【高中数学】数系的扩充和复数的概念教学阐释课件 2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、教学阐释教学阐释7.1.17.1.1数系的扩充与复数的概念数系的扩充与复数的概念0101教学内容解析教学内容解析0303学生学情分析学生学情分析0404教学支持条件教学支持条件0202教学目标设置教学目标设置Contents目录0505教学过程设计教学过程设计1 12019人教人教A版必修第版必修第二二册册第七章第七章 复数复数 1.章节内容结构图对数对数复数的代数形式复数的代数形式及其几何意义及其几何意义数系扩充与复数系扩充与复数引入数引入复数的概念复数的概念复数与复数集复数与复数集复数的三角形式复数的三角形式及其几何意义及其几何意义复数的代数形式的四复数的代数形式的四则运算，复数加减运则运

2、算，复数加减运算的几何意义算的几何意义复数乘、除运算的三复数乘、除运算的三角表示及其几何意义角表示及其几何意义复数复数相等相等的含的含义义实数、实数、虚数、虚数、纯虚数纯虚数之间的之间的关系关系数系的扩充过程体现了数数系的扩充过程体现了数学的发现和创造的过程。学的发现和创造的过程。经历数系扩充的基本过程，经历数系扩充的基本过程，体会人类理性思维在数系体会人类理性思维在数系扩充中的作用。扩充中的作用。陈省身先生的话 一个数学家应当了解什么是好的数学，什么是不好的或不太好的数学。有些数学是有开创性的，有发展前途的，这就是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，却渐渐地变成一种游戏比如说，解方程就是好的数

3、学。搞数学的都要解方程，一次方程容易解，二次方程就不同。x-1=0有实数解，而x+1=0就没有实数解。后来就加进复数，讨论方程的复数解。大家知道的代数基本定理就是n次代数方程必有复数解。这一问题有很长的历史，当年有名的数学家欧拉(L.Euler，1707-1783)就考虑过这个问题，但一直没有证出来。后来还是高斯(C.F.Gauss，1777-1855)证出来的，还发现复数和拓扑有关系，有了新的理解。因为模等于1的复数表示一个圆周，在这一圆周上就有很多花样。如果从解f(z)=0到解f(x，y)=0，那就进到研究曲线，当然也可能没有解，一个实点也没有。于是花样就来了。假使你在f(x，y)=0中把

4、x、y都看成复数，则两个复数相当于四维空间，这就很麻烦，出现了复变函数论中的黎曼曲面。你要用黎曼曲面来表示这个函数，求解原来的方程 f(x，y)=0，那就要用很多的数学知识，其中最要紧的概念是亏格。你把f(x，y)=0的解看成曲面之后，那么曲面有很多个圈，球面环面的不同等等花样，都和亏格有关。此外，你也可以有另外的花样，比如 f(x，y)=0的系数都假定为整数，你也可以讨论它的整数解，这就很难了。教学内容解析教学内容解析教学支持条件教学支持条件教学过程设计教学过程设计教学目标设置教学目标设置课时课时课时课时内容内容内容内容从实系数一元二次方程当判别式小于从实系数一元二次方程当判别式小于从实系数

5、一元二次方程当判别式小于从实系数一元二次方程当判别式小于0 0 0 0时没有实数根出时没有实数根出时没有实数根出时没有实数根出发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，得到数系扩充中体现出的系扩充到实数系的过程，得到数系扩充中体现出的系扩充到实数系的过程，得到数系扩充中体现出的系扩充到实数系的过程，得到数系扩充中体现出的“规规规规则则则则”，进而在，进而在，进而在，进而在“规则规则规则规则”的引导下，考虑为使方程的引导下，考

6、虑为使方程的引导下，考虑为使方程的引导下，考虑为使方程x x x x+1=0+1=0+1=0+1=0有解，引入新数有解，引入新数有解，引入新数有解，引入新数i i i i，从而可以像实数一样进行加法、乘，从而可以像实数一样进行加法、乘，从而可以像实数一样进行加法、乘，从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集.教学教学教学教学重点重点重点重点从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的

7、概念从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念学生学情分析学生学情分析2 20101010102020202教学目标教学目标了解了解引入复数的必要性引入复数的必要性，了解，了解数系扩充的一般数系扩充的一般“规则规则”，了，了解从实数系扩充到复数系的过程，理解解从实数系扩充到复数系的过程，理解复数的代数表示复数的代数表示，理，理解解复数相等的含义复数相等的含义。教学目标设置教学目标设置教学内容解析教学内容解析教学支持条件教学支持条件教学过程设计教学过程设计学生学情分析学生学情分析通过数系扩充通过数系扩充“规则规则”的归纳，提升学生的的归纳，提升学生的

