2023年数列解题技巧全面汇总归纳全面汇总归纳-打印.pdf

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1、优秀教案 欢迎下载 等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最大值。（）若已知通项na，则nS最大100nnaa；（）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大；2、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最小值（）若已知通项na，则nS最小100nnaa；（）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小；数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知nS（即12()naaaf n）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。已知12()na aaf n求na，

2、用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnf nanf n。已知条件中既有nS还有na，有时先求nS，再求na；有时也可直接求na。若1()nnaaf n求na用累加法：11221()()()nnnnnaaaaaaa 1a(2)n。已知1()nnaf na求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa (2)n。已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na；形如1nnnakak的递推数列都可以除以nk得到一个等差数列后，再求na。（2）形如

3、11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。（3）形如1knnaa的递推数列都可以用对数法求通项。（7）（理科）数学归纳法。（8）当遇到qaadaannnn1111或时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段 优秀教案 欢迎下载 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d，q 为常数）例 1、已知an满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1、解 an+1-an=2 为常数 an是首项为 1，公

4、差为 2 的等差数列 an=1+2（n-1）即 an=2n-1 例 2、已知na满足112nnaa，而12a，求na=？（2）递推式为 an+1=an+f（n）例 3、已知na中112a，12141nnaan，求na.解：由已知可知)12)(12(11nnaann)121121(21nn 令 n=1，2，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）2434)1211(211nnnaan 说明 只要和 f（1）+f（2）+f（n-1）是可求的，就可以由 an+1=an+f（n）以 n=1，2，（n-1）代入，可得 n-1个等式累加而求 an。(3)

5、递推式为 an+1=pan+q（p，q 为常数）例 4、na中，11a，对于 n1（nN）有132nnaa，求na.解法一：由已知递推式得 an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列an+1-an是公比为 3 的等比数列，其首项为 a2-a1=（31+2）-1=4 an+1-an=43n-1 an+1=3an+2 3an+2-an=43n-1 即 an=23n-1-1 解法二：上法得an+1-an是公比为 3 的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4 3，a4-a3=4 32，an-an-1=4 3n-2，把 n-1 个等式累加

6、得：an=23n-1-1 (4)递推式为 an+1=p an+q n（p，q 为常数）的非零自然数时最小数列通项的求法公式法等差数列通项公式等比数列等比数列特别地形如为常数的递推数列都可以用待定系数法转化为公比学归纳法当遇到或时奇数项偶数项讨论结果可能是段优秀教案欢迎下载优秀教案 欢迎下载 )(3211nnnnbbbb 由上题的解法，得：nnb)32(23 nnnnnba)31(2)21(32 (5)递推式为21nnnapaqa 思路：设21nnnapaqa,可以变形为：211()nnnnaaaa，想 于是an+1-an是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。求na。(6)递推式为 Sn与 a

7、n的关系式 关系；（2）试用 n 表示 an。的非零自然数时最小数列通项的求法公式法等差数列通项公式等比数列等比数列特别地形如为常数的递推数列都可以用待定系数法转化为公比学归纳法当遇到或时奇数项偶数项讨论结果可能是段优秀教案欢迎下载优秀教案 欢迎下载 )2121()(1211nnnnnnaaSS 11121nnnnaaa nnnaa21211 上式两边同乘以 2n+1得 2n+1an+1=2nan+2 则2nan是公差为 2 的等差数列。2nan=2+（n-1）2=2n 2数列求和问题的方法（1）、应用公式法 等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和

8、来说是有益的。135(2n-1)=n2 【例 8】求数列 1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），前 n 项的和。解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前 n 项中，共有 1+2+n=)1(21nn个奇数，最后一个奇数为：1+21n(n+1)-1 2=n2+n-1 因此所求数列的前 n 项的和为 （2）、分解转化法 对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1（n2-1）+2 （n2-22）+3（n2-32）+n（n2-n2）解 S=n2（1+2+3+n）-（13+23+33+n3）的非零自然数时最小数列通项的求法公式法等差数列通项公式等比数列

9、等比数列特别地形如为常数的递推数列都可以用待定系数法转化为公比学归纳法当遇到或时奇数项偶数项讨论结果可能是段优秀教案欢迎下载优秀教案 欢迎下载（3）、倒序相加法 适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：12363nnnnnSCCnC 例 10、解 0120363nnnnnnSCCCnC Sn=3n2n-1（4）、错位相减法 如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和 例 11、求数列 1，3x，5x2,(2n-1)xn-1前 n 项的和 解 设

10、Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1 (2)x=0 时，Sn=1(3)当 x0 且 x1 时，在式两边同乘以 x 得 xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn，-，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn (5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：例 12、求和11111 53 75 9(21)(23)nn 的非零自然数时最小数列通项的求法公式法等差数列通项公式等比数列等比数列特别地形如为常数的递推数列都可以用待定系数法转化为公比学归纳法当遇到或时奇数项偶数项讨论结果可能是段优秀教案欢迎下载优秀教案 欢迎下载

11、注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法 1函数思想 运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】等差数列an的首项 a10，前 n 项的和为 Sn，若 Sl=Sk（l k）问 n 为何值时 Sn最大？此函数以 n 为自变量的二次函数。a10 Sl=Sk（l k），d0 故此二次函数的图像开口向下 f（l）=f（k）2方程思想【例 14】设等比数列an前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q。分析 本题考查等比数列的基础知识

12、及推理能力。解 依题意可知 q1。如果 q=1，则 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出 a1=0 与等比数列不符。q1 整理得 q3（2q6-q3-1）=0 q0 此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），由 S3+S6=2S9可得 2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=0 的非零自然数时最小数列通项的求法公式法等差数列通项公式等比数列等比数列特别地形如为常数的递推数列都可以用待定系数法转化为公比学归纳法当遇到或时奇数项偶数项讨论结果可能是段优秀教案欢迎下载优秀教案 欢迎下载 3换元思想【例 15】已知 a，b，c 是不为 1 的正数，x，y，zR+，且 求证：a，b，c 顺次成等比数列。证明 依题意令 ax=by=cz=k x=1ogak，y=logbk，z=logck b2=ac a，b，c 成等比数列（a，b，c 均不为 0）的非零自然数时最小数列通项的求法公式法等差数列通项公式等比数列等比数列特别地形如为常数的递推数列都可以用待定系数法转化为公比学归纳法当遇到或时奇数项偶数项讨论结果可能是段优秀教案欢迎下载