2023年数形结合思想在解题中的应用精品讲义.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 数形结合思想在解题中的应用 教学目标：1利用图形来处理方程及函数问题和不等式问题，求函数的值域，最值等问题时能运用数形结合思想，避免复杂的计算与推理，在解题时能提高效率.2增养学生问题转化的意识.重点：“以形助数”，培养学生在解题过程中运用数形结合的意识.难点：由数到形的转化.数形结合作为一种重要的数学思想，历年来一直是高考考查的重点之一.这种思想体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.数形结合思想常常

2、利用到的数学模型有：（1）函数的图象，（2）斜率公式，截距（3）两点间距离公式，（4）点到直线的距离，（5）单位圆，韦恩图，数轴.题型一：利用数形结合的方法解决有关方程问题：【例题分析】例 1.若关于x的方程xkxk2230的两根分布在0 x的两侧，求k的取值范围.解：由yf x()kkxx322的图象可知，要使两根在0 x的两侧 只需0)0(f解得0k，故)0,(k 说明：f xxkxk()223，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f x()0的根，根据函数图象的性质可以得出对应的方程情况。例 2.已知01 a，则方程axxa|log|的实根个数为（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.1

3、 个或 2 个或 3 个 解：判断方程的根的个数就是判断yayxxa|log|与图象的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有 2 个实根，选 B.学习必备 欢迎下载 变式 1：方程)10(22aaxax且的解的个数为_.题型二：利用数形结合法解决不等式问题 例 3不等式xx 2的解集是_.解：令21 xy，xy 2，则不等式xx 2的解就对应于：函数21 xy的图象在xy 2上方的图象的部分在x轴上的射影.如图，不等式的解集为22xx.变式:对一切实数,x不等式mxx21恒成立，求实数m的取值范围.题型三：利用数形结合法解决有关最大值和最小值问题 例 4.如果实数xy，满

4、足()xy2322，则yx的最大值为（）A.12 B.33 C.32 D.3 解：等式()xy2322有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为()20，半径r 3，（如图），而yxyx00则表示圆上的点()xy，与坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此一来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以（2，0）为圆以3 为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图可见，当点A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为360tan.形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形直线的距离单位

5、圆韦恩图数轴题型一利用数形结合的方法解决有关方程学习必备 欢迎下载 变式 1.求函数yxxsincos22的值域.变式 2.已知xy、满足xyyx22162513，求的最大值与最小值.说明：数形结合法解决数学问题的关键是要找到数学量的几何意义或者几何图形的性质，然后根据题意构造几何图形，实现代数和几何的相互联系.课堂小结：本节课学习了一个思想，即数形结合思想 三种题型中的应用数形结合思想在求最值中的应用数形结合思想在不等式的应用数形结合思想在方程中 实现数形结合，常常涉及以下内容：1.实数与数轴上的点的对应关系；2.函数与图象的对应关系；3.曲线与方程的对应关系；4.以几何元素和几何条件为背景

6、建立起来的概念，如向量、三角函数等；5.所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题时发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.作业：1.若集合Mxyxy()|cossin()，330，集合Nxy yxb()|，且MN，则b的取值范围为_。2.点M是椭圆xy2225161上一点，它到其中一个焦点F1的距离为 2，N为MF1的中点，O表示原点，则|ON（）A.32 B.2 C.4 D.8 3.双曲线 C 的两个焦点是 F1、F2，双曲线上任意一点 P，过 F2作F1PF2的平分线

7、的垂线平分线交于 M，则 M 的轨迹是（）A.圆 B.直线 C.双曲线 D.抛物线 形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形直线的距离单位圆韦恩图数轴题型一利用数形结合的方法解决有关方程学习必备 欢迎下载【针对训练】一.选择题：1.方程lgsinxx的实根的个数为（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.函数ya xyxa|与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A.()1，B.()11，C.()，11 D.()()，11 3.设命题甲：03 x，命题乙：|x 14，则甲是乙成立的（）A.