8、数学抽象素养数学抽象素养，通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的提升学生的逻辑推理素养逻辑推理素养.03030303体会数系扩充的合理性及体会数系扩充的合理性及人类理性思维人类理性思维在数系扩充中的作在数系扩充中的作用，通过介绍复数的发展历史，让学生感受用，通过介绍复数的发展历史，让学生感受数学的文化和数学的文化和精神精神。3 3学生学情分析学生学情分析学生在义务教育阶段已经经学生在义务教育阶段已经经历了从自然数到实数的扩充历了从自然数到实数的扩充过程，对数系扩充一定的认过程，对数系扩充一定的认识，知道新的数系能够解决

9、识，知道新的数系能够解决在原有数系中无法解决的一在原有数系中无法解决的一些解方程问题。学生在前面些解方程问题。学生在前面的学习中，也已多次利用类的学习中，也已多次利用类比的方法来研究数学问题。比的方法来研究数学问题。学生在初中阶段建立起来学生在初中阶段建立起来学生在初中阶段建立起来学生在初中阶段建立起来的数系扩充经验理性程度的数系扩充经验理性程度的数系扩充经验理性程度的数系扩充经验理性程度不高，对扩充过程中蕴含不高，对扩充过程中蕴含不高，对扩充过程中蕴含不高，对扩充过程中蕴含的数学思想方法的理解不的数学思想方法的理解不的数学思想方法的理解不的数学思想方法的理解不够深入，特别是复数是一够深入，特

10、别是复数是一够深入，特别是复数是一够深入，特别是复数是一个个个个“二维数二维数二维数二维数”尽管有数轴尽管有数轴尽管有数轴尽管有数轴上的点表示数的经验，但上的点表示数的经验，但上的点表示数的经验，但上的点表示数的经验，但在平面直角坐标系中用有在平面直角坐标系中用有在平面直角坐标系中用有在平面直角坐标系中用有序数对表示一个数，是经序数对表示一个数，是经序数对表示一个数，是经序数对表示一个数，是经验上的一个飞跃验上的一个飞跃验上的一个飞跃验上的一个飞跃教学教学教学教学难点难点难点难点复数系扩充过程复数系扩充过程复数系扩充过程复数系扩充过程的数学基本思想，的数学基本思想，的数学基本思想，的数学基本思

11、想，复数的代数形式复数的代数形式复数的代数形式复数的代数形式4 4教学内容解析教学内容解析教学过程设计教学过程设计学生学情分析学生学情分析教学目标设置教学目标设置教学支持条件教学支持条件 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念设计如下策略：01 从情境中从情境中获取对象获取对象，为引发认知冲突为引发认知冲突设置对象设置对象，在在探究过程中探究过程中生成对象生成对象，从特殊到一般从特殊到一般衍生对象衍生对象，构成构成问题串问题串，形成本节课的形成本节课的教学材料教学材料.在对在对问题串问题串的的探究探究过程中，过程中，运用运用类比、抽象、化归类比、抽象、化归等思想方法等思想方法，最终，最终生成生

12、成复数的代数表示，复数的代数表示，形成形成复数系、复数系、复数、虚数、纯虚数、复数、虚数、纯虚数、复数相等复数相等等概念并进行简单等概念并进行简单应用应用.教学内容解析教学内容解析教学过程设计教学过程设计学生学情分析学生学情分析教学目标设置教学目标设置教学支持条件教学支持条件黑板多媒体PPT课件清晰流程展示思维动态呈现形象直观板书知识突出重点025 5环节一环节一环节一环节一环节一：环节一：情景引入情景引入环节二：环节二：温故知新温故知新环节三：新知探究环节三：新知探究环节四：环节四：概念生成概念生成环节五：环节五：新知应用新知应用环节六：环节六：归纳小结归纳小结教学过程教学过程数学问题数学问

13、题创设情境创设情境设计意图设计意图 先由一个在实数范围内先由一个在实数范围内先由一个在实数范围内先由一个在实数范围内无解的方程让学生产生无解的方程让学生产生无解的方程让学生产生无解的方程让学生产生认认认认知冲突知冲突知冲突知冲突，再用时光机的形，再用时光机的形，再用时光机的形，再用时光机的形式从四位数学家口中讲出式从四位数学家口中讲出式从四位数学家口中讲出式从四位数学家口中讲出他们曾经研究虚数的过程，他们曾经研究虚数的过程，他们曾经研究虚数的过程，他们曾经研究虚数的过程，了解历史上虚数真正引入了解历史上虚数真正引入了解历史上虚数真正引入了解历史上虚数真正引入原因，是数学家在解三次原因，是数学家

