2023年专题基本不等式常见题型全面汇总归纳教师版.pdf

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1、 第 1 页 共 11 页 专题函数常见题型归纳 三个不等式关系：（1）a，bR，a2b22ab，当且仅当 ab 时取等号 （2）a，bR，ab2 ab，当且仅当 ab 时取等号 （3）a，bR，a2b22(ab2)2，当且仅当 ab 时取等号 上述三个不等关系揭示了 a2b2，ab，ab 三者间的不等关系 其中，基本不等式及其变形：a，bR，ab2 ab(或 ab(ab2)2)，当且仅当 ab时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例 1】（扬州市 20152016 学年度第一学期期末11

2、）已知1ba且7log3log2abba，则112ba的最小值为 .【解析】1ba且7log3log2abba32log7logaabb，解得1log2ab 或log3ab，1ba1log2ab，即2ab2111111aaba 121131aa 练习：1（南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟 10）若实数满足，且，则的最小值为 解析：由 log2x+log2y=1 可得 log2xy=1=log22，则有 xy=2，那么=（xy）+2=4，当且仅当（xy）=，即 x=+1，y=1,x y0 xy 22loglog1xy22xyxyyxyx22yxxyyx2)(2yx 4yxyx4)(

3、yx 433 第 2 页 共 11 页 时等号成立，故的最小值为 4 2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017 届高三上学期期末）若实数,x y满足133(0)2xyxx，则313xy的最小值为 3.（无锡市 2017 届高三上学期期末）已知0,0,2abc，且2ab，则522acccbabc 的最小值为 .【典例 2】（南京市 2015 届高三年级第三次模拟12）已知 x，y 为正实数，则4x4xyyxy的最大值为 解析：由于4x4xyyxy=)(4()4()(4yxyxyxyyxx=22225484yxyxyxyx=1+22543yxyxxy=1+345xyyx 1+5423xy

4、yx=43，当且仅当 4yx=xy，即 y=2x 时等号成立【典例 3】若正数a、b满足3abab ,则ab的最小值为_.解析：由,a bR,得223(),()4()1202ababababab ,解得6ab(当且仅当ab且3abab ,即3ab 时,取等号).变式：1.若,a bR,且满足22abab,则ab的最大值为_.解析：因为,a bR,所以由22222()2ababababab ,2()ab 2()0ab,解得02ab (当且仅当ab且22abab,即1ab 时,取等号).2.设0,0 yx，822xyyx，则yx2的最小值为_ 4 3.设Ryx,，1422xyyx，则yx 2的最大

5、值为_ 1052 4.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017 届高三上学期期中）已知正数a，b满足195abab，则ab的最小值为 yxyx22 第 3 页 共 11 页【题型二】含条件的最值求法【典例 4】（苏州市 2017 届高三上期末调研测试）已知正数yx,满足1yx，则1124yx的最小值为 练习 1（江苏省镇江市高三数学期末14）已知正数yx,满足111yx，则1914yyxx的最小值为 .解析：对于正数 x，y，由于x1+y1=1，则知 x1，y1，那么14xx+14yy=（14xx+14yy）（1+1x1y1）=（14xx+14yy）（xx1+yy1）（xxxx114+y

6、yyy114）2=25，当且仅当14xxyy1=14yyxx1时等号成立 2.（20132014 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）11）已知正数满足，则的最小值为 解析：，当且仅当时，取等号故答案为：9 3（南通市 2015 届高三第一次调研测试12）已知函数(0)xyab b的图像经过点(1,3)P，如下图所示，则411ab的最小值为 .,x y22xy8xyxy8181828814529222xyxyxyxyxyyxyxyxyx 82xyyx 第 4 页 共 11 页 解析：由题可得 a+b=3，且 a1，那么14a+b1=21（a1+b）（14a+b1）=21（4+ba1+14a

