【高中数学】二项式定理 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册).pptx

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1、第六章 计数原理6.3.1 6.3.1 二项式定理二项式定理一二三学习目标能用计数原理证明二项式定理能用计数原理证明二项式定理掌握二项式定理及其展开式的通项公掌握二项式定理及其展开式的通项公式式会用二项式定理解决与二项展开式有会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题关的简单问题新课导入引导语 在古代，很多问题的解决需要开方，例在古代，很多问题的解决需要开方，例如开河、筑堤等水利工程的设计与建造，就会涉如开河、筑堤等水利工程的设计与建造，就会涉及开三次方等计算就古代的开方算法而言，二及开三次方等计算就古代的开方算法而言，二项式系数是极为重要的项式系数是极为重要的 早在早在1313世纪北宋数学

2、家贾宪所首创世纪北宋数学家贾宪所首创 算术三算术三角形角形（俗称（俗称 杨辉三角杨辉三角，记载于杨辉著详解，记载于杨辉著详解九章算法中）就能很好地解决开方算法问题，九章算法中）就能很好地解决开方算法问题，由此建立了二项式定理由此建立了二项式定理 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡他们把这个表叫做帕斯卡三角三角.杨辉三角的发现要比欧洲早杨辉三角的发现要比欧洲早500500年左右年左右.本节课，我们共同来探究这个课题，感受古本节课，我们共同来探究这个课题，感受古代数学家的智慧，感悟数学的魅力代数学

3、家的智慧，感悟数学的魅力.一 一 一 一 二 一 一 三 三 一 一 四 六 四 一 一 五 十 十 五 一 一 六 十五 二十 十五 六 一新知探究问题1 我们知道，我们知道，(ab)2a22abb2，(ab)3a33a2b3ab2b3.(1)观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律?(2)根据你发现的规律，你能写出根据你发现的规律，你能写出(ab)4的展开式吗的展开式吗?(3)进一步地，你能写出进一步地，你能写出(ab)n的展开式吗的展开式吗?(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3追问 上述两个

4、等式的右侧有何特点？上述两个等式的右侧有何特点？+各项中各项中各项中各项中a a与与与与b b次数之和呈次数之和呈次数之和呈次数之和呈现什么规律现什么规律现什么规律现什么规律?展开式中各有多少项展开式中各有多少项展开式中各有多少项展开式中各有多少项?各项的系数是什么各项的系数是什么各项的系数是什么各项的系数是什么?(ab)2(ab)(ab)aaabbabba22abb2新知探究问题2 如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？2个个(a+b)都不选都不选b得到的，因此得到的，因此a2出现的次数相当于从出现的次数相当于从2个个(a+b)中取中取0个个b（

5、即都取（即都取a）的组合数）的组合数 ，即，即a2只有只有1个；个；由由1个个(a+b)中选中选a，另，另1个个(a+b)中选中选b得到的得到的.由于由于b选定选定后，后，a的选法也随之确定，因此，的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从出现的次数相当于从2个个(a+b)中取中取1个个b的组合数的组合数 ，即，即ab共有共有2个个.由由2个个(a+b)中都选中都选b得到的得到的.因此，因此，b2出现的次数相当于出现的次数相当于从从2个个(a+b)中取中取2个个b的组合数的组合数 ，即，即b2只有只有1个个.新知探究考虑考虑b由以上分析可以得到：a3a2b a2b a2b b3ab2ab2

6、ab2展开式共有：项的形式：新知探究问题3 同样地，如何同样地，如何利用分步乘法计数原理解释利用分步乘法计数原理解释(ab)3 的展开式？的展开式？由以上分析可以得到：a4a3bab3b4a2b2问题4 根据你发现的规律，你能写出根据你发现的规律，你能写出(ab)4 的展开式的展开式吗吗？展开后有哪些项？展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？各项的系数分别是什么？新知探究项都不取b取一个 b 取两个 b 取三个 b 取四个b 系数C40C41C42C43C44问题4观察下面式子，你能猜想观察下面式子，你能猜想(a+b)n的展开式吗？的展开式吗？新知探究项：系数：探究：探究：请分析请分析(a+b

