2023年《博弈论》期中考试试卷及参考超详细解析超详细解析超详细解析答案.pdf
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1、 1 2011 级经济学专业(1-2班)博弈论期中考试试卷(开卷)班级 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 总得分 得分 答题要求:1、不能用铅笔答题,违反者按缺考处理;2、开卷考试,给足够时间答题,请认真完成考试;卷面务必保持清楚整洁,每涂改一处扣 10 分;3、每一道题的解务必写出完整的解题过程,没有过程,只有答案不给分;4、如果发现雷同卷,一律按零分处理。一、下面的支付矩阵表示一个两人的静态博弈。问当 a、b、c、d、f、g、h 之间满足什么条件时,该博弈存在严格优势策略均衡(20 分)参考答案:1、严格优势策略均衡是由各博弈方的严格优势策略组成的策略组合。(2 分)2、对于博弈
2、方 1,如果 ae 且 cg,则 U 是相对于 D 的严格优势策略;如果 ae 且 cg,则 D 是相对于 U 的严格优势策略;(3 分)3、对于博弈方 2,如果 bd 且 f h 则 L 是相对于 R 的严格优势策略;如果 bd 且 f h,则 R 是相对于 L 的严格优势策略。(3 分)4、上述两个博弈方各自有两种严格优势策略的相对支付情况的组合,总共可能构成四种严格优势策略均衡:(12 分)1)如果 ae 且 cg,bd 且 f h,严格优势策略均衡是(U,L)2)如果 ae 且 cg,bd 且 f h,严格优势策略均衡是(U,R)3)如果 ae 且 cg,bd 且 f h,严格优势策略
3、均衡是(D,L)4)如果 ae 且 cg,bd 且 f h,严格优势策略均衡是(D,R)(在求解本题时,如果前面三点没有写,但这四条都能写出来,可以按每条 5 分计算,共 20 分)二、一个工人给一个老板干活,工资标准是 100 元。工人可以选择是否偷懒,老板则选择是否克扣工资。假设工人不偷懒有相当于 50 元的负效用,老板想克扣工资总有借口扣掉 60 元工资,工人不偷懒老板有 150 元产出,而工人偷懒时老板只有 80 元产出,但老板在支付工资之前无法知道实际产出,这些情况是双方都知道的。请问:(1)如果老板完全能够看出工人是否偷懒,博弈属于哪种类型?请用支付矩阵或博弈树表示该博弈(要求按教
4、材给出的格式来表示,并求出博弈的所有 Nash 均衡及博弈的结果(2)如果老板无法看出工人是否偷懒,博弈属于哪种类型?请用支付矩阵或博弈树表示该博弈(要求按教材给出的格式来表示,并求出博弈的均衡解。(共 30 分)参考答案 g,he,fc,da,bLRUD博弈方2博弈方1 2(1)动态博弈、完全信息的动态博弈、完全且完美信息的动态博弈(2 分)该博弈的博弈树是:(2 分)用以下两种方法可求出该博弈的所有 Nash 均衡(16 分)方法 1:该博弈共有 2(22)=8 个策略组合;用粗线表示法表述 8 个策略组合;用箭头排除确定法求出该博弈的 Nash 均衡(偷懒,克扣,克扣)a偷懒不偷懒bc老
5、板老板克扣克扣(40,40)(100,-20)(-10,110)(50,50)工人不克扣不克扣(40,40)(100,-20)(-10,110)(50,50)(40,40)(100,-20)(-10,110)(50,50)(不偷懒,克扣,不克扣)对局(不偷懒,克扣,克扣)对局(40,40)(100,-20)(-10,110)(50,50)(40,40)(100,-20)(-10,110)(50,50)(40,40)(100,-20)(-10,110)(50,50)(40,40)(100,-20)(-10,110)(50,50)(偷懒,克扣,克扣)对局(偷懒,克扣,不克扣)对局(偷懒,不克扣,不
6、克扣)对局(偷懒,不克扣,克扣)对局 3 方法 2:把用博弈树表示的序贯博弈,转换成矩阵式表示的博弈(正规型表示的博弈),然后用2 介绍的划线法求 Nash 均衡。该博弈的 Nash 均衡是(偷懒,克扣,克扣)博弈的结果:用倒推法(剪枝法)求得该博弈的结果是(偷懒,克扣)(4 分)(2)静态博弈、完全信息静态博弈(2 分)该博弈的支付矩阵是:(2 分)用划线法可求出该博弈的 Nash 均衡是(偷懒,克扣)(2 分)(本题也可以用反应函数法来做)解:设工人、老板选择纯策略的概率如上图所示 1)求期望支付函数 50,50-10,110100,-2040,40克扣不克扣偷懒 P不偷懒 1-P老板工人
7、q 1-q老板工人克扣,克扣 偷懒不偷懒不克扣,克扣 不克扣,不克扣克扣,不克扣-10,110100,-2050,5050,50-10,110100,-2040,4040,40a偷懒不偷懒bc老板老板克扣克扣(40,40)(100,-20)(-10,110)(50,50)工人不克扣不克扣50,50-10,110100,-2040,40克扣不克扣偷懒不偷懒老板工人(40,40)(100,-20)(-10,110)(50,50)(40,40)(100,-20)(-10,110)(50,50)(不偷懒,不克扣,克扣)对局(不偷懒,不克扣,不克扣)对局 4 U工人=40pq100p(1q)10(1p)
