2023年数学必修一全部知识点总结归纳+经典题+解析.pdf

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1、学习必备 精品知识点 数学必修一看题复习 注：以下内容总结了数学必修一常考题型，请认真看完每一种类型的题目，题目给出了相应的解析。若解析仍然看不懂，带着问题看每道例题前面的基础知识复习。注：看题时注意动笔写一写，本次要求是熟练每种题目的做题方法，以看和记忆为主。集合部分 考点一：集合的定义及其关系 基础知识复习（1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法 N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式

2、来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().（6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 BA（或)AB A 中的任一元 素 都 属于 B(1)AA(2)A(3)若BA且BC，则AC(4)若BA且BA，则AB A(B)或BA 真子集 AB（或 BA）BA，且B 中至少有一 元 素 不属于 A（1）A（A为非空子集）(2)若AB且BC，则AC BA 学

3、习必备 精品知识点 ABBAABAB A B C D 集合 相等 AB A 中的任一元 素 都 属于 B，B 中的 任 一 元素都属于 A(1)AB(2)BA A(B)（7）已知集合A有(1)n n 个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集.题型 1：集合元素的基本特征 例 1（2008 年江西理）定义集合运算：|,A Bz zxy xA yB 设 1,2,0,2AB，则集合A B的所有元素之和为（）A0；B2；C3；D6 解题思路根据A B的定义，让x在A中逐一取值，让y在B中逐一取值，xy在值就是A B的元素 解析：正确解答本题,必需清楚集合

4、A B中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B=4,2,0，故应选择 D 题型 2：集合间的基本关系 例 2.1数集ZnnX,)12(与ZkkY,)14(之的关系是（）AXY；BYX；CYX；DYX 解题思路可有两种思路：一是将X和Y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。解析 从题意看，数集X与Y之间必然有关系，如果 A成立，则 D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果 D成立，则 A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是 C【例 2.2】设集合1,22|,|nnxnnAx xBx ZZ，则下列图形能表示 A与 B关系 的是（）.解：简单列举两个集合的一

5、些元素，3113,1,0,1,2222A ，31 1 3,22 2 2B ，易知BA，故答案选 A 例 2.3若集合2|60,|10Mx xxNx ax ，且NM，求实数a的值.解：由26 023xxx 或，因此，2,3M.（i）若0a 时，得N ，此时，NM；（ii）若0a 时，得1 Na.若NM,满足1123aa 或，解得1123aa 或.故所求实数a的值为0或12或13 考点二：集合的基本运算 是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备

6、精品知识点 基础知识复习 1交集的定义：一般地，由所有属于 A且属于 B的元素所组成的集合,叫做 A,B的交集 记作 AB(读作”A交 B”)，即 AB=x|xA，且 xB 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A或属于集合 B的元素所组成的集合，叫做 A,B的并集。记作：AB(读作”A并 B”)，即 AB=x|xA，或 xB 3、交集与并集的性质：AA=A，A=,AB=B A，AA=A，A=A,A B=BA.4、全集与补集（1）全集：如果集合 S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。（2）补集：设 S 是一个集合，A是 S的一个子集（即 AS

7、），由 S中 所有不属于 A的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A的补集（或余集）。记作：CSA，即 CSA=x|xS 且 xA（3）性质：CU(C UA)=A (C UA)A=(C UA)A=U(4)(C UA)(C UB)=C U(AB)(5)(C UA)(C UB)=C U(AB)例 3.1 设集合0232xxxA，0)5()1(222axaxxB（1）若 2BA，求实数a的值；（注：这里的 I指的是交，Y指的是并）（2）若ABA，求实数a的取值范围 解题思路对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析因为2,10232xxxA，（1）由 2BA知，B2，

8、从而得0)5()1(4222aa，即 0342 aa，解得1a或3a 当1a时，2,2042 xxB，满足条件；当3a时，20442xxxB，满足条件 所以1a或3a（2）对于集合B，由)3(8)5(4)1(422aaa 因为ABA，所以AB 当0，即3a时，B，满足条件；当0，即3a时，2B，满足条件；当0，即3a时，2,1AB才能满足条件，S CsA A 是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点 由根与系数的关系得725521