14、在解三次原因，是数学家在解三次原因，是数学家在解三次方程时用求根公式时的矛方程时用求根公式时的矛方程时用求根公式时的矛方程时用求根公式时的矛盾冲突。让学生体会到引盾冲突。让学生体会到引盾冲突。让学生体会到引盾冲突。让学生体会到引入虚数的必要性，激发学入虚数的必要性，激发学入虚数的必要性，激发学入虚数的必要性，激发学生的学习兴趣。生的学习兴趣。生的学习兴趣。生的学习兴趣。第一环节第一环节第一环节第一环节情景引入情景引入教学过程教学过程教学过程教学过程数学史数学史教学过程教学过程教学过程教学过程通过梳理数的发展通过梳理数的发展通过梳理数的发展通过梳理数的发展史，抓住知识的史，抓住知识的史，抓住知识

15、的史，抓住知识的“生长点生长点生长点生长点”和学生的和学生的和学生的和学生的“最近发展区最近发展区最近发展区最近发展区”，使学生了解数的产使学生了解数的产使学生了解数的产使学生了解数的产生及数系的不断扩生及数系的不断扩生及数系的不断扩生及数系的不断扩充是基于两方面的充是基于两方面的充是基于两方面的充是基于两方面的原因：社会生产实原因：社会生产实原因：社会生产实原因：社会生产实践的需要和数学自践的需要和数学自践的需要和数学自践的需要和数学自身发展的需要。身发展的需要。身发展的需要。身发展的需要。第二环节第二环节第二环节第二环节 温故知新温故知新设计意图设计意图梳理数系扩充过程和方法的梳理数系扩充

16、过程和方法的梳理数系扩充过程和方法的梳理数系扩充过程和方法的“一般性一般性一般性一般性”，总结数系扩充的一般，总结数系扩充的一般，总结数系扩充的一般，总结数系扩充的一般“规则规则规则规则”，为后续实数系的进一步扩充提供方法，发展学生，为后续实数系的进一步扩充提供方法，发展学生，为后续实数系的进一步扩充提供方法，发展学生，为后续实数系的进一步扩充提供方法，发展学生逻辑推理逻辑推理逻辑推理逻辑推理的数学素养，的数学素养，的数学素养，的数学素养，攻克本节课的难点。攻克本节课的难点。攻克本节课的难点。攻克本节课的难点。教学过程教学过程教学过程教学过程通过启发式提问，让学生自己说出可以引入虚数的概念，再

17、由教通过启发式提问，让学生自己说出可以引入虚数的概念，再由教通过启发式提问，让学生自己说出可以引入虚数的概念，再由教通过启发式提问，让学生自己说出可以引入虚数的概念，再由教师介绍与虚数单位师介绍与虚数单位师介绍与虚数单位师介绍与虚数单位i i有关的历史，激发学生的学习兴趣，强化对有关的历史，激发学生的学习兴趣，强化对有关的历史，激发学生的学习兴趣，强化对有关的历史，激发学生的学习兴趣，强化对i i的的的的认识。再通过课堂活动，引导学生归纳复数的代数形式。认识。再通过课堂活动，引导学生归纳复数的代数形式。认识。再通过课堂活动，引导学生归纳复数的代数形式。认识。再通过课堂活动，引导学生归纳复数的代

18、数形式。第三环节第三环节第三环节第三环节 新知探究新知探究新知探究新知探究设设计计意意图图教学过程教学过程教学过程教学过程由特殊到一般，抽由特殊到一般，抽由特殊到一般，抽由特殊到一般，抽象概括出复数的代象概括出复数的代象概括出复数的代象概括出复数的代数形式和复数集，数形式和复数集，数形式和复数集，数形式和复数集，让学生体会数系扩让学生体会数系扩让学生体会数系扩让学生体会数系扩充过程中理性思维充过程中理性思维充过程中理性思维充过程中理性思维的作用，以及数学的作用，以及数学的作用，以及数学的作用，以及数学形式化、符号化的形式化、符号化的形式化、符号化的形式化、符号化的过程，提升学生逻过程，提升学生

19、逻过程，提升学生逻过程，提升学生逻辑推理、抽象概括辑推理、抽象概括辑推理、抽象概括辑推理、抽象概括素养。素养。素养。素养。第四环节第四环节第四环节第四环节 概念生成概念生成设计意图设计意图教学过程教学过程教学过程教学过程第四环节第四环节第四环节第四环节 概念生成概念生成设计意图设计意图 通过问题串的方通过问题串的方通过问题串的方通过问题串的方式，对复数集的概式，对复数集的概式，对复数集的概式，对复数集的概念进行深化，对复念进行深化，对复念进行深化，对复念进行深化，对复数、虚数、纯虚数数、虚数、纯虚数数、虚数、纯虚数数、虚数、纯虚数的概念以及相互之的概念以及相互之的概念以及相互之的概念以及相互之

