【高中数学】组合数 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册).pptx

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1、第六章 计数原理6.2.4 组合数一二三学习目标类比与理解组合数的概念能利用计数原理推导组合数公式能用组合数的知识与公式求解相关问题2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：排列问题组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.复习回顾1.组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合新知探究类比排列数，我们引进组合数概念：组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元

2、素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.组合的第一个字母元素总数取出元素数m，n所满足的条件是：(1)m N*，n N*；(2)mn.例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为从4个不同元素中任取3个元素的组合数为符号 中的C 是英文combination(组合)的第一个字母.组合数还可以用符号 表示.回顾：从甲、乙、丙3 名同学中选出2 名参加一项活动，有多少种不同的选法？组合 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙，丙乙 排列 新知探究 前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系.那

3、他们之间的数量关系是怎样的？应用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数.组合a b ca b da c db c d 排列abc bac cab acb bca cbaabd bad dab adb bda dbaacd cad dac adc cda dcabcd cbd dbc bdc cdb dcb设这4个元素为a,b,c,d，那么从中取出3个元素的排列数.因此组合数.以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组新知探究新知探究追问 我们该怎么安排才能和组合联系在一起？组合a b ca b da c db c d 排列abc bac cab acb bca cba

4、abd bad dab adb bda dbaacd cad dac adc cda dcabcd cbd dbc bdc cdb dcb观察上图，也可以这样理解：根据分布乘法计数原理有=新知探究：组合数的定义=于是，根据分布乘法计数原理有所以概念生成组合数公式：另外，我们规定所以上面的公式还可以写成典例解析 例6 计算：解：思考 此关系是否具有一般性？性质1新知探究：组合数的性质问题3 对于组合数的这个性质你能给出证明与解释吗？性质1证明：解释：该性质反映了组合数的对称性.其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取(n-m)个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法).因为从n

5、个不同元素中取出m个元素后，就剩下(n-m)个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出(n-m)个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样.即从n个不同元素中取出m个元素的组合数 等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数，也就是.解释：该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能.如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个

6、元素，所以共有 种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有 种取法.由分类加法计数原理，得.新知探究：组合数的性质性质21.计算：追问：你有什么发现和猜想？解：1.计算：课本P25巩固练习证明：2.求证：课本P25巩固练习巩固训练：1.计算：解：解：解：例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？典例解析解：(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为(2)从2件次品中

7、抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为典例解析例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为(3)解1(直接法)：解2(间接法)：抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 变式：把(3)中的“至少”改为“至多”，则抽法有多少种?“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解3.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.(1)共有多少种不同的选法?(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法?(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法?解：课本P25巩固练习1.组合数的定义和表示 把从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，并用符号 表示.2.组合数的公式3.组合数的性质课堂小结