7、b+1）21（2141abba+5）=29，当且仅当ba1=14ab时等号成立 4（江苏省苏北四市 2015 届高三第一次模拟考试12）己知 a，b 为正数，且直线 与直线 互相平行，则 2a+3b 的最小值为_ 【解析】由于直线 ax+by6=0 与直线 2x+（b3）y+5=0 互相平行，则有=，即3a+2b=ab，那么 2a+3b=（2a+3b）=（2a+3b）（+）=+132+13=25，当且仅当=，即 a=b 时等号成立 5.常数 a，b 和正变量 x，y 满足 ab16，ax2by12.若 x2y 的最小值为 64，则 ab_.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数,

8、a b满足 12122ab bba a，则ab的最大值为 答案：【题型三】代入消元法【典例 5】（苏州市 2016 届高三调研测试14）已知14ab，,(0,1)a b，则1211ab的最小值为 解析：由14ab 得14ab，2221211424122711411451451abbbbbbbbbbb 令71bt 则227149494 2111418451427183427btbbtttt 当且仅当3 22t 即3 2214 等号成立 60axby 2(3)50 xby 2a3bbabba23 b3a2ba6ab6abba 66ba6ab62 223 第 5 页 共 11 页 练习 1（江苏省扬

9、州市 2015 届高三上学期期末12）设实数 x，y 满足 x22xy10，则x2y2的最小值是 解析：由 x22xy10 可得 y=212xx，那么 x2y2=x2222(1)4xx=54x2+214x122225144xx12=5212，当且仅当54x2=214x，即 x4=15时等号成立 2（苏州市 2014 届高三调研测试13）已知正实数 x，y 满足，则 x+y 的最小值为 解析：正实数 x，y 满足 xy+2x+y=4，（0 x2）x+y=x+=（x+1）+3，当且 仅 当 第 6 页 共 11 页 时取等号x+y 的最小值为故答案为：3（南通市 2014 届高三第三次调研测试 9

10、）已知正实数,x y满足(1)(1)16xy，则xy的最小值为 解 析：正 实 数 x，y 满 足（x 1）（y+1）=16，1116yx，x+y=8116121116yyyy，当且仅当 y=3，（x=5）时取等号x+y 的最小值为8故答案为：8 4.（扬州市 2017 届高三上学期期中）若2,0 ba，且3 ba，则使得214ba取得最小值的实数a=。5.设实数 x、y 满足 x22xy10，则 xy 的取值范围是_ 6.已知Rzyx,，且1zyx，3222zyx，求xyz的最大值为_【题型四】换元法【典例 6】（南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试13）已知函数 f(x)ax

11、2xb(a，b 均为正数)，不等式 f(x)0 的解集记为 P，集合 Qx|2tx2t若对于任意正数 t，PQ，则1a1b的最大值是 【解析】由题意可知任意正数 t，集合 Qx|2tx2t，构成的集合tQ的交集为2，即2420,42fabba ，21111324242aabaaaa ，令32au，211999144104182410uabuuuu ，当且仅当1u ，等号成立，1,a 或13a（舍）0,b 故12a 则1a1b的最大值是12 2（2016 年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷14）已知正数 a，b，c满足 b+c a，则+的最小值为 解法一：正数 a，b，c 满足 b

12、+c a，第 7 页 共 11 页 +=（+）+=+当且仅当=时取等号 故答案为：解法二：由 acb得1bacc，令bxc，ayc，则1xy，1bcxcabxy，所以111111112122212212222bcxxxcabxyxx ，当且仅当212x时等号成立故baccb的最小值为122 练习 1（江苏省南京市 2016 届高三第三次模拟14）若实数 x，y 满足 2x2xyy21，则的最大值为 解析：由 2x2xyy21 可得，令，则，代入得，令，则，当且仅当时取等号，故的最大值为 2设是正实数,且,则的最小值是_.解:设,则,所以=222522xyxxyy21xyxy2xyt 1xyt