9、)1(22122aaaa，矛盾 故实数a的取值范围是3a 例 3.2 已知集合|24Axx ，|Bx xm，且ABA，求实数 m 的取值范围.（注：这里的 I指的是交，Y指的是并）解：由ABA，可得AB.在数轴上表示集合 A与集合 B，如右图所示：由图形可知，4m.例 3.3 设集合24,21,9,5,1AaaBaa，若 9AB，求实数a的值.（注：这里的 I指的是交，Y指的是并）解：由于24,21,9,5,1AaaBaa，且 9AB，则有：当21 9 a 时，解得5a，此时=4,9,25=9,0,4AB，不合题意，故舍去；当29a 时，解得33a 或.3=4,5,9 =9,2,2aAB 时，

10、不合题意，故舍去；3=4,7 9=9,8,4aAB，合题意.所以，3a 函数部分 考点一：判断两函数是否为同一个函数 基础知识复习：1.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同(两点必须同时具备)例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(

11、，;01,01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（nN*）；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg 解题思路 要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。-2 4 m x B A 是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点 解析（1）由于xxxf2)(，xxxg33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数xxx

12、f)(的定义域为),0()0,(，而;01,01)(xxxg的定义域为 R，所以它们不是同一函数.（3）由于当 nN*时，2n 1 为奇数，xxxfnn1212)(，xxxgnn1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数xxf)(1x的定义域为0 xx，而xxxg2)(的定义域为10 xxx或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.答案（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数 考点二：求函数的定义域、值域 知识点复习：1.求函数的定义域时，一般遵循以下原则：()f x是整式

13、时，定义域是全体实数()f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数()f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 tanyx中，()2xkkZ 零（负）指数幂的底数不能为零没有 0 的 0 次方，也没有 0 的负数次方。若()f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集 对于求复合函数定义域问题，主要记住两个个问题，1，定义域指的是一个 x 的取值范围。2，括号范围对括号范围。例如：f（x+1）定义域是（1，2），求 f（2x）定义域

14、，先求第一个括号的范围 x+1 属于（2，3），所以 2x 属于（2，3），所以 x 属于（1，3/2）。对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义 2求值域的几种方法：（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必

15、居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域 由22122xxxy得012)1(22yxyyx，若0y，则得21x，所以0y是 函 数 值 域 中 的 一 个 值；若0y，则 由0)12(4)1(22yyy得021332133yy且，故所求值域是2133,2133（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。已知 cos x属于（-1，1）如求函数1cos3cos2xxy的值域，因为 1cos521cos3cos2xxxy，因为 cos x 属于（-1，1），

16、所以 2,0(1cosx，所以25,(1cos5x，故 21,(y（5）利用对号函数求值域：如求函数432xxy的值域 1.当0 x时，0y；2.当0 x时，xxy43，若0 x，则 x+4/x 的最小值是 4，可得 0y3/4 若0 x，则，x+4/x 的最大值是-4。可得-3/4y0 综上所述：此时从而得所求值域是43,43（6）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，在一个表达式中频繁出现的部分换成 t。注意换元后新元的取值范围：另*=t，则 t 属于 （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。题型 1：求有解析

17、式的函数的定义域 例 2.（08 年湖北）函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为()（注：这里的 I指的是交，Y指的是并）A.),2)4,(;B.)1,0()0,4(；C.1,0()0,4,;D.)1,0()0,4,解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。解析 欲使函数)(xf有意义，必须并且只需 是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点 0043230430232222xxxx

18、xxxxx)1,0()0,4 x，故应选择D 题型 2：求抽象函数的定义域 例 3（2006湖北）设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）（注：这里的 I指的是交，Y指的是并）A.4,00,4；B.4,11,4；C.2,11,2；D.4,22,4 解题思路要求复合函数xfxf22的定义域，应先求)(xf的定义域。解析 由202xx得，()f x的定义域为22x ，故22,2222.xx 解得 4,11,4x。故xfxf22的定义域为4,11,4.选 B.题型 3；求函数的值域 例 4 求下列函数的定义域与值域：（1）3254xyx；（2）22yxx .解：（1）要使函数有意义，则540

19、 x，解得54x.所以原函数的定义域是5|4x x.32112813(45)233233305445445445444xxxyxxxx ，所 以 值 域 为3|4y y .（2）22192()24yxxx .所以原函数的定义域是 R，值域是9(,4.考点三：映射的概念 基础知识复习 映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:fAB 给定一个集合A到集合B的映射，且,aA bB如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做

20、元素b的原象 是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点 例 5（06 陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方 由 密 文明 文（解 密），已 知 加 密 规 则 为：明 文,a b c d对 应 密 文2,2,23,4abbccdd例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（）A7,6,1,4；B6,4,1,7；C4,6,1,7；D