8、充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件 4.若不等式xaxa()0的解集为x mxn|，且|mna 2，则a的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4 5.若x ()12，时，不等式()logxxa12恒成立，则a的取值范围为（）A.()01，B.()12，C.(12，D.12，6.定义在R上的函数yf x()在()，2上为增函数，且函数yf x()2的图象的对称轴为x 0，则（）A.ff()()13 B.ff()()03 C.ff()()13 D.ff()()23 二.填空题：7.若f xxbxc()2对任意实数t，都有ftft()()22，则ff()()13

9、，f()4由小到大依次为_.8.若关于x的方程xxm245|有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为_.9.函数yxxxx 2222613的最小值为_.10.若直线yxm 与曲线yx12有两个不同的交点，则实数m的取值范围是_.三.解答题：11.若方程lg()lg()xxmx233在03，上有唯一解，求m的取值范围.12.若不等式412xxax()的解集为A，且Axx|02，求a的取值范围.13.设aa01且，试求下述方程有解时k的取值范围：log()log()aaxakxa222 形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通

10、过对规范图形直线的距离单位圆韦恩图数轴题型一利用数形结合的方法解决有关方程学习必备 欢迎下载【试题答案】一.选择题：1.C 解：画出yxyxsinlg，在同一坐标系中的图象即可。确定 lgx=1 的解为 x=10，y=lgx 在(0，+)内递增，5sinsin122，所以xsiny 和xlgy 的图象应该有三个交点。xyO1-1234y=sinxy=lgx 2.D 解：画出ya xyxa|与的图象.xy0k=1(a0)xy0k=-1y=a|x|(a0)y=x+a 情形 1：aaa011 情形 2：aaa011 3.A 解：命题甲：03 x，命题乙：-3，由甲可以得出乙，反之不成立 4.B解：画

11、 出yxayx，的 图 象，依 题 意，mana，从 而aaa a 02或，由aa02，取 xy0ny=x+ay=x-am 5.C 解：令yxyxa1221()log，若a 1，两函数图象如下图（一）所示，显然当x ()12，时，要使yy12，只需使log()a2212，即a 2。综上可知，当12 a时，不等式()logxxa12对x ()12，恒成立 形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形直线的距离单位圆韦恩图数轴题型一利用数形结合的方法解决有关方程学习必备 欢迎下载 若01 a，两函数图象如右图（二）所示

12、，显然当x ()12，时，不等式()logxxa12恒不成立。6.A 解：的图象是由f x()的图象向左平移 2 个单位而得到的，又知f x()2的图象关于直线x 0（即y轴）对称，故可推知，f x()的图象关于直线x 2对称，由f x()在()，2上为增函数，可知f x()在()2，上为减函数，依此易比较函数值的大小。二.填空题：7.解：fff()()()143 由ftft()()22 知，f x()的图象关于直线x 2对称，又f xxbxc()2为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f x()的图象，易知fff()()()134，的大小。8.解：m ()15，设yxxym12245|，画

13、出两函数图象示意图，要使方程xxm245|有四个不相等实根，只需使15 m 形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形直线的距离单位圆韦恩图数轴题型一利用数形结合的方法解决有关方程学习必备 欢迎下载 9.解：最小值为13 对xxxx22222211110 ()()()，联想到两点的距离公式，它表示点()x，1到（1，0）的距离；xxx222613313()()表示点()x，1到点（3，3）的距离，于是yxxxx 2222613表示动点()x，1到两个定点（1，0），（3，3）的距离之和，结合图形，易得ymin 1

14、3。10.解：m(21，yxm 表示倾角为45，纵截距为 m的直线族，而yx12则表示以（0，0）为圆心，以 1 为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点）如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距 m)12，即m(21，形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形直线的距离单位圆韦恩图数轴题型一利用数形结合的方法解决有关方程学习必备 欢迎下载 三.解答题：11.解：原方程等价于 xxmxxxxmxxxmxxxm222230300333300343 则上述不等式组在0 3)，上只有一个解

15、。令yxxym12243，在同一坐标系内，画出它们的图象。其中注意03 x，当且仅当两函数的图象在0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m 1或 30m时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为 301，说明：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。12.解：令yxxyax12241，()，其中yxx124表示以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，yax21()表示过原点的直线系，不等式412xxax()的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值，由于不等式解集Ax

16、x|02，因此只需要a 11 a2 a的取值范围为()2，13.解：将原方程化为log()logaaxakxa22 xakxa22，且xakxa0022，形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形直线的距离单位圆韦恩图数轴题型一利用数形结合的方法解决有关方程学习必备 欢迎下载 令yxak1，它表示倾角为45的直线系，y10 令yxa222，它表示焦点在x轴上，顶点为()()aa，00的等轴双曲线在x轴上方的部分，y20 原方程有解 两个函数的图象有交点，由下图知aka或 aak0 kk101或 k的取值范围为()()，101 xy0a-a 形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形直线的距离单位圆韦恩图数轴题型一利用数形结合的方法解决有关方程