数学（北京卷）2023年高考考前押题密卷含答案.docx

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1、2023年高考考前押题密卷（北京卷）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、先选择题共10小题，每小题4分，分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合A=xx2-4x0,xZ，B=x-1x1，b1，a3b=100，则loga10+3logb10的最小值为（）A4B

2、6C8D127定义：ab=absin，其中为向量a与b的夹角若a=2，b=5，ab=-6，则ab等于（）A6B-6C-8D88已知正实数x，y，z满足log2x=log3y=log5z0，则（）AxyzBxyb0的左焦点为F，左、右顶点分别为A1、A2，上顶点为B，且A1BF的外接圆半径大小为3(1)求椭圆C方程；(2)设斜率存在的直线l交椭圆C于P,Q两点（P,Q位于x轴的两侧），记直线A1P、A2P、A2Q、A1Q的斜率分别为k1、k2、k3、k4，若k1+k4=53k2+k3，求A2PQ面积的取值范围20.（15分）已知函数.(1)若在点处的切线方程为，求实数的值；(2)设，在（1）的条

3、件下，若满足，求证：.21.（15分）已知数列an，设mn=a1+a2+annnN*，若an满足性质：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数ijk，都有i-jmk+j-kmi+k-imj=c，则称数列an为“梦想数列”.(1)若bn=2nnN*，判断数列bn是否为“梦想数列”，并说明理由；(2)若cn=2n-1nN*，判断数列cn是否为“梦想数列”，并说明理由；(3)判断“梦想数列”an是否为等差数列，并说明理由.2023年高考考前押题密卷（北京卷）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题

4、时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、先选择题共10小题，每小题4分，分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合A=xx2-4x0,xZ，B=x-1x4，则AB=（）A-1,4B0,4)C0,1,2,3,4D0,1,2,3【答案】D【分析】利用二次不等式的解法解出集合A，然后计算集合的交集.【详解】由A=xx2-4x0,xZ=0,1,2,3,4，B=x-1x1，b1，a3b=100，则loga10+3l

5、ogb10的最小值为（）A4B6C8D12【答案】B【分析】条件等式两边取对数后，得3lga+lgb=2，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.【详解】因为a3b=100，所以lga3b=2，即3lga+lgb=2，所以loga10+3logb10=1lga+3lgb=121lga+3lgb3lga+lgb=126+lgblga+9lgalgb 126+2lgblga9lgalgb=6，当且仅当lgb=3lga，即a=1013，b=10时等号成立，所以loga10+3logb10的最小值为6.故选：B.7定义：ab=absin，其中为向量a与b的夹角若a=2，b=5，ab=-6

6、，则ab等于（）A6B-6C-8D8【答案】D【分析】由向量数量积定义可构造方程求得cos，由此可得sin，根据ab=absin可求得结果.【详解】ab=abcos=10cos=-6，cos=-35，又0,，sin=45，ab=absin=10sin=1045=8.故选：D.8已知正实数x，y，z满足log2x=log3y=log5z0，则（）AxyzBxy0时，gk=kt在0,+上单调递增，故2t3t5t，即xyz；当t3t5t，即xyz；故AB不一定正确；假设x、y、z成等比数列，则y2=xz3t2=2t5t9t=10t，则t=0，与已知矛盾，故C错误；令ft=25t+35t-1，由指数函

7、数的性质可知ft在R上单调递减，注意到f1=0，故ft只有一个零点，即25t+35t=1只有一个解t=1，所以x+y=z只有一组解x=2,y=3,z=5，故D正确.故选：D9如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A，椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率e等于（）A23B34C45D79【答案】D【分析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系，根据直线与圆相切可构造方程求得Q点坐标和N点坐标，确定NQ

8、=a+c，QR=a-c的值，由此可构造方程组求得a,c，进而得到离心率.【详解】以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，由题意知：NQ=a+c，QR=a-c，P0,4，R-3,0，则直线PR:-x3+y4=1，即4x-3y+12=0，设Qn,0n0，即kx-y+4=0，点M到直线PN的距离d2=nk+3k2+1=3-72kk2+1=1，解得：k=815或k=43，又直线kPN4，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于4，故B错误，如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心O是正四面体ABCD外接球的球心，连接BO并延长交勒洛四面体的曲面于点E，则OE就是勒洛四面体内切球的半径. 如图3,