21、1,6,4,7 解题思路 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。解析 当接收方收到密文 14，9，23，28 时，有214292323428abbccdd，解得6417abcd，解密得到的明文为 C 考点四：函数的表达式 题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例 6 （04 湖北改编）已知)11(xxf=2211xx，则)(xf的解析式可取为 解题思路 这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法 解析 令txx11，则11ttx，12)(2tttf.12)(2xxxf.故应填212xx 题型 2：求二次函数的解析式 例7（普宁市城东中学 09 届高三

22、第二次月考）二次函数)(xf满足xxfxf2)()1(，且1)0(f。求)(xf的解析式；在区间 1,1上，)(xfy 的图象恒在mxy2的图象上方，试确定实数m的范围。解题思路（1）由于已知)(xf是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求)(2xfmx对于 1,1x恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点 解析 设2()(0)f xaxbxc a，则22(1)()(

23、1)(1)()2f xf xa xb xcaxbxcaxab 与已知条件比较得：22,0aab 解之得，1,1ab 又(0)1fc，2()1f xxx 由题意得：212xxxm 即231mxx对 1,1x恒成立，易得2min(31)1mxx 考点五：分段函数 基础知识复习：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集

24、，值域是各段值域的并集 题型 1：根据分段函数的图象写解析式 例 8(07 年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药 物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量 y（毫克）与时间 t（小时）成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为ay1161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 t（小时）之间的函数关系式为 ；（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。思路点拨根据题意，药物释放过程的含

25、药量 y（毫克）与时间 t 是一次函数，药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（）解析（）观察图象，当1.00 t时是直线，故ty10；当1.0t时，图象过)1,1.0(所以a1.01611，即1.0a，所以1.0,)161(1.00,101.0tttyt 是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点（）6.016116125.01615.01.01.0taa，所以至少需

26、要经过6.0小时 题型 2：由分段函数的解析式画出它的图象 例 9(2006 上海)设函数54)(2xxxf，在区间6,2 上画出函数)(xf的图像。思路点拨需 将来绝对值符号打开，即先解0542 xx，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。解析 222452156()45(45)15xxxxf xxxxxx 或,如右上图.考点六 函数的单调性 基础知识复习：定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1 x2时，都有 f(x 1)f(x 2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数 x1x2

27、y=f(X)xyf(x)1f(x)2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增）（4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1f(x 2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数 y=f(X)yxoxx2f(x)f(x)211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数 对于复合函数()yf g x，令()ug x，若(

28、)yf u为增，()ug x为增，则()yf g x为增；若()yf u为减，()ug x为减，则()yf g x为增；若()yf u是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点 为增，()ug x为减，则()yf g x为减；若()yf u为减，()ug x为增，则()yf g x为减（2）打“”函数()(0)af xxax 的图象与性质 ()f x分别在(,a、,)a 上为增函数，分别在,0)a、(0,a上为减函数 题型 1：讨论

29、函数的单调性 例 9.1 试用函数单调性的定义判断函数2()1xf xx在区间（0，1）上的单调性.解：任取12,x x(0,1)，且12xx.则1221121212222()()()11(1)(1)xxxxf xf xxxxx.由 于1201xx，110 x ，210 x ，210 xx，故12()()0f xf x，即12()()f xf x.所以，函数2()1xf xx在（0，1）上是减函数.例 9.2 求下列函数的单调区间：（1）|1|24|yxx ；（2）22|3yxx .解：（1）33,1|1|24|5,2133,2xxyxxxxxx ，其图象如右.由图可知，函数在 2,)上是增函

30、数，在(,2 上是减函数.（2）22223,02|323,0 xxxyxxxxx ，其图象如右.由图可知，函数在(,1、0,1上是增函数，在 1,0、1,)上是减函数.例 9.3.已知31()2xf xx，指出()f x的单调区间.解：3(2)55()322xf xxx ，把5()g xx的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 3 个单位，y x o 是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点 得到()f x

31、的图象，如图所示.由图象得()f x在(,2)单调递增，在(2,)上单调递增.题型 2：研究抽象函数的单调性 例 10 定义在 R 上的函数)(xfy，0)0(f，当 x0 时，1)(xf，且对任意的 a、bR，有 f（a+b）=f（a）f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的 xR，恒有 f（x）0；（3）求证：f（x）是 R 上的增函数；（4）若 f（x）f（2xx2）1，求 x 的取值范围.解题思路抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。解析（1）证明：令 a=b=0，则 f（0）=f 2（0）.又 f（0）0，f（0）=1.（2）证明

