2x 6y100 5点 M(3，3,1)关于 xOz 平面的对称点是()A(3,3，1)B(3，3，1)C(3，3，1)D(3,3,1)6若点 A是点 B(1,2,3)关于 x 轴对称的点，点 C 是点 D(2，2,5)关于 y 轴对称的点，则|AC|()A5 B.13 C10 D.10 7若直线 ykx1 与圆 x2y21 相交于 P、Q 两点，且POQ120(其中 O 为

7、坐标原点)，则 k的值为()A.3 B.2 C.3或 3 D.2和 2 8与圆 O1：x2y24x4y70 和圆 O2：x2y24x10y130 都相切的直线条数是()A4 B3 C2 D1 9 直线l将圆x2y22x4y0平分，且与直线x2y0垂直，则直线l的方程是()A2xy0 B2xy20 Cx2y30 Dx2y30 10圆 x2y2(4m2)x2my4m24m10 的圆心在直线 xy40 上，那么圆的面积为()相同不等于没有这样的二次项圆的一般方程中有三个特定的系数因之只明显圆与圆的位置关系用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设两圆的位置关系设两圆的连心线长为则判别圆与圆的位置关系

8、的依据有学习必备 欢迎下载 A.9 B.C2 D由 m 的值而定 11当点 P 在圆 x2y21 上变动时，它与定点 Q(3,0)的连结线段 PQ 的中点的轨迹方程是()A(x3)2y24 B(x3)2y21 C(2x3)24y21 D(2x3)24y21 12 曲线 y1 4x2与直线 yk(x2)4 有两个交点，则实数 k的取值范围是()A(0，512)B(512，)C(13，34 D(512，34 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，把答案填在题中横线上)13圆 x2y21 上的点到直线 3x4y250 的距离最小值为_ 14圆心为(1,1)且与直线 xy4

9、相切的圆的方程是_ 15方程 x2y22ax2ay0 表示的圆，关于直线 yx 对称；关于直线 xy0对称；其圆心在 x 轴上，且过原点；其圆心在 y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是_ 16直线 x2y0 被曲线 x2y26x2y150 所截得的弦长等于_ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)自 A(4,0)引圆 x2y24 的割线 ABC，求弦 BC 中点 P 的轨迹方程 18(12 分)已知圆 M：x2y22mx4ym210 与圆 N：x2y22x2y20 相交于 A，B 两点，且这两点平分圆 N 的圆周，求圆 M

10、的圆心坐标 19(12 分)已知圆 C1：x2y23x3y30，圆 C2：x2y22x2y0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长 20(12 分)已知圆 C：x2y22x4y30，从圆 C 外一点 P 向圆引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有|PM|PO|，求|PM|的最小值 21(12 分)已知C：(x3)2(y4)21，点 A(1,0)，B(1,0)，点 P 是圆上动点，求d|PA|2|PB|2的最大、最小值及对应的 P 点坐标 22(12 分)已知曲线 C：x2y22kx(4k10)y10k200，其中 k1.(1)求证：曲线 C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明

11、曲线 C 过定点；(3)若曲线 C 与 x 轴相切，求 k的值 1 解析：将圆 x2y26x8y90，相同不等于没有这样的二次项圆的一般方程中有三个特定的系数因之只明显圆与圆的位置关系用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设两圆的位置关系设两圆的连心线长为则判别圆与圆的位置关系的依据有学习必备 欢迎下载 化为标准方程得(x3)2(y4)216.两圆的圆心距 032 0425，又 r1r25，两圆外切答案：C 2 解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，2)，由直线的两点式方程得y212x121，即3xy50.答案：A 3 解析：圆 x2y22x0 的圆心 C(1,0)，半径为 1，依题意得|1

12、a01|1a211，即|a2|a121，平方整理得 a1.答案：D 4 解析：点 M(2，6)在圆 x2y210 上，kOM62，过点 M 的切线的斜率为 k63，故切线方程为 y 663(x2)，即 2x 6y100.答案：D 5 解析：点 M(3，3,1)关于 xOz 平面的对称点是(3,3,1)答案：D 6 解析：依题意得点 A(1，2，3)，C(2，2，5)|AC|212 222 532 13.答案：B 7 解析：由题意知，圆心 O(0,0)到直线 ykx1 的距离为12，11k212，k 3.答案：C 8 解析：两圆的方程配方得，O1：(x2)2(y2)21，O2：(x2)2(y5)

13、216，圆心 O1(2,2)，O2(2,5)，半径 r11，r24，|O1O2|222 5225，r1r25.|O1O2|r1r2，两圆外切，故有 3 条公切线答案：B 9 解析：依题意知，直线 l 过圆心(1,2)，斜率 k2，l 的方程为 y22(x1)，即 2xy0.答案：A 10 解析：x2y2(4m2)x2my4m24m10，x(2m1)2(ym)2m2.圆心(2m1，m)，半径 r|m|.依题意知 2m1m40，m1.圆的面积 S 12.答案：B 11 解析：设 P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段 PQ 中点 M 的坐标为(x，y)，相同不等于没有这样的二次项圆的一般方程中有三

14、个特定的系数因之只明显圆与圆的位置关系用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设两圆的位置关系设两圆的连心线长为则判别圆与圆的位置关系的依据有学习必备 欢迎下载 则 xx132，yy12，x12x3，y12y.又点 P(x1，y1)在圆 x2y21 上，(2x3)24y21.故线段 PQ 中点的轨迹方程为(2x3)24y21.答案：C 12 解析：如图所示，曲线 y1 4x2 变形为 x2(y1)24(y1)，直线 yk(x2)4 过定点(2,4)，当直线 l 与半圆相切时，有|2k41|k212，解得 k512.当直线 l 过点(2,1)时，k34.因此，k的取值范围是5120.故方程表示圆

15、心为(k，2k5)，半径为 5|k1|的圆 设圆心的坐标为(x，y)，则 xk，y2k5，消去 k，得 2xy50.这些圆的圆心都在直线 2xy50 上(2)证明：将原方程变形为(2x4y10)k(x2y210y20)0，上式对于任意 k1 恒成立，相同不等于没有这样的二次项圆的一般方程中有三个特定的系数因之只明显圆与圆的位置关系用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设两圆的位置关系设两圆的连心线长为则判别圆与圆的位置关系的依据有学习必备 欢迎下载 2x4y100，x2y210y200.解得 x1，y3.曲线 C 过定点(1，3)(3)圆 C 与 x 轴相切，圆心(k，2k5)到 x 轴的距离等于半径，即|2k5|5|k1|.两边平方，得(2k5)25(k1)2，k5 3 5.相同不等于没有这样的二次项圆的一般方程中有三个特定的系数因之只明显圆与圆的位置关系用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设两圆的位置关系设两圆的连心线长为则判别圆与圆的位置关系的依据有