9、 在正四面体ABCD中，M为BCD的中心，O是正四面体ABCD外接球的球心，连接BM、BO、AM，由正四面体的性质可知O在AM上.因为AB=4, 所以BM=2342-22=433，则AM=42-4332=463.因为BO2=BM2+OM2=AM-OM2，即BO2=4332+OM2=463-OM2，解得BO=6，则正四面体ABCD外接球的体积是43R3=4363=86，而勒洛四面体ABCD的体积小于其外接球的体积，C错误；因为BE=AB=4，所以OE=4-6 , 所以，勒洛四面体ABCD内切球的半径是4-6，则 D正确.故选：D.【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的

10、位置，再利用球的截面小圆性质求解.第卷二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。11已知函数y=f(x)满足：当-2x2时，f(x)=-14x2+1，且f(x)=f(x+4)对任意xR都成立，则方程16f(x)=4|x|+1的实根个数是_【答案】4【分析】根据给定条件，探讨函数y=f(x)的性质，变形给定方程，转化成求两个函数图象的公共点个数作答【详解】依题意，函数y=fx是以4为周期的偶函数，当-2x2时，f(x)=-14x2+1，则当2x6时，f(x)=-14(x-4)2+1=-14x2+2x-3，方程16f(x)=4|x|+1f(x)=14|x|+116，因此原方程的实根就是函数y=f

11、(x)与函数y=14|x|+116的图象的交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=14|x|+116的图象，如图，观察图象知，当0x2时，两函数图象只有一个交点，当2x6时，由y=-14x2+2x-3y=14x+116得x=72y=1516，即当2x6时，两函数图象只有一个公共点，于是当x0时，函数y=f(x)与y=14|x|+116的图象有2个公共点，又函数y=f(x)与y=14|x|+116均为偶函数，则当x0可得sinA=35，而A是锐角，所以cosA=45，则由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-85bc，则a2bc=b2+c2-85bcbc=b2+

12、c2bc-85 2bcbc-85=25，当且仅当b=c时，a2bc取得最小值25，故a2=25b2，故a=105b，所以a2b+c=1015.故答案为: 101514已知抛物线C：y2=2px，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），且AF=6，直线AO交抛物线的准线于点C，AOF与ACB的面积之比为4：9，则p的值为_【答案】4【分析】首先证明AOFACB，求出AB=9，则yA=-2yB，再利用证明的结论yAyB=-p2，得到Ap,2p，利用焦点弦公式求出p值即可.【详解】设AxA,yA，BxB,yB，则yA2=2pxA，设直线AB的方程为x-p2=ty

13、，联立抛物线方程有y2-2pty-p2=0，=4p2t2+4p20，yAyB=-p2，则yB=-p2yA，直线AO的方程为y=yAxAx，令x=-p2，则yC=yAxA-p2=-pyAyA2p=-p2yA=yB，则OF/CB，则AOFACB得SAOFSACB=AFAB2=49，AB=9，BF=3，yA=-2yB，又yAyB=-p2，则yA=2p，点Ap,2p，AF=p+p2=6，解得p=4故答案为：4.15冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹

14、，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么PAB=_.【答案】13【分析】事件B为前3次中有一次中1发未中，第4次射击中有2发未中，事件AB是第3次有1发未中，第4次有2发未中，然后利用利用条件概率求解.【详解】解：由题意得P(B)=C31C51C52C203,P(AB)=C51C52C203，P(AB)=P(AB)P(B)=C51C52C203C31C51C52C203=13，故答案为：13三

15、、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，盐酸步骤或证明过程。16如图，AC为圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A,C重合的点，连接PB,PC,AB,BC，作ASPC于点S,ANPB于点N.(1)求证：ASN是二面角A-PC-B的平面角；(2)若ACB=30,PCA=45，求二面角A-PC-B的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)105【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理结合二面角的平面角的定义证明；（2）利用空间向量的坐标运算，利用法向量求二面角的正弦值.【详解】（1）因为PA垂直于圆O所在的平面，即PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，又因为A

