2023年数列前n项和构成不等式证明方法与技巧.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 数列前 n 项和构成不等式证明方法与技巧 安徽五河一中 邢文举、杨梅玲 由数列前 n 项和构成的不等式是一种非常重要的题型，常在高考题中出现，由于不等式证明本身就是一个难点，再加数列的各种变形应用，不少学生对该题型束手无策，不知从何处去分析寻求解题思路，该题型一般有三种解题思路：第一，若数列na是可求和数列，应先求和 Sn，再证明不等式；第二，若数列na是不可求和数列，一般先将数列的通项放缩成可求和数列，再求和证明不等式；第三，若数列是不可求和数列，对通项的放缩又有一定的困难可尝试用数学归纳法证明不等式，当然有的可求和数列和构成的不等式也可用数学归纳法证明，下面以例说明。例

2、 1、各项均为正数的等差数列na，a1=3 前 n 项和为 Sn，等比数列nb中，b1=1，且 b2S2=64，nba是公比为64 的等比数列。（1）求 an、bn；（2）证明4311121nSSS 解：（1）设na的公差为d，nb的分比为q（d0,q0）则 an=3+(n-1)d bn=q n-1 6411111daaaannqqqqbabannnn 又 b2S2=q(6+d)=64 可求得：d=2，q=8 an=2n+1，bn=8n-1（2）由（1）知 Sn=n(n+2)211(21)2(11nnnnSn 显然nS1是可求和数列，先求和，再证明不等式 学习必备 欢迎下载 nSSS11121

3、)211()5131()4121()311(21nn=43)211(21)2111211(21nn 原不等式对成立Nn 例 2、等比数列na的前 n 项和为 Sn，已知对任意的Nn，点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b0 且 b1,b,r均为常数)的图象上。（1）求 r 的值；（2）当 b=2 时设)(41Nnanbnn，数列nb的前 n 项和为 Tn，证明21nT 解：（1）由已知有 Sn=bn+r，当 n2 时，Sn-1=bn-1+r an=Sn-Sn-1=(b-1)bn-1 又 a1=b+r a2=(b-1)b brbbbaa)1(12 r=-1（2）由 b=2，故（1）有：an=2

4、n-1 bn=121nn 由于nb是可求和数列，先求和后证明不等式 Tn=b1+b2+b3+bn 143221242322nnnT 2143212232221nnnnnT -得：21432212121212221nnnnT 12323nnnT nT为递增数列 211231 TTn 21nT对Nn成立 例 3、证明不等式：)11(2131211nn（Nn）个数起前两个数依次为紧随其后的数就是析首先建立方程求得进一步利评四川巴中第题分如图是我国古代数学家杨辉最早发现的称为杨辉三角开式中按次数从大到小排列的项的系数例如展开式中的系数恰好对应图学习必备 欢迎下载 证明（一）数列n1是不可求和数列，应先

5、放缩再证明不等式。)1(21221nnnnnnn)1()34()23()12(2131211nnn=2（11 n）)11(2131211nn对Nn成立（二）数学归纳法证明（1）当 n=1 时，)12(21，即 n=1 不等式成立。（2）假设当 n=k(Nn)时不等式成立 即：)11(2131211kk 当 n=k+1 时 11)11(211131211kkkk=2)1112(211122kkkk=24)1(42114)1(4kkk=)11)1(2k 即 n=k+1 时，不等式成立。由（1）（2）知，原不等式对Nn均成立 例 4、已知数列na前 n 项和为 Sn，点(n,Sn)在函数 y=3x-

6、1 的图象上，bn=)1(nnan，nb前 n 项和为Bn，证明：Bnn 3n 解：由已知：Sn=3n-1 当 n=1 时，a1=3-1=2 个数起前两个数依次为紧随其后的数就是析首先建立方程求得进一步利评四川巴中第题分如图是我国古代数学家杨辉最早发现的称为杨辉三角开式中按次数从大到小排列的项的系数例如展开式中的系数恰好对应图学习必备 欢迎下载 当 n2 时，an=Sn-Sn-1=23n-1 an=23n-1（Nn）132)1(nnnnb 法（一），显然nb是不可求和数列，先放缩，再证明不等式。132)1(nnnnb=12123)12(344nnnnn=(2n+1)3n-1 Bn=b1+b2+

7、b3+bn 3 1+5 3+7 32+(2n+1)3n-1 令 Tn=3 1+5 3+7 32+(2n+1)3n-1 由错位相减法可求得 Tn=n 3n Bn n 3n 注：也可用均值不等式：2122)1()1(nnnnn对 bn进行放缩。法（二）用数学归纳法证明：Bn n 3n 当 n=1 时，B1=b1=2222131=3 即 n=1 时，不等式成立 假设当 n=k+1 时，不等式成立，即 Bkk 3k 当 n=k+1 时 Bk+1=Bk+bk+1k 3k+kkk32)2(1）（k 3k+kkk322)2()1(=(3k+3)3k=(k+1)3k+1 即 n=k+1 时不等式成立 由知：Bn n 3n对Nn均成立 由以上例题可知，对于由数列na的前 n 项和 Sn构成的不等式证明，首先考查na是否可求和，若能求和，先求出 Sn再证明不等式，若不可求和，要么先将 an进行放缩成可求和数列，再求和证明不等式；要么利用数学归纳法进行证明，当然还可构造函数来证明，在这就不说了，希望通过本文，对同学们解答这类题有一定的启发。2011.4.26 个数起前两个数依次为紧随其后的数就是析首先建立方程求得进一步利评四川巴中第题分如图是我国古代数学家杨辉最早发现的称为杨辉三角开式中按次数从大到小排列的项的系数例如展开式中的系数恰好对应图