32、：当 x0 时，x0，f（0）=f（x）f（x）=1.f（x）=)(1xf0.又 x0 时 f（x）1 0，xR 时，恒有 f（x）0.（3）证明：设 x1x2，则 x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又 f（x1）0，f（x2x1）f（x1）f（x1）.f（x2）f（x1）.f（x）是 R 上的增函数.（4）解：由 f（x）f（2xx2）1，f（0）=1 得 f（3xx2）f（0）.又 f（x）是 R 上的增函数，3xx20.0 x3.考点七 最值的求法 题型 1：求分式函数的最值 例 11（2000 年上海）已知函数xaxx

33、xf2)(2).,1,x 当21a时，求函数)(xf的最小值；解题思路 当21a时，221)(xxxf，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数；解析当21a时，2211)(,221)(xxfxxxf 1x，0)(xf。)(xf在区间),1 上为增函数。是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点 )(xf在区间),1 上的最小值为27)1(f。题型 2：还原法求最值 例 11.1 求函数21yxx的最小值.解：

34、令1xt，则0t，21xt，所以22115222()48yttt ，在0t 时是增函数，当0t 时，min2y，故函数的最小值为 2.考点八 判断函数的奇偶性及其应用 基础知识复习：定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做奇函数 （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那 么 函 数f(x)叫做偶函数 （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象

35、关于 y 轴对称）若函数()f x为奇函数，且在0 x 处有定义，则(0)0f 奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数 题型 1：判断有解析式的函数的奇偶性 例 12 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）xx11；（3）2|2|1)(2xxxf；（4）).0()1(),0()1()(xxxxxxxf 思路点拨判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查

36、函数的定义域。是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点 解析（1）函数的定义域 x（，+），对称于原点.f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由xx110，得1 x1，其定义域不对称于原点，所以 f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由,02|2|,012xx得.40,11xxx且 故f（x）的定义

37、域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有x+20.从而有f（x）=2212xx=xx21，f（x）=xx2)(1=xx21=f（x）故 f（x）为奇函数.（4）函数 f（x）的定义域是（，0）（0，+），并且当 x0 时，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.当 x0 时，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函数 f（x）为奇函数.例 13（09 年山东梁山）定义在区间)1,1(上的函数 f(x)满足：对任意的)1,1(,yx，都有)1()()(xyyxfyfxf.求证 f(x)为奇函数；思路点拨欲证明)(xf为奇函数，就要证明)()(xfxf，但这是抽象

38、函数，应设法充 分利用条件“对任意的)1,1(,yx，都有)1()()(xyyxfyfxf”中的yx,进行合理“赋值”解析令 x=y=0，则 f(0)+f(0)=)0()0100(ff f(0)=0 令 x(1,1)x(1,1)f(x)+f(x)=f(21xxx)=f(0)=0 f(x)=f(x)f(x)在(1，1)上为奇函数 考点九 函数奇偶性、单调性的综合应用 例 14（普宁市城东中学 09）已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数，若0)12()1(mfmf，求实数m的取值范围。是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者

39、两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点 思路点拨欲求m的取值范围，就要建立关于m的不等式，可见，只有从 0)12()1(mfmf出发，所以应该利用)(xf的奇偶性和单调性将外衣“f”脱去。解析)(xf是定义在)2,2(上奇函数 对任意x)2,2(有 fxf x 由条件0)12()1(mfmf得(1)(21)f mfm =(12)fm)(xf是定义在)2,2(上减函数 21 212mm ，解得1223m 实数m的取值范围是1223m 例 15 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)

40、f(3a22a+1).求 a 的取值范围，并在该范围内求函数 y=(21)132aa的单调递减区间.思路点拨欲由 f(2a2+a+1)f(3a22a+1)求 a 的取值范围，就要设法利用函数 f(x)的单调性。而函数 y=(21)132aa是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决 解析 设 0 x1x2,则x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)内单调递减.032)31(3123,087)41(2122222aaaaaa又 由 f(2a2+a+1)

41、3a22a+1.解之，得 0a3.又 a23a+1=(a23)245.函数 y=(21)132aa的单调减区间是3,)2 结合 0a0 且 a1；2.真数 N0 3.注意对数的书写格式 2、两个重要对数：（1）常用对数：以 10 为底的对数,10loglgNN记为；（2）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数,loglneNN记为 3、对数式与指数式的互化 logxaxNaN 对数式 指数式 对数底数 a 幂底数 对数 x 指数 真数 N 幂 结论：（1）负数和零没有对数（2）logaa=1,loga1=0 特别地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0(3)对数恒等式：logNa

