【高中数学】分类加法计数原理与分布乘法计数原理（第三课时） 高二数学课件(人教A版2019选择性必修第三册).pptx

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1、第六章 计数原理6.1 6.1 分类加法计数原理与分类加法计数原理与 分步乘法计数原理分步乘法计数原理第第 三课时三课时一二三学习目标通过实例，归纳总结分类加法、分步乘法原理能正确理解“完成一件事”的正确含义，能根据事件完成的特征，正确选择“分类”加法、分步乘法进行计算能利用分类加法、分步乘法计数原理解决相关问题复习回顾分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理相同点相同点区别区别注意注意都是用来计算都是用来计算“完成一件事完成一件事”的不同方法种数的问题的不同方法种数的问题类类独立，不重不漏类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整步步相依，步骤完整两个原理的异同点：分类完成

2、，类类相加分类完成，类类相加分步完成，步步相乘分步完成，步步相乘任何一类中的任何一种方任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事法都能独立完成这件事只有依次完成每一个步骤，才只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事（能完成这件事（每步中的每一每步中的每一种方法不能独立完成这件事种方法不能独立完成这件事）新知探究例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线),以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图是一个具有许多执行路径的程序模块,它有多少条执行路径？另外,为了减少测试时间,程序员需要设法减少测

3、试次数,你能帮助程序员设计一个测试方法,以减少测试次数吗?分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成:第1步是从开始执行到A点;第2步是从A点执行到结束.而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成;第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成因此,分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.典例解析解：由分类加法计数原理，子模块由分类加法计数原理，子模块1 1、子、子模块模块2 2、子模块、子模块3 3中的子路径条数共为中的子路径条数共为18+45+28=9118+45+28=91子模块子模块4 4、子模块、子模块5 5中的子路径条数共中的子路径条数共38+43=81

4、38+43=81又由分步乘法计数原理，整个模块的执又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为行路径条数共为9181=73719181=7371 在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块，这样，他可以块的方式来测试整个模块，这样，他可以先分别单先分别单独测试独测试5 5个模块个模块，以考察每个子模块的工作是否正，以考察每个子模块的工作是否正常，总共需要的测试次数为：常，总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=17218+45+28

5、+38+43=172.再测试各个模块之间的信息交流是否正常再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第只需要测试程序第1 1步中的各个子模块和第步中的各个子模块和第2 2步步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为：要的测试次数为：32=632=6.如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常，间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常，这样，测试整个模块的次数就变为：这样，测试整个模块的次数就变为：172+6=178172+6=178.显然

6、，显然，178178与与73717371的差距是非常大的的差距是非常大的.你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？典例解析典例解析例8 通通常常，我我国国民民用用汽汽车车号号牌牌的的编编号号由由两两部部分分组组成成：第第一一部部分分为为用用汉汉字字表表示示的的省省、自自治治区区、直直辖辖市市简简称称和和用用英英文文字字母母表表示示的的发发牌牌机机关关代代号号，第第二二部部分分为为由由阿阿拉拉伯伯数数字字和和英英文字母组成的序号，如下图所示文字母组成的序号，如下图所示0冀 A JR005省、自治区、直辖市简称发牌机关代号序号其中，序号的编码规则为：其中，序号的编码规则为：（1）由）由 10 个

7、阿拉伯数字和除个阿拉伯数字和除 O，I 之外的之外的 24 个英文字母组成；个英文字母组成；（2）最多只能有）最多只能有 2 个英文字母个英文字母如如果果某某地地级级市市发发牌牌机机关关采采用用 5 位位序序号号编编码码，那那么么这这个个发发牌牌机机关最多能发放多少张汽车号牌？关最多能发放多少张汽车号牌？分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数.按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.典例解析解:由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放

8、的最多号牌数就是序号的个数牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，根据序号编码规则，5 5位序号可以分为三位序号可以分为三类：没有字母，有类：没有字母，有1 1个字母，有个字母，有2 2个字母个字母.(1)(1)第1类：当序号中没有字母时，序号的每一位都是数字，当序号中没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分确定一个序号可以分5 5个步骤，每一步都可以从个步骤，每一步都可以从1010个数字中选个数字中选1 1个，各有个，各有1010种选法，根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为种选法，根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为 1010101010=1000001010101010=1000

9、00典例解析(2)(2)第2类：当序号中有当序号中有1 1个字母时，这个字母可以分别在序号的第个字母时，这个字母可以分别在序号的第1 1位、第位、第2 2位、第位、第3 3位、第位、第4 4位或第位或第5 5位，这类序号可以分为五个子类位，这类序号可以分为五个子类.当第当第1 1位是字母时位是字母时,分分5 5个步骤确定一个序号中的字母和数字个步骤确定一个序号中的字母和数字:第第1 1步步,从从2424个字母中选个字母中选1 1个放在第个放在第1 1位位,有有2424种选法种选法;第第2 25 5步步都是从都是从1010个数字中选个数字中选1 1个放在相应的位置个放在相应的位置,各有各有101

10、0种选种选法法,根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理,号牌张数为号牌张数为2410101010=2400002410101010=240000 同样，其余四个子类号牌也各有同样，其余四个子类号牌也各有240000240000张张.根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为 240000+240000+240000+240000+240000=1200000240000+240000+240000+240000+240000=12000005241041200000巩固练习解：解：展开后共有展开后共有33545项项.1.乘积乘积(a1+a2+a3)(b1

11、+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项展开后共有多少项?解：解：98765432145(个个).2.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个?3.某商场有某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式?解：解：进进出商出商场场的不同方式有的不同方式有6530(种种).4.任意画一条直线，在直线上任取任意画一条直线，在直线上任取n个分点个分点.(1)从这从

12、这n个分点中任取个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段个点形成一条线段，可得到多少条线段?(2)从这从这n个分点中任取个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量个点形成一个向量，可得到多少个向量?解：解：课本课本P11归纳：归纳：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点细分析两点:(1)要完成的要完成的“一件事一件事”是什么是什么;(2)需要分类还是需要分步需要分类还是需要分步.分类要做到分类要做到“不重不漏不重不漏”.分类后再分别对分类后再分别对每一类进行计数每一类进行计数，最后，最后用分类加法计数原理用分类加法计数原理求和求和，得到总数得到总数.分步要做到分步要做到“步骤完整步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步分步后再计算后再计算每一步的方法数每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数步的方法数相乘相乘，得到总数得到总数.