16、C为圆O的直径，所以BCAB,PAAB=A，PA，AB平面PAB，所以BC平面PAB，AN平面PAB，所以BCAN，又因为ANPB，BCPB=B，BC,PB平面PBC，所以AN平面PBC，PC平面PBC，所以ANPC，又因为ASPC，ASAN=A,AS,AN平面ASN，所以PC平面ASN，SN平面ASN，所以ASN是二面角A-PC-B的平面角.（2）设AC=2a，因为ACB=30,PCA=45，所以AB=a,PA=2a,BC=3a，过点B作AP的平行线为z轴，并以BC,BA为x,y轴建系如图，则A(0,a,0),B(0,0,0),C(3a,0,0),P(0,a,2a)，设平面APC的法向量为m

17、=(x,y,z)，AP=(0,0,2a),AC=(3a,-a,0),所以APm=2az=0,ACm=3ax-ay=0,令x=1,则y=3,z=0，所以m=(1,3,0)，设平面PBC的法向量为n=(x1,y1,z1)，BC=(3a,0,0),BP=(0,a,2a),所以BCn=3ax1=0,BPn=ay1+2az1=0,令y1=2,则x1=0,z1=-1，所以n=(0,2,-1)，设二面角A-PC-B的大小为，则cos=cosm,n=mnmn=2325=155，所以sin=1-cos2=105.17ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，sinB=13，且_(1)求ABC的面积；(2)若

18、sinAsinC=23，求b在a2-b2+c2=2，ABBC=-1这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)28(2)12【分析】（1）若选则根据余弦定理得accosB=1，且cosB0，于是利用平方公式得cosB，即可得ac的值，再根据面积公式即可得ABC的面积；若选根据向量数量积定义得ABBC =-accosB，且cosB0，于是利用平方公式得cosB，即可得ac的值，再根据面积公式即可得ABC的面积；（2）由正弦定理得即可求得b的值.【详解】（1）若选a2-b2+c2=2，由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac，整理得ac

19、cosB=1，则cosB0，又sinB=13，则cosB=1-132=223，ac=1cosB=324，则SABC=12acsinB=28；若选ABBC=-10，又sinB=13，则cosB=1-132=223，又ABBC =-accosB，得ac=1cosB=324，则SABC=12acsinB=28；（2）由正弦定理得：bsinB=asinA=csinC，则b2sin2B=asinAcsinC=acsinAsinC=32423=94，则bsinB=32，b=32sinB=1218某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设xi表示第i天的平均气温，yi表示第i天参

20、与活动的人数，i=1,2,20，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：i=120xi-x2=80，i=120yi-y2=9000，i=120xi-xyi-y=800(1)根据所给数据，用相关系数r（精确到0.01）判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；(2)现有两个家庭参与套圈，A家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为310，B家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为13,14,16，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费20元，每个小白免价值40元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？附：相关系数r=i=1nxiyi

21、-nxyi=1nxi-x2i=1nyi-y2【答案】(1)可用线性回归模型拟合y与x的关系.(2)B家庭的损失较大【分析】（1）计算相关系数r，若r接近1，则可用线性回归模型拟合y与x的关系.（2）A家庭符合二项分布，直接用公式求期望，B家庭先根据题意列出分布列再求期望.【详解】（1）由题可知r=i=120xiyi-20xyi=120xi-x2i=120yi-y2=i=120xi-xyi-yi=120xi-x2i=120yi-y2=800809000=2230.94，故可用线性回归模型拟合y与x的关系（2）设A家庭中套中小白兔的人数为X1，则X1B3,310，所以EX1=3310=910设A家

22、庭的盈利为X2元，则X2=40X1-60，所以EX2=40EX1-60=-24设B家庭中套中小白兔的人数为Y1，则Y1的所有可能取值为0，1，2，3，PY1=0=233456=512，PY1=1=133456+231456+233416=3172，PY1=2=131456+133416+231416=536，PY1=3=131416=172，所以EY1=0512+13172+2536+3172=34设B家庭的盈利为Y2元，则Y2=40Y1-60，所以EY2=40EY1-60=4034-60=-30因为-24-30，所以B家庭的损失较大19已知离心率为22的椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的