7、)n 的展开过程的展开过程LL新知探究每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即Cn0,则则an前的系数为前的系数为Cn0恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有Cn1种，则种，则an-1b前的系数为前的系数为Cn1恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有Cn2 种，则种，则an-2b2前的系数为前的系数为Cn2.恰有恰有k个取个取b的情况有的情况有Cnk 种，则种，则an-kbk前的系数为前的系数为Cnk.恰有恰有n个取个取b的情况有的情况有Cnn 种，则种，则bn前的系数为前的系数为Cnn下面我们对以上猜想的正确性予以说明：下面我们对以上猜想的正确性予以说明：二项展开式的二项展开式的通项:

8、第第k+1项的二项式系数项的二项式系数:项数：项数：次数：次数：共有共有n1项项各项的次数都等于各项的次数都等于n，即为即为n次齐次式次齐次式 字母字母a按按降幂降幂排列排列，次数由次数由n递减到递减到0,字母字母b按按升幂升幂排列排列，次数由次数由0递增到递增到n.概念生成：二项式定理二项式定理上述公式叫做上述公式叫做二项式定理二项式定理，右边的多项式叫做，右边的多项式叫做(ab)n 的二项展开式的二项展开式注意：注意：(1)(1)展开式的第展开式的第k k+1+1项项(通项通项)为为 其中其中 叫做叫做二项二项式系数，式系数，它与它与第第k+1项项的系数的系数是两个不同的概念是两个不同的概

9、念 .(2)它可表示二项展开式中的任意项，只要它可表示二项展开式中的任意项，只要n与与k确确定，该项也随即确定；定，该项也随即确定；(3)表示的是表示的是第第k+1项项，而，而不是第不是第k项；项；(4)中中a,b的位置不能颠倒的位置不能颠倒,且它们指数和一定为且它们指数和一定为n.1.在二项式定理中，若设a=1,b=x，则得到公式2、把、把b用用-b代替代替例1 求的展开式求的展开式解：解：求的展开式求的展开式变式1：解：解：典例解析例2 (1)求(12x)7 的展开式的第4项；(2)求(12x)7 的展开式的第4项的系数；(3)求(12x)7 的展开式的第4项的二项式系数.解：(1)(2)

10、求(12x)7 的展开式的第4项的系数为280.(3)求(12x)7 的展开式的第4项的二项式系数为 .典例解析注：1)注意对二项式定理的灵活应用 2)注意区别二项式系数与项的系数的概念 二项式系数：Cnr；项的系数：二项式系数与数字系数的积 3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开课堂小结解:的展开式的通项为根据题意，得因此，x2的系数是求 的展开式中 x2 的系数.例3典例解析巩固练习课本课本P31 解：解：解：解：由通项公式，可得巩固练习课本课本P31 解：解：由通项公式，可得解：解：由通项公式，可得由通项公式，可得巩固练习课本课本P31 解：解：含含x4的项是由的项是由5个括

11、号中任意个括号中任意4个括号各取出个括号各取出1个个x，剩余，剩余1个括号取出个括号取出常数相乘得到的，故含常数相乘得到的，故含x4的项的系数是的项的系数是补充练习1.求求 展开式中的常数项展开式中的常数项.解：的展开式中的常数项为的展开式中的常数项为2.求求 的展开式里有多少项有理项？的展开式里有多少项有理项？解：解：对于一切有理项，对于一切有理项，、必为整数，必为整数，则则 r r 必是必是6 6的倍数的倍数.故故 展开式中的有理项有展开式中的有理项有1717个个.思考：思考：在本题中若问无理项有多少个，如何解决呢？在本题中若问无理项有多少个，如何解决呢？补充练习33.求求(x2)10(x21)的展开式中的展开式中x10的系数的系数.变式变式 若若(a+x)(1+x)4的展开式中的展开式中x的奇次幂项的系数之和为的奇次幂项的系数之和为32，则，则a=_.解：解：设设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则则 a1+a3+a5=32，令令x=1，得，得(a+1)24=a0+a1+a2+a3+a4+a5 x=1，得，得 0=a0a1+a2a3+a4a5 得得a1+a3+a5=8(a+1)=32，解得解得 a=3.1.1.二项式定理二项式定理2.2.二项展开式的通项二项展开式的通项3.3.二项式系数：二项式系数：课堂小结