42、aN 对数的运算性质 如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有：1、logMNloglogaaaMN（）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2、NMNMaaalogloglog 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 3、loglognnaaMnM（R）一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n倍 说明:1)简易语言表达:”积的对数=对数的和”2)有时可逆向运用公式 3)真数的取值必须是(0,)4)特别注意：NMMNaaalogloglog NMNMaaalogloglog 注意：换底公式loglglog0,1,0,1,0loglgcacbbbaaccbaa 是熟练每种题目的做题

43、方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点 利用换底公式推导下面的结论 abbalog1log loglogloglogabcabcddloglogmnaanbbm 考点二 指数函数 基础知识复习：1、指数函数的概念：一般地，函数xya 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1即 a0 且 a1 2、指数函数的图象和性质 0a1 图 像 性质 定义域 R,值域（0，+）（1）过定点（

44、0，1）,即 x=0时，y=1(2)在 R上是减函数(2)在 R上是增函数（3）当 x0 时,0y1;当 x1（3）当 x0 时,y1;当 x0 时,0y1 图象特征 函数性质 共性 向 x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）0a0 时,0y1;在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 当 x1 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 当 x0 时,y1;在第二

45、象限内的图象纵坐标都小于 1 当 x0 时,0y0 时，a,N 在 1 的同侧；当 b0 且 y1.(2)y 4x+2x+1+1 的定义域为 R.2x0,y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1(2x+1)21.y4x+2x+1+1 的值域为yy1.题型四 最值问题 例 4 函数221(01)xxyaaaa且在区间 11，上有最大值 14，则 a 的值是_ 分析：令xta可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围 解：令xta，则0t，函数221xxyaa可化为2(1)2yt，其对称轴为1t 当1a 时，11x，1xaaa，即1taa 当ta时，2max(1)214ya 解得

46、3a 或5a （舍去）；当01a 时，11x，1xaaa，即1ata，1ta时，2max11214ya，解得13a 或15a （舍去），a 的值是 3 或13 题型五 解指数方程 例 5 解方程223380 xx 解：原 方程可 化为29(3)80390 xx ，令3(0)xtt，上 述方程 可化为298090tt，解得9t 或19t （舍去），39x，2x，经检验原方程的解是2x 题型六 图象变换及应用问题 例 6 为了得到函数9 35xy 的图象，可以把函数3xy 的图象（）是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一

47、集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点 A向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度 B向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 C向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度 D向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 分析：注意先将函数9 35xy 转化为235xt，再利用图象的平移规律进行判断 解：293535xxy ，把函数3xy 的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数9 35xy 的图象，故选（C）题型七 指数函数与复合函数 基础知识参照函数的单调性中复合函数

48、的应用 例 7 求函数 y23231xx的单调区间.这是复合函数求单调区间的问题 可设 yu31,u x2-3x+2，其中 yu31为减函数 ux2-3x+2 的减区间就是原函数的增区间(即减减增)ux2-3x+2 的增区间就是原函数的减区间(即减、增减)解：设 yu31,u x2-3x+2,y 关于 u 递减，当 x(-，23)时，u 为减函数，y 关于 x 为增函数；当 x23，+)时，u 为增函数，y 关于 x 为减函数.题型八 指数函数与单调性及奇偶性 例 8 已知函数 f（x）=a122x（aR），（1）求证：对任何 aR，f（x）为增函数（2）若 f（x）为奇函数时，求 a 的值。

49、（1）证明：设 x1x2 f（x2）f（x1）=)21)(21()22(22112xxxx0 故对任何 aR，f（x）为增函数（2）xR，又 f（x）为奇函数(0)0f 得到10a 。即1a 题型九 指数函数变换图像 例 9 函数 yax(a1)的图像是()是熟练每种题目的做题方法以看和记忆为主集合部分考点一集合的定义集集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一集合的表或韦恩图来表示集合集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有学习必备 精品知识点 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.解法 1：(分类讨论)：去绝对值，可得 y).

50、0()1(),0(xaxaxx 又 a1，由指数函数图像易知，应选 B.解法 2：因为 yax是偶函数，又 a1，所以当 x0 时，yax是增函数；x0 时，ya-x是减函数.应选 B.考点三 对数函数 1、对数函数的概念：函数logayx(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：log1ayx，log2ayx 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2）对数函数对底数的限制：a0，且 a1 2、对数函数的图像与性质：对数函数logayx(a0，且 a1)0 a 1 a 1 图像 性质 定义