23、左焦点为F，左、右顶点分别为A1、A2，上顶点为B，且A1BF的外接圆半径大小为3(1)求椭圆C方程；(2)设斜率存在的直线l交椭圆C于P,Q两点（P,Q位于x轴的两侧），记直线A1P、A2P、A2Q、A1Q的斜率分别为k1、k2、k3、k4，若k1+k4=53k2+k3，求A2PQ面积的取值范围【答案】(1)x24+y22=1(2)0,5830【分析】（1）根据椭圆离心率确定椭圆中a,b,c的关系，再结合正弦定理的推论确定外接圆半径与边角关系即可得c的值，从而求得椭圆方程；（2）由题可设直线l:x=ty+mt0，Px1,y1，Qx2,y2，联立直线与椭圆即可得交点坐标关系，根据斜率的计算式可

24、得k1k2=-12，k3k4=-12，再由已知等式k1+k4=53k2+k3确定k2k3=-310，由坐标关系进行转化可求得m的值，求解A2PQ面积的表达式，结合函数性质即可得A2PQ面积的取值范围【详解】（1）根据椭圆C的离心率为22知a=2c，所以b=a2-c2=c，如图，则OF=OB=c则在A1BF中，可得BFA1=34，A1B=OA12+OB2=3c，由正弦定理得A1BsinBFA1=3c22=6c=23，解得c=2，所以a=2，b=2，所以椭圆C的方程为x24+y22=1（2）由条件知直线l的斜率不为0，设直线l:x=ty+mt0，Px1,y1，Qx2,y2，联立x=ty+mx24+

25、y22=1，得t2+2y2+2mty+m2-4=0，0得2t2+4m2于是y1+y2=-2mtt2+2，y1y2=m2-4t2+2，因为A1-2,0，A22,0，Px1,y1代入椭圆方程得x124+y122=1，所以k1k2=y1x1+2y1x1-2=y12x12-4=21-x124x12-4=-12， 同理k3k4=-12，于是k1=-12k2，k4=-12k3，因为k1+k4=53k2+k3，所以-12k2-12k3=53k2+k3，即-k2+k32k2k3=53k2+k3又直线l的斜率存在，所以k2+k30，于是k2k3=-310，所以y1x1-2y2x2-2=-310，即10y1y2+

26、3x1-2x2-2=0，又x1=ty1+m，x2=ty2+m，所以10y1y2+3ty1+m-2ty2+m-2=0，整理得3t2+10y1y2+3tm-2y1+y2+3m-22=0，所以3t2+10m2-4t2+4+3tm-2-2mtt2+2+3m-22=0，化简整理得m-22m+1=0，又P、Q位于x轴的两侧，所以y1y2=m2-4t2+20，解得-2m30，t2=2-3016，于是SA2PQ=54162+2=20+2，又函数y=20+2在30,+上单调递减，所以A2PQ面积的取值范围为0,5830【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆相交的坐标关系，利用坐标运算解决直线斜率关系及面积关系

27、.解决本题的关键是确定直线直线A1P、A2P、A2Q、A1Q之间的斜率关系，结合椭圆上的任意一点与左右顶点之间的斜率关系，可将四个斜率值简化为两个斜率关系，即可减少位置数，从而利用坐标运算及坐标关系确定所设直线过定点，于是简化所求面积表达式中的变量个数从而可结合函数关系确定取值范围，得以解决问题.20已知函数fx=e2x-ax+2.(1)若fx在点0,f0处的切线方程为，求实数a的值；(2)设gx=x-3lnx3，在（1）的条件下，若满足fm=gnm0,n3，求证：n3e2m.【答案】(1)a=2(2)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义以及切线的方程进行求解.（2）fm=gn等价于e2

28、m-2m+2=2n3-lnn3+n3-lnn3，结合：当x1时，x-lnx1，得e2m-2m+22+n3-lnn3，即e2m-2melnn3-lnn3,令hx=ex-x，则h2mhlnn3，结合hx的单调性即可证得结论.【详解】（1）fx=2e2x-a,f0=3，即切点为0,3，该点处的斜率k=f0=2-a则2-a=0，故a=2（2）由（1）知fx=e2x-2x+2则fm=gn等价于e2m-2m+2=n-3lnn3，故e2m-2m+2=2n3-lnn3+n3-lnn3设tx=x-lnx,x1，则tx=1-1x=x-1x，所以当x1时，tx0，所以tx=x-lnx在1,+上单调递增，所以txt1=1，即当x1时，x-lnx1，因为n31，所以n3-lnn31，当且仅当n=3时取等号，所以e2m-2m+22+n