8、q50(1p)(1q)=40pq100p100pq10q10pq5050p50q50pq =50p60q50 U老板=40pq20p(1q)110(1p)q50(1p)(1q)=40pq20p20pq110q110pq5050p50q50pq=60q70p50 2)根据期望支付函数写出反应函数 p=1 q=0,1 q=1 p=0,1 3)作图 4)图中交点(1,1)即该博弈的混合 Nash 均衡(偷懒,克扣)三、在一条狭窄的巷子里,两个年轻人骑着自行车相向而行。每人都有两个策略,即或者选择“冲过去”或者选择“避让”。如果选择“避让”,不管对方采取什么策略,他得到的收益都是0。如果其中一人采取“
9、冲过去”的策略,如果对方采取“避让”,那么他得到的支付是 9;如果对方不避让,那么他得到的支付是36。请用反应函数法求出该博弈的全部纳什均衡。(10 分)参考答案 1、由所给条件可求得支付矩阵(如下图);用划线法可求得这个博弈有两个纯策略 Nash 均衡(避让,冲过去)、(冲过去,避让)(2 分)2、根据支付矩阵求期望支付函数;设甲、乙选择纯策略的概率如下图所示(2 分)u甲=9(1p)q36(1p)(1q)=9q 9pq3636p36q36pq =45pq36p45q36-36,-369,00,90,0避让冲过去避让冲过去乙甲-36,-369,00,90,0避让冲过去避让 P冲过去 1-P乙
10、甲q 1-qqp011(1,1)5 =9p(5q4)45q36 u乙=9p(1q)36(1p)(1q)=9p9pq3636p36q36pq =45pq36q45p36 =9q(5p4)45p36 3、根据期望支付函数写出反应函数(2 分)甲的反应函数 p=0 当 q0.8 p=0,1 当 q0.8 p=1 当 q0.8 乙的反应函数 q=0 当 p0.8 q=0,1 当 p0.8 q=1 当 p0.8 4、根据反应函数画反应函数曲线(2 分)5、反应曲线的交点(0,0)、(1,1)、(0.8,0.8)该博弈的混合策略 Nash 均衡(2 分)四、假定甲、乙两寡头垄断的市场需求函数是 Q=12P
11、,生产成本为零。如果两厂商都只能要么生产垄断产量的一半,要么生产古诺产量,证明这是一个囚犯困境型的博弈。(20 分)参考答案 1)垄断产量和垄断利润的计算(5 分)由于假定生产成本为零,所以利润 =TRTC=TR =TR=PQ=(aQ)Q=aQ Q2 令=0;即 a2Q=0 Q=a/2 所以 q甲=a/4,q乙=a/4 Q=12P P=aQ=aa/2=a/2 甲=Pq甲=a/2a/4=a2/8 乙=Pq乙=a/2a/4=a2/8 2)古诺产量和利润的计算(5 分)根据已知条件 P=aQ=aq1q2;c=0 所以 甲=Pq1=(aq1q2)q1 乙=Pq2=(aq1q2)q2 令 甲=a 2q1
12、q2=0 乙=aq12q2=0 可求得 q1=a/3 q2=a/3 Q=q1q2=2a3 P=aQ=a3 甲=Pq1=a3 a3=a29 qp010.810.8qp010.810.8qp010.810.8 6 乙=Pq2=a3 a3=a29 3)如果一厂商生产垄断产量的一半a4,另一方生产古诺产量a3 P=aQ=a(a4 a3)=5a12 前者利润=5a12 a4=5a248 后者利润=5a12 a3=5a236 (5 分)4)上述博弈用支付矩阵来表示就是:18=0.125,536 0.139;19 0.111,548 0.104 a28 5a236,5a248 a29 两厂商垄断产量的一半a
13、4 都是相对于古诺产量a3 的严格劣势策略;所以该博弈唯一的 Nash均衡,也是严格优势策略均衡,是(a3,a3),这个 Nash 均衡的双方的支付a29,显然不如双方都采用a4 的支付a28,因此这个博弈是一个囚徒困境型的博弈(5 分)五、考虑下述两个人玩的称为“力争上游”的卡片游戏:桌子上,面朝下放着 3 张卡片,分别写着 1、2 和 3,甲先拿一张卡片,然后乙拿一张卡片,他们相互看不到对方写着的数字(但每人都清楚自己手上拿着的卡片上的数字)。现在,甲先动,他可以选择是否和乙交换卡片,如果甲选择交换,乙必须和他交换;然后乙行动,他可以选择是否和桌面上剩余的那张卡片交换。这一切做完之后,手上
14、卡片数字小的人,输给手上卡片数字大的人 1 根火柴。试把这个游戏表达为序贯博弈,并求出 Nash 均衡和博弈的结果。(20 分)参考答案:该博弈可分为 6 种情况(1、2 各给 4 分,3、4、5、6 各给 3 分)1、甲取到 3,乙取到 1 该博弈的博弈树是:求该博弈的 Nash 均衡 方法 1:该博弈共有 2(22)=8 个策略组合;用粗线表示法表述 8 个策略组合;用箭头排除确定法求出该博弈的 Nash 均衡(1,2)(1,3)(3,2)(3,1)甲乙乙换换换不换不换不换aa5a5a5aaa2/9,2/92/36,5a2/482/48,2/362/8,2/8a/4a/3a/4a/3乙甲垄
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