13、113xtt123ytt222522xyxxyy2211tttt1tmt 222211212224tmmtmmtmtm2m 222522xyxxyy24,x y1xy 2221xyxy2xs 1yt 4st 2221xyxy22(2)(1)41(4)(2)stststst 第 8 页 共 11 页.因为 所以.3.若实数 x，y 满足 2x2xyy21，则x2y5x22xy2y2的最大值为 24 4（江苏省苏、锡、常、镇 2016 届高三数学教学情况调查数学试题（一）14）若实数满足，则当取得最大值时，的值为 5 .解析：当时，取最大值 8，取得最大值，解得，故.【题型五】判别式法【典例 7】

14、南通市 2015 届高三第三次调研测试14 已知正实数 x，y 满足24310 xyxy ，则 xy 的取值范围为 【解析】设，则，代入得：，由，解得，即 xy 的取值范围为.4141()()6()2ststst 411 411 49()()(5)444tsstststst 221214xyxy 第 9 页 共 11 页 练 习1.（泰 州 市2016届 高 三 第 一 次 模 拟 13）若 正 实 数满 足，则的最大值为 【解析】令，则，因此，当时，因此的最大值为 2.设Ryx,，1322xyyx，则yx 2的最大值为_ 1120 变式 1（江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研（

15、二）数学试题14）在平面直角坐标系xOy中，设点(1 0)A，(0 1)B，()C ab，()D c d，若不等式2(2)()()CDmOC ODm OC OBOD OA对任意实数abcd，都成立，则实数m的最大值是 解析：由题意得：22()()(2)()acbdmacbdmbc，2222+()acbdm acbdbc 2222()+(+)amc acbdmbdmbc0对任意实数a都成立，因此2222()4(+)mccbdmbdmbc 0，即2222444()()dmbdcbmbcmc 0对任意实数d都成立，即222221(4)44(444)mbcbmbcm c 0，22222(4)44mbm

16、bccm c 0对任意实数b都成立，即222222240,(4)(4)(4)mmcmcm c 0，4212160,mm 262 5m ，即1551m，实数m的最大值是51 【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2Rxacbxaxxf,有 第 10 页 共 11 页 1）0)(xf对Rx恒成立00a 2）0)(xf对Rx恒成立.00a 分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是

17、求最值。一般地有：1）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag 2）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag 确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。2（南京市 2014 届高三年级第三次模拟14）设二次函数 cbxaxxf2（cba,为常数）的导函数为 xf对任意Rx，不等式 xfxf恒成立，则222cab的最大值为 解析：cbxaxxf2，baxxf2，对任意Rx，不等式 xfxf恒成立，baxcbxax22恒成立，即 022bcxabax恒成立，故 04442222acabbcaab，且0a，即2244aa

18、cb，故2224212142121141444422222222acacacacacacaccaaaccab222，故答案为：222【题型六】分离参数法【典例 8】（2013-2014学年江苏省镇江市高三（上）期末14）已知 x0，y0，若不等式 x3+y3 kxy（x+y）恒成立，则实数 k的最大值为_ 解析x0，y0，不等式 x3+y3kxy（x+y）可化为，x2xy+y2kxy，即，由基本不等式得，k2 1=1，实数 k 的最大值为 1，故答案为：1 第 11 页 共 11 页 练习 1（江苏省苏北三市 2016 届最后一次模拟3）已知对满足42xyxy 的任意正实数,x y，都有222

19、10 xxyyaxay，则实数a的取值范围为 .解析：221210()xxyyaxayaxyxy ，而2422()42xyxyxyxy （负舍），因此117(),),4xyxy即实数a的取值范围为17(,4 2 若不等式 x22xya(x2y2)对于一切正数 x，y 恒成立，则实数 a 的最小值为 【解析】方法一：令 ytx，则 t0，代入不等式得 x22tx2a(x2t2x2)，消掉 x2得 12ta(1t2)，即 at22ta10 对 t0 恒成立，显然 a0，故只要 44a(a1)0，即 a2a10，考虑到 a0，得 a.方法二：令 ytx，则 a，令 m12t1，则 t，则 a，故 a.