20、间的关系间的关系间的关系间的关系VennVennVennVenn图表图表图表图表示，更直观地学生示，更直观地学生示，更直观地学生示，更直观地学生的脑海中形成概念。的脑海中形成概念。的脑海中形成概念。的脑海中形成概念。教学过程教学过程教学过程教学过程第四环节第四环节第四环节第四环节 概念生成概念生成设计意图设计意图 引入新的数学引入新的数学引入新的数学引入新的数学对象时，为了保对象时，为了保对象时，为了保对象时，为了保证对象的确定性，证对象的确定性，证对象的确定性，证对象的确定性，就要明确两个元就要明确两个元就要明确两个元就要明确两个元素相等的含义，素相等的含义，素相等的含义，素相等的含义，让学

21、生具有这种让学生具有这种让学生具有这种让学生具有这种意识。由两个复意识。由两个复意识。由两个复意识。由两个复数相等的定义，数相等的定义，数相等的定义，数相等的定义，可以把复数看成可以把复数看成可以把复数看成可以把复数看成一个有序数对，一个有序数对，一个有序数对，一个有序数对，从而为复数的几从而为复数的几从而为复数的几从而为复数的几何意义奠定基础。何意义奠定基础。何意义奠定基础。何意义奠定基础。教学过程教学过程教学过程教学过程第五环节第五环节第五环节第五环节 新知应用新知应用新知应用新知应用设计意图设计意图 例例例例1 1 1 1主要让学主要让学主要让学主要让学生熟悉复数的生熟悉复数的生熟悉复数

22、的生熟悉复数的代数形式，巩代数形式，巩代数形式，巩代数形式，巩固复数的分类固复数的分类固复数的分类固复数的分类标准，完善认标准，完善认标准，完善认标准，完善认知结构。知结构。知结构。知结构。教学过程教学过程教学过程教学过程第五环节第五环节第五环节第五环节 新知应用新知应用新知应用新知应用设计意图设计意图例例例例2 2 2 2以及跟踪练以及跟踪练以及跟踪练以及跟踪练习习习习1 1 1 1继续巩固复继续巩固复继续巩固复继续巩固复数的分类标准，数的分类标准，数的分类标准，数的分类标准，完善认知结构。完善认知结构。完善认知结构。完善认知结构。教学过程教学过程教学过程教学过程第五环节第五环节第五环节第五

23、环节 新知应用新知应用新知应用新知应用设计意图设计意图例例例例3 3 3 3以及跟踪练以及跟踪练以及跟踪练以及跟踪练习习习习2 2 2 2、3 3 3 3主要是强主要是强主要是强主要是强化复数相等的含化复数相等的含化复数相等的含化复数相等的含义，让学生在解义，让学生在解义，让学生在解义，让学生在解决问题的过程中决问题的过程中决问题的过程中决问题的过程中内化复数的相关内化复数的相关内化复数的相关内化复数的相关概念，起到及时概念，起到及时概念，起到及时概念，起到及时反馈、学以致用反馈、学以致用反馈、学以致用反馈、学以致用的功效。的功效。的功效。的功效。教学过程教学过程教学过程教学过程第六环节第六环

24、节第六环节第六环节 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结设计意图设计意图通过对数系扩充通过对数系扩充通过对数系扩充通过对数系扩充规则、扩充过程规则、扩充过程规则、扩充过程规则、扩充过程以及复数相关概以及复数相关概以及复数相关概以及复数相关概念等知识和方法念等知识和方法念等知识和方法念等知识和方法的总结，使学生的总结，使学生的总结，使学生的总结，使学生对本节课的学习对本节课的学习对本节课的学习对本节课的学习有一个全面、系有一个全面、系有一个全面、系有一个全面、系统的认识，一方统的认识，一方统的认识，一方统的认识，一方面面面面深化对复数知深化对复数知深化对复数知深化对复数知识的理解识的理解识的理解识的理解，另一，另一，另一，另一方面总结研究方方面总结研究方方面总结研究方方面总结研究方法，法，法，法，积累研究数积累研究数积累研究数积累研究数学问题的经验。学问题的经验。学问题的经验。学问题的经验。教学过程教学过程教学过程教学过程课本课本P70P70：练习：练习 第第1 1、2 2、3 3题题 课本课本P73P73：习题：习题7.1 7.1 复习巩固复习巩固1 1、2 2、3 3题题 第六环节第六环节第六环节第六环节 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 教学目标检测教学目标检测教学目